Контрольные вопросы к теме №8

1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

2. Операция интегрирования, табличные интегралы.

3. Метод замены переменных и особенности его применения.

4. Метод интегрирования по частям и основные виды интегралов, вычисляемых с его использованием.

5. Интегрирование рациональных выражений, метод рационализации.

Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы

Основные понятия:

интегральная сумма; определенный интеграл; верхний предел интегрирования; нижний предел интегрирования; верхняя и нижняя суммы Дарбу; равномерная непрерывность функции; квадрируемость фигур; криволинейная трапеция; тела вращения; несобственный интеграл.

Интегральные суммы

Пусть функция задана на сегменте,. Обозначим символомразбиение сегментапри помощи некоторых несовпадающих друг с другом точекначастичных сегментов,,,. Точки,,,будем называть точками разбиения. Пусть- произвольная точка частичного сегмента, а- разность, которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента.

Определение.Число , где:

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиениюсегментаи данному выбору промежуточных точекна частичных сегментах.

Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение .

Определение.Число называетсяпределом интегральных сумм при, если для любого положительногоможно указать такое число, что для любого разбиениясегмента, для которого максимальная длиначастичных сегментов меньше, независимо от выбора точек, на сегментахвыполняется неравенство, т.е..

Определение.:Функция называетсяинтегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный пределинтегральных сумм этой функции при. Указанный пределназываетсяопределенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.

Числа иназываются, соответственно,верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования.

В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось, линиии, а также график функции .

Обозначим черезисоответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте.

Определение:Суммы:

и

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиениясегмента.

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиениясегментазаключена между верхней и нижней суммойиэтого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

1. Для любого фиксированного разбиения и для любогопромежуточные точкина сегментахможно выбрать так, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам. Точкина сегментахможно выбрать также и таким образом, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам.

2. Если разбиение сегментаполучено путем добавления новых точек к точкам разбиенияэтого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и.

3. Пусть и- любые два разбиения сегмента. Тогда если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи, тои.

4. Множество верхних сумм данной функциидля всевозможных разбиений сегментаограничено снизу. Множествонижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множестваверхних сумм, а через- точную верхнюю грань множества нижних сумм.

Определение:Числа иназываются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции.

5. Пусть разбиение сегментаполучено из разбиениядобавлением к последнемуновых точек, и пусть, если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи. Тогда для разностейиможет быть получена оценка, зависящая от максимальной длинычастичных сегментов разбиения, числадобавленных точек и точных верхней и нижней гранейифункциина сегменте. Именнои.

6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбуиот функциипо сегментуявляются соответственно пределами верхних и нижних сумм прии, следовательно,:

, , и при этом.