Монотонность функции

Функция называетсявозрастающейна промежутке, еслидля любых точекииз промежутка, удовлетворяющих неравенству. Функция называетсяубывающейна, если из условияследует.

Теорема.Если функция непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале, то для того, чтобыбыла возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобыв каждой внутренней точке интервала.

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке тогда и только тогда, когда.

Пример.Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Вычислим: :.

Точки делят числовую прямуюна три интервала:.

Производная положительна на интервалах. Следовательно, функциявозрастает на каждом из этих интервалов. На интервалепроизводнаянеположительна, значит,убывает на этом интервале.

Локальный экстремум

Точка называется точкойлокального максимумафункции, если существует интервал, содержащий точкутакой что.

Точка называется точкойлокального минимумафункции, если существует интервал, содержащий точкутакой что.

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение:.

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Исследование стационарных точек

I правило.Если при возрастаниипри переходе через стационарную точкупроизводнаяменяет знак с+на‑, то‑ точка локального максимума. Еслименяет знак с‑на+, то‑ точка локального минимума функции. Еслине меняет знак в точке, то экстремума нет.

II правило.Если вторая производнаяв стационарной точкеположительная, то‑ точка локального минимума функции. Если вторая производнаяв стационарной точкеотрицательная, то‑ точка локального максимума функции.

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по Iправилу. Экстремум в такой точке называетсяострым экстремумом.

Пример.Найти экстремум функции .

.

Функция имеет стационарную точку (в этой точке производная равна нулю). В точкепроизводная обращается в бесконечность.

Поскольку приипри, то функция имеет в точкелокальный минимум. Это будет острый минимум.

При переходе через стационарную точку производная меняет знак с‑на+, значит, функция имеет локальный максимум.

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке функцияпринимает свое наибольшее значениеи свое наименьшее значениев точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значенийипоступают следующим образом.

• Находят стационарные точки функции;

• Находят точки , в которых производнаяне существует или обращается в бесконечность;

• Вычисляют значения:

‑и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут и‑ глобальные экстремальные значения.

Пример.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

;

.

Вычисляем . Получаем числа. Следовательно,,.

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции, заданной на множестве, называют множество точек плоскости с координатами. График называютвыпуклым внизна промежутке, если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называютвыпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называетсяточкой перегиба.

Если на промежутке вторая производнаяположительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Еслина промежутке, то график является выпуклым вверх на промежутке.

Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда, либоне существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точкене означает еще, что в точкебудет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

I правило.Еслиравна нулю или не существует ипри переводе через точкуменяет знак, то‑ точка перегиба графика функции.

II правило.Еслии, тоявляется точкой перегиба графика функции.

Пример.Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .

Вычислим вторую производную .

;

.

Точки иразбивают числовую прямую на три промежутка:. На промежутках вторая производная положительна, на промежутке‑ отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз наи выпуклым вверх на.

В точках вторая производная равна нулю. Вычислим:. Посколькуи, то в точке_,и в точкеграфик функции имеет перегиб.