Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядканазывается уравнение вида:

,

(2)

где ‑ аргумент;‑ неизвестная функция.

Наиболее простым является дифференциальное уравнение, разрешенное относительно :.

Иногда уравнение первого порядка записывается в форме:

.

Функция называется решением уравнения (1), если она обращает его в тождество, т.е..

Решение, заданное неявно, т.е. в виде , называетсяинтеграломдифференциального уравнения.

Пример.Показать, что уравнение , определяющее, как неявную функцию от, есть интеграл дифференциального уравнения.

Дифференцируя данное уравнение, найдем :

.

Подставив в дифференциальное уравнение, получим тождество:

.

Дифференциальные уравнения семейства кривых

Однопараметрическим семейством кривыхназывается совокупность линий, определяемая уравнением. Фиксируя значение параметра, получают конкретную линию данного семейства. Например, уравнениеопределяет собой семейство парабол с вершиной в начале координат, симметричных относительно оси. Придавая параметрузначения, получают параболы.

Дифференцируя уравнение семейства линий по (считаяфункцией от):и исключая параметр, приходят к дифференциальному уравнению вида, которому удовлетворяет любая линия данного семейства.

Пример.Из семейства окружностей выделить ту, которая проходит через точку. Составить дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Чтобы выделить нужную окружность, необходимо найти соответствующее ей значение параметра . Так как искомая окружность проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя, получим. Искомое уравнение имеет вид:.

Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства окружностей , продифференцируем его по:или.

Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть является решением дифференциального уравнения. График функцииназываетсяинтегральной кривойуравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точкии угловым коэффициентом касательнойк интегральной кривой в той же точке.

Если через обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точкеи положительным направлением оси, то, а, следовательно,. Это означает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение равносильно заданию в области определения функцииполя направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением одно и то же, называетсяизоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения, если положить, т.е..

Пример.Изоклинами уравнения является семейство окружностей.

Задача Коши

Задача Кошидля дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргументапринимает заданное значение, т.е. удовлетворяет начальному условию.

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку .Решение задачи Коши называютчастным решением дифференциального уравнения.

Пример.Найти:

• семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания;

• кривую этого семейства, проходящую через точку .

Решение.

Дифференциальное уравнение искомого семейства или.

Проинтегрировав обе части равенства, получим: , откуда‑ уравнение семейства кривых, обладающих заданным свойством.

Определим значение , соответствующее начальным значениям:, т.е..

Следовательно, ‑ искомая интегральная кривая.

Дифференциальное уравнение –го порядка можно свести к системедифференциальных уравнений 1-го порядка. В самом деле, если обозначитьчерез,через,…,через, получим систему дифференциальных уравнений:

Для этой системы также можно ввести понятия частного и общего решений, а также начальных условий. Начальные условия можно задавать значениями всех функций в некоторой точке, т.е. это просто начальные условия исходного уравнения–го порядка. Когда такое решение будет найдено, то функциябудет искомым частным решением исходного уравнения–го порядка. Верно и обратное: если дана произвольная система дифференциальных уравнений первого порядка, то, исключив из нее все неизвестные функции, кроме одной, ее можно свести к одному уравнению соответствующего порядка, которое, возможно, проще решить.

Пример.Решить систему двух уравнений первого порядка:

Решение.Продифференцировав первое уравнение, получим. Подставим в негоиз второго уравнения, получим. Общее решение этого уравнения имеет вид. Используя первое уравнение, получаем, и исходная система решена.

Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида:

,

которую коротко можно записать в векторной форме .

Задача Коши для такой системы формулируется следующим образом: для заданной точки найти вектор-функцию, которая является решением системы уравнений и.

Рассмотрим задачу Коши для разрешенного относительно дифференциального уравнения–го порядка, которое можно получить из рассмотренной выше системы дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести обозначения:

;

;

;

;

……………………

;

,

получится эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка:

Задача Коши для уравнения –го порядка формулируется следующим образом: найти решение уравнениядля данных значений:

Точки иназываютсяначальными условиями, их можно записать также в видеи.

Существование и единственность решения задачи Коши может быть сформулировано в виде следующих теорем.

Теорема. Пусть в некоторой области функцияи ее частная производнаянепрерывны. Тогда через каждую точкупроходит единственное решение дифференциального уравнения.

Графически это можно представить как семейство кривых, представляющих графики решений, которые полностью заполняют область , но при этом они не могут иметь общих точек, т.е. они не пересекаются и не касаются друг друга.

Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений.

Если функции и их частные производные понепрерывны в–мерной области, то через каждую точкуобластипроходит единственное в областирешениесистемы дифференциальных уравнений:

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши позволяют описать множество решений дифференциального уравнения в виде общего решения.