Непрерывность функции в

Рассмотрим функцию , определенную в области. Предположим, что лишь одна переменнаяполучила приращение, а остальные переменные остались неизменными. Тогда разность:

называется частным приращением функции по переменной.

Функция называетсянепрерывной по переменной, если функция определена как в точке, так и в точке, и эти точки являются точками сгущения этой функции. При этом должно выполняться условие, т.е. бесконечно малым приращениям переменнойдолжны соответствовать бесконечно малые частные приращения функции.

Если приращение получают все переменные, то соответствующее приращение функции:

называется полным приращением функции (или просто приращением функции).

Естественно, что во всех точках, соответствующих как частным приращениям, так и полному приращению функции, сама функция должна быть определена.

Также следует отметить, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений:

.

Функция многих переменных, определенная в , называется непрерывной в точке сгущения, если:

1. ;

2. ;

3. .

Из данного определения следует, что:

• функция должна быть определена в точке и эта точка должна быть предельной в области существования функции;

• приращение для любой непрерывной функции является величиной бесконечно малой:причем это условие должно выполняться и для всех частных приращений функции_.

Таким образом, для выполнения требования непрерывности функции нескольких переменных в точке необходимо, чтобы функция была непрерывна как в самой точке, так и в некоторой окрестности этой точки, причем при достаточно малых по абсолютной величине приращениях переменных .

Непрерывность на множестве

Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Непрерывные функции многих переменных обладают следующими свойствами:

Композиции функцийивида:

1. _;

2. _;

3. _;

4. при являются непрерывными в точке, еслиинепрерывными в точке.

По аналогии с понятием сложной функции одной переменной для функций нескольких переменных можно ввести понятие суперпозиции функций.

Если функция определена в области, а семейство функцийопределено ви области изменения функций этого семействасодержатся во множестве, то взадана сложная зависимость. Если функцияопределена в областии непрерывна в, а функции определены ви непрерывны в, то при условии, что, функция является непрерывной в точке, то есть_.

Теоремы о непрерывности

Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса о непрерывности могут быть сформулированы и для функций многих переменных, однако в этом случае они имеют свою специфику, обусловленную более сложной природой множеств, на которых заданы функции, а также природой самих функциональных объектов.

Предварительно желательно ввести следующие геометрические истолкования функциональных объектов в :

• определенная на области может рассматриваться как гиперповерхность вмерном пространстве переменных;

• гиперкривая, которая задается как суперпозиция функции и параметрических зависимостей_.

Если области изменения функций семейства содержатся во множестве, то график гиперкривой целиком располагается на гиперповерхности.

Первая теорема Больцано-Коши.Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой и связной области. Если в двух точках областиивыполняется условие, то на гиперкривой, соединяющейисуществует точкатакая, что_.

Вторая теорема Больцано-Коши.Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой и связной области . Если в двух точках областиивыполняется условие, то, удовлетворяющего условию_, существует точка такая, что. Т.е. на каждом отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.

Теоремы Больцано-Коши требуют соблюдения условий связности области . При этом сама область может быть неограниченной, в то время как теоремы Вейерштрасса требуют, чтобы область была ограниченной, но не требуют обязательности выполнения условия связности.

Первая теорема Вейерштрасса.Если функция определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области, то она ограничена в этой области.

Вторая теорема Вейерштрасса.Если функция определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области, то она имеет минимум и максимум в этой области.

Таким образом, математический инструментарий, отработанный на элементарном и наглядном объекте – функциях одной переменной, легко переносится на объекты более сложной природы – функции многих переменных.