Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию задать на множестве натуральных чисел, то множество значений функции будет счетным и каждому номеруставится в соответствие число. В этом случае говорят, что заданачисловая последовательность. Числаназываютэлементамиили членами последовательности, а число– общим или–м членом последовательности. Каждый элементимеет последующий элемент. Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером, т.е. указанием формулы ее‑го члена.

Пример. Последовательностьможет быть задана формулой:.

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее-го члена.

Пример. Последовательность‑это последовательность

Множество всех элементов последовательности обозначается.

Пусть и‑ две последовательности.

Суммой последовательностейиназывают последовательность, где, т.е..

Разностьюэтих последовательностей называют последовательность, где, т.е..

Если и ‑постоянные, то последовательность ,называютлинейной комбинациейпоследовательностейи, т.е.

.

Произведениемпоследовательностейиназывают последовательность с-м членом, т.е..

Если , то можно определитьчастное.

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей иназываются ихалгебраическимикомпозициями.

Пример. Рассмотрим последовательности и, где. Тогда, т.е. последовательностьимеет все элементы, равные нулю.

, , т.е. все элементы произведения и частного равны.

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемуюподпоследовательностьюпоследовательности. Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности, то новую последовательность называютостатком.

Последовательность ограниченасверху(снизу), если множествоограничено сверху (снизу). Последовательность называютограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность сходится, если существует числотакое, что для любогосуществует такое, что для любого, выполняется неравенство:.

Число называютпределом последовательности. При этом записываютили.

Пример..

Покажем, что . Зададим любое число. Неравенствовыполняется для, такого, что, что определение сходимости выполняется для числа. Значит,.

Иными словами означает, что все члены последовательностис достаточно большими номерами мало отличается от числа, т.е. начиная с некоторого номера(при) элементы последовательности находятся в интервале, который называется–окрестностью точки.

Последовательность , предел которой равен нулю (, илипри) называетсябесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

• Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

• Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема.Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы, где– постоянная;– бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

2. Сходящаяся последовательность ограничена;

3. Если , то;

4. При любых постоянных и;

5. _;

6. Если ,и, то;

7. Если , то;

8. Если и, то;

9. Если , то.

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степеничислителя и знаменателя).

Последовательность называется:

• возрастающей, если ;

• строго возрастающей, если ;

• убывающей, если ;

• строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема.Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.