- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Контрольные вопросы к теме №8
Понятия первообразной и неопределенного интеграла.
Операция интегрирования, табличные интегралы.
Метод замены переменных и особенности его применения.
Метод интегрирования по частям и основные виды интегралов, вычисляемых с его использованием.
Интегрирование рациональных выражений, метод рационализации.
Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
Основные понятия:
интегральная сумма; определенный интеграл; верхний предел интегрирования; нижний предел интегрирования; верхняя и нижняя суммы Дарбу; равномерная непрерывность функции; квадрируемость фигур; криволинейная трапеция; тела вращения; несобственный интеграл.
Интегральные суммы
Пусть функция задана на сегменте,. Обозначим символомразбиение сегментапри помощи некоторых несовпадающих друг с другом точекначастичных сегментов,,,. Точки,,,будем называть точками разбиения. Пусть- произвольная точка частичного сегмента, а- разность, которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента.
Определение.Число , где:
называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиениюсегментаи данному выбору промежуточных точекна частичных сегментах.
Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.
Введем обозначение .
Определение.Число называетсяпределом интегральных сумм при, если для любого положительногоможно указать такое число, что для любого разбиениясегмента, для которого максимальная длиначастичных сегментов меньше, независимо от выбора точек, на сегментахвыполняется неравенство, т.е..
Определение.:Функция называетсяинтегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный пределинтегральных сумм этой функции при. Указанный пределназываетсяопределенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:
.
Числа иназываются, соответственно,верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования.
В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось, линиии, а также график функции .
Обозначим черезисоответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте.
Определение:Суммы:
и
называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиениясегмента.
Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиениясегментазаключена между верхней и нижней суммойиэтого разбиения.
Свойства верхних и нижних сумм:
Для любого фиксированного разбиения и для любогопромежуточные точкина сегментахможно выбрать так, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам. Точкина сегментахможно выбрать также и таким образом, что интегральная суммабудет удовлетворять неравенствам.
Если разбиение сегментаполучено путем добавления новых точек к точкам разбиенияэтого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и.
Пусть и- любые два разбиения сегмента. Тогда если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи, тои.
Множество верхних сумм данной функциидля всевозможных разбиений сегментаограничено снизу. Множествонижних сумм ограничено сверху.
Обозначим через точную нижнюю грань множестваверхних сумм, а через- точную верхнюю грань множества нижних сумм.
Определение:Числа иназываются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции.
Пусть разбиение сегментаполучено из разбиениядобавлением к последнемуновых точек, и пусть, если,и,- соответственно нижние и верхние суммы разбиенийи. Тогда для разностейиможет быть получена оценка, зависящая от максимальной длинычастичных сегментов разбиения, числадобавленных точек и точных верхней и нижней гранейифункциина сегменте. Именнои.
Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбуиот функциипо сегментуявляются соответственно пределами верхних и нижних сумм прии, следовательно,:
, , и при этом.