Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы исносятся в общую точку(рис. 4.1), на них строят параллелограмми его диагональназываютсуммой векторови.

Рис. 4.1.

Поскольку вектор равен, то можно дать другое правило нахождения суммы(правило треугольника): суммой векторовиявляется вектор, идущий из началав конец, если векторприложен к концу вектора, т.е.:

(4.1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную, то суммой этих векторов является вектор, замыкающий эту ломаную, т.е.:

(4.2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нуль-вектору.

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения ‑ сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

Разностью двух векторови, отложенных от одной точкиявляется вектор, направленный из конца вычитаемого векторав конец уменьшаемого вектора, т.е.(Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к., то.

Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор равен, где‑ некоторое число, если:

1. коллинеарен;

2. длина вектора отличается от длины векторавраз, т.е.;

3. при ,инаправлены в одну сторону, при‑ в разные.

Произведение вектора на скаляробладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Проекция вектора на ось

Пусть даны ось и вектор. Проектируя начало и конец вектора на ось, получим на ней вектор.Проекцией векторана осьназывается число, равное длине вектора, взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли векторв ту же сторону, что и осьили в противоположную. Проекция векторана осьобозначается.

Свойства проекций:

1. , где‑ угол между вектороми осью;

2. ;

3. .

Пусть – произвольная конечная система векторов;‑ произвольная система действительных чисел. Векторназывается линейной комбинацией векторов этой системы.

Из свойства проекций следует, что:

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4.3)

следует, что .

В противном случае векторы называютсялинейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде, то говорят, что векторлинейно выражается через векторы.

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие.Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности, ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора илинейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинеарные векторыилинейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например_,линейно выражается через второй, т.е., а это противоречит неколлинеарностии. Следовательно,и- линейно независимы.

Пусть инеколлинеарные векторы,‑ произвольный вектор компланарный векторами. Отложим векторыиот одной точки, т.е. построим(Рис.4.3).

Рис. 4.3.

Из параллелограмма видно, что:

.

Следовательно, любые три компланарных вектора илинейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора илинейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора илинейно зависимы, то один из них, например, линейно выражается черези, т.е., а это говорит о том, что три вектораилежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора илинейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы ив некотором базисе имеют координаты,исоответственно. Тогда векторыилинейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторыилинейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа, неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

.

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что:

(4.4)

Если один из векторов, например, , является нулевым, то системаокажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при.

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.