- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде, то оно называетсяуравнением с разделяющимися переменными.
Исключим из рассмотрения точки, в которых и. После этого разделим обе части уравнения наи получим уравнение:
, в котором переменные разделены.
Общим интегралом уравнения будет:
.
Пример.Найти общий интеграл уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку.
Общим интегралом будет или.
Полагая в нем , находим, что. Искомой интегральной кривой будет.
Пример.Найти общий интеграл .
Разделим переменные в данном уравнении, деля обе части на : .
Почленно интегрируя, получим: ;
;
.
Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.
Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени из рекламы получили информациючеловек из общего числапотенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент временичисло знающих о продукции людей равно. Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению:
.
Здесь – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента:
.
Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:
.
В общее решение входит неопределенная константа . Полагая, получим равенство:, из которого определим функцию:.
Здесь . Такого вида функция называетсялогистической, а её график –логистической кривой.
Если теперь учесть, что и положитьгде, то можно найти значение константы. Логистичеcкая функция примет вид: .
На рисунке приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях . Здесь величинаусловно принималась за 1, а величинабралась равной 0,5.
С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.
Однородные дифференциальные уравнения
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.
Многочлен называется однородным степени, если все члены его имеют один и тот же порядок, т.е. для каждого членавыполняется условие.
Например, есть однородный многочлен степени 2. Интересно отметить, что если аргументыиоднородного многочлена степенизаменить пропорциональными величинамии, то в результате исходный многочлен будет умножен на величину, равную коэффициенту пропорциональности в степени, т.е.. Так, для приведенного выше полинома:
Это свойство положено в основу общего определения однородной функции.
Определение. Функция называетсяоднородной функцией степени (или-го измерения), если для любого числаимеет место тождество.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называетсяоднородным, если коэффициенты ипри дифференциалах переменныхи– однородные функции одной и той же степени.
Пусть однородное дифференциальное уравнение имеет вид или. Записывая это уравнение в полных дифференциалах, получим.
При стоит коэффициент, равный единице, т.е. однородная функция нулевой степени. Следовательно,также должна быть однородной функцией нулевой степени. Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядкаявляется однородным тогда и только тогда, когдаявляется однородной функцией нулевой степени. Другими словами, однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть преобразовано к виду.
Подстановка , гденовая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Если , тои. Подставляя в уравнение, получим:, т.е.или.
После интегрирования подставим вместои получим общий интеграл данного уравнения.
Пример.Проинтегрировать уравнение .
Разделив обе части равенства на , получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения:
.
Положив в нем и, получим уравнение с разделяющимися переменными:.
Разделяем переменные: .
Интегрируя и подставляя вместо, получим общий интеграл исходного уравнения:
;
;
.