Односторонние пределы

В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функцииприсчитать, что, то получаютодносторонний предел справаилиправостороннийпредел функции в точке. Если же считать, чтои, то получают односторонний предел слеваилилевостороннийпредел.

Так, например, односторонние пределы функции , изображенной на Рис. 2, соответственно, равны:и.

Правосторонний предел обозначают символом , левосторонний ‑ символом. Таким образом:

.

В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения .

Для того, чтобы у функции в точкесуществовал двусторонний предел, необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределыифункциив точке, и эти пределы были равны между собой:.

Пример.

Пример.

Пределы на бесконечности

Кроме предела в точке , можно рассматривать предел в точке, бесконечно удаленной в сторонуили. В этом случае понятие предела необходимо уточнить.

Говорят, что предел функции приравен, если длясуществуеттакое, что для, удовлетворяющего условию, выполняется неравенство. Аналогично,при, если длясуществуеттакое, что для,, выполняется неравенство.

Если функция , гдеиесть суммы одночленов от переменнойто предел отношенияприилиравен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменнойфункцийи).

Пример 3. , поскольку длявыполнено неравенство, если только

Пример 4..

Пример 5.

.

Бесконечные пределы

Функция называетсябесконечно малойпри(или, или) если для сколь угодно малого положительного числанайдется такое положительное число(), что для всехбудет верно неравенство.

При () функцияназываетсябесконечно малой,если для сколь угодно малого положительного числанайдется такое положительное число, что для всехбудет верно неравенство.

Предел бесконечно малой величиныв точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е..

Теорема:Если функция , определенная на множествеимеет пределв точке сгущения(или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины:.

Справедлива также и обратная теорема:Если функцию , определенную на множестве, можно представить в точке сгущения(или на бесконечности) в виде суммы числаи бесконечно малой величины:то числоявляется пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

• Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;

• Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция называетсябесконечно большойпри(или, или) если для сколь угодно большого положительного числанайдется такое положительное число(), что для всехбудет верно неравенство.

При () функцияназываетсябесконечно большой,если для сколь угодно большого положительного числанайдется такое положительное число, что для всехбудет верно неравенство.

Предел бесконечно большойвеличиныв точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е..

Свойства бесконечно больших величин:

• Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;

• Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;

• Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема.Если функция есть бесконечно малая величина при() то функцияесть бесконечно большая величина при().

Обратная теорема.Если функция есть бесконечно большая величина при() то функцияесть бесконечно малая величина при().

Сравнение бесконечно малых величин:

• Две бесконечно малые величины иназываются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е.;

• Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с, если предел отношениякравен нулю, т.е.;

• Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с, если предел отношениякявляется бесконечно большой величиной, т.е.;

• Две бесконечно малые величины иназываются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е..

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность . Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

Если и,то

Если иприадляблизких к(т.е.ограничена в окрестности точки), то.

Пример 8. , т.к., а

Пример 9. т.к.ипри.