- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Дифференциал
Дифференцируемость функции в точкеозначает, что ее приращение представимо в виде:
.
Величина при малыхмала по сравнению с величиной. Поэтомупредставляет собой главную часть приращения, называемуюдифференциалом функциив точке. Дифференциал функцииобозначают обычно символами:и др.
Если ‑ независимая переменная, тои поэтому.
Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 ‑ 6 дифференцирования с заменой символа (штрих) на символ. Например:
;
.
Таким образом, приращение функции в точкепри малых значенияхприблизительно в пять раз больше, чем, а приращение функции в точкеприблизительно в 14 раз больше, чем.
Приближенные вычисления
Тот факт, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, используют при различных приближенных вычислениях. При этом заменяют приращения функции ее приближенным значением. Таким образом:
.
Пример 8.Вычислить .
Рассмотрим функцию . Заметим, что. Возьмем. Тогда по формуле (2):
.
Свойства дифференцируемых функций
Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке, т.е. существует, и всюду в некоторой окрестности этой точки, т.е.является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то.
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале и , то в некоторой точке интервала ее производная равна нулю.
Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна.
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале, то найдется точкадля которой.
Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая . Тогда.
Теорема Коши. Если функции иопределены и непрерывны на отрезке, дифференцируемы на интервалеи при этом, то найдется точка, для которой .
Правила Лопиталя
Пусть и- функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точкиa, гдеa- конечное число или(если, то под окрестностью точкиaпонимаем какой-нибудь луч; если, то окрестность – луч). В самой точкеaфункции могут быть не определены. Пустьпри.
I правило.Если:
Существует конечный или бесконечный предел . Тогда:.
II правило.Если:
;
Существует конечный или бесконечный предел Тогда:.
Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида или. Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов:. Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность видаили.
Примеры:
1..
2. .
3. .
4. .
Вычислим:
Поэтому, .
Производные высших порядков
Если функция , определенная в, имеет производную во всех точках, то эту производную можно рассматривать как новую функцию,.
К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.
Если , определенная в, имеет конечную производнуюв точке, то значение этой производной является второй производной функции.
Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.
Контрольные вопросы к теме №5
Понятия приращения аргумента и приращения функции.
Производная функции, ее геометрический смысл.
Понятие дифференцируемости функции.
Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.
Понятие сложной и обратной функции.
Правила вычисления производных сложной и обратной функций.
Основные теоремы дифференцирования.
Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.
Производные высших порядков.
ТЕМА 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Лекция 17. Исследование функций
Основные понятия:
монотонность функции; экстремум функции; локальный экстремум функции; стационарные точки функции; глобальный экстремум функции; выпуклость функции; точка перегиба функции; интерполяция функции; узлы интерполирования; интерполяционный полином Лагранжа; аппроксимация функций; формула Тейлора; формула Маклорена; эмпирические формулы; невязка.
Основные понятия
Процесс управления требует от менеджера компактного представления разносторонних знаний из разных областей хозяйственной, управленческой, налоговой, коммерческой и других видов деятельности в виде разнообразных функциональных зависимостей.
В процессе такой деятельности перед менеджером возникают задачи тактического и стратегического планирования, оценки возможностей предприятия и конкурентов, оптимального распределения ресурсов, разумного реагирования на налоговую политику, выбора ценовой и инвестиционной политики и др.
Важную роль при этом играет исследование функций, используемых при построении математической модели рассматриваемой проблемы. Такое исследование проводится с учетом свойств конкретных функций и позволяет уточнить сформулированную математическую задачу, решая которую (с учетом выбранного метода решения), рассчитывают получить определенный результат, требующий в дальнейшем интерпретации в терминах исследуемой проблемы.
Все это связано с выявлением таких свойств функций, используемых в модели, как характер изменения (монотонность), наличие точек с особыми свойствами (стационарные точки, экстремумы), геометрические свойства (выпуклость графика функции) и другие.
Настоящий раздел посвящен исследованию функций методами дифференциального исчисления и использованию полученных навыков для решения задач.