Экономический смысл производной

Отношение представляет собой среднюю скорость изменения функциина промежутке с концамии. Величина‑ это мгновенная скорость изменения функциив точке. Например, если‑ перемещение точки по осиза время , то‑ скорость движения точки. Если функцияописывает количество продукции, производимой предприятием за время, то‑ это средняя производительность за промежуток времени, а‑ это производительность в момент времени. Если функцияописывает закон изменения капитала в зависимости от времени, то‑ скорость накопления капитала.

Эластичность функции

Если функция получает приращениепри приращении аргумента на, тоназывается относительным приращением функции, а– относительным приращением аргумента.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.:

.

Эластичность функции дает приближенный процентный прирост функции при приращении аргумента на 1%.

Дифференцируемость функции

Если для точки существует числотакое, что приращение функциипредставимо в виде, то говорят, что функциядифференцируема в точке .Числоявляетсяпроизводной функциив точке:

.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует производная функции.

Итак, если дифференцируема в точке, то:.

Величину называютдифференциаломфункции в точкеи обозначают обычно символами:и др.

Если функция дифференцируемав точке, то эта функция непрерывна в точке. Обратное утверждение неверно.

Правила дифференцирования

Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные. Тогда:

1. Функция дифференцируема и;

2. Если ‑ постоянная, то функциядифференцируема и;

3. Из 1 и 2 следует, что ;

4. Функция дифференцируема и;

5. Из 4 следует, что ;

6. Если определена и дифференцируема, то.

Таблица производных

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования.

Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

;	;
;	;
	;
;	;
;	;
;	;
;	;
;	.

Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.

Производная сложной функции

Пусть и. Тогда можно определить сложную функцию. Если функциядифференцируема в точке, а функциядифференцируема в точке, то сложная функциядифференцируема в точке, и ее производная может быть вычислена поправилу цепочки:

.

Или более кратко .

Правило можно записать также в виде: .

Пример 4. . Вычислить.

Обозначим . Тогда.

.

Пример 5. . Вычислить.

.

Пример 6. . Вычислить .

.

Производная обратной функции

Пусть функция задана на множестве, а– множество ее значений. Тогда каждомуставится в соответствие единственное значение. С другой стороны, каждомубудет соответствовать одно или несколько значений. В случае, когда отображениеявляется биективным, т.е. каждому значениюсоответствует только одно значение, для которого, на множествеможно определить функцию, множеством значений которой является, которая будет называться обратной по отношению к функции. Функциииназываются взаимообратными.

Пусть функция удовлетворяет условиям существования обратной функции и в точкеимеет конечную производную. Тогда обратная функцияв точкетакже имеет конечную производную, равную