Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде, то оно называетсяуравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых и. После этого разделим обе части уравнения наи получим уравнение:

, в котором переменные разделены.

Общим интегралом уравнения будет:

.

Пример.Найти общий интеграл уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку.

Общим интегралом будет или.

Полагая в нем , находим, что. Искомой интегральной кривой будет.

Пример.Найти общий интеграл .

Разделим переменные в данном уравнении, деля обе части на : .

Почленно интегрируя, получим: ;

;

.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени из рекламы получили информациючеловек из общего числапотенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент временичисло знающих о продукции людей равно. Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению:

.

Здесь – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента:

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа . Полагая, получим равенство:, из которого определим функцию:.

Здесь . Такого вида функция называетсялогистической, а её график –логистической кривой.

Если теперь учесть, что и положитьгде, то можно найти значение константы. Логистичеcкая функция примет вид: .

На рисунке приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях . Здесь величинаусловно принималась за 1, а величинабралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

Однородные дифференциальные уравнения

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Многочлен называется однородным степени, если все члены его имеют один и тот же порядок, т.е. для каждого членавыполняется условие.

Например, есть однородный многочлен степени 2. Интересно отметить, что если аргументыиоднородного многочлена степенизаменить пропорциональными величинамии, то в результате исходный многочлен будет умножен на величину, равную коэффициенту пропорциональности в степени, т.е.. Так, для приведенного выше полинома:

Это свойство положено в основу общего определения однородной функции.

Определение. Функция называетсяоднородной функцией степени (или-го измерения), если для любого числаимеет место тождество.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называетсяоднородным, если коэффициенты ипри дифференциалах переменныхи– однородные функции одной и той же степени.

Пусть однородное дифференциальное уравнение имеет вид или. Записывая это уравнение в полных дифференциалах, получим.

При стоит коэффициент, равный единице, т.е. однородная функция нулевой степени. Следовательно,также должна быть однородной функцией нулевой степени. Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядкаявляется однородным тогда и только тогда, когдаявляется однородной функцией нулевой степени. Другими словами, однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть преобразовано к виду.

Подстановка , гденовая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Если , тои. Подставляя в уравнение, получим:, т.е.или.

После интегрирования подставим вместои получим общий интеграл данного уравнения.

Пример.Проинтегрировать уравнение .

Разделив обе части равенства на , получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения:

.

Положив в нем и, получим уравнение с разделяющимися переменными:.

Разделяем переменные: .

Интегрируя и подставляя вместо, получим общий интеграл исходного уравнения:

;

;

.