Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной

.

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянныеи. Геометрически общее решение представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметрови. Вообще говоря, через каждую точкуплоскостипроходит пучок интегральных кривых. Поэтому, чтобы из семейства интегральных кривых выделить одну определенную интегральную кривую, недостаточно указать точку, через которую проходит эта кривая, нужно указать еще и направление, в котором кривая проходит через эту точку, т.е. задать тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точкес положительным направлением оси.

Задача Коши

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где‑ заданные числа, называетсязадачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример.Решить задачу Коши .

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: ,.

Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант ииз системы уравнений:.

Следовательно, ,и искомое решение:.

Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка не решается аналитически, однако, в некоторых случаях, дифференциальные уравнения второго порядка определенных типов решаются с применением операции неопределенного интегрирования.

Тип I.

Интегрируя, получим .

Интегрируя еще раз, окончательно получим , гдеи– произвольные постоянные, и неопределенные интегралы трактуются как некоторые первообразные соответствующих функций.

Тип II. .

Положим, . Отсюда, рассматриваякак функцию от, будем иметь:.

Следовательно, уравнение примет вид. Разделяя переменные, получим.

Интегрируя последнее уравнение, находим:

или .

Так как , то. Отсюда, разделяя еще раз переменные и интегрируя, получим:

.

Тип III. .

Положим , тогда. Уравнение примет вид:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Определив из этого уравнения величину , путем вторичного интегрирования, можно найти и.

Случаи понижения порядка

Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

I.Пусть левая часть уравнения не содержит, т.е. уравнение имеет вид. Полагаяи, получим дифференциальное уравнение первого порядка, где роль независимой переменной играет.

II.Пусть левая часть уравнения не содержит, т.е. уравнение имеет вид. Полагаяи, получим уравнение первого порядкас неизвестной функцией.

Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными коэффициентамии.

Предположим, что и– частные (т.е. не содержащие произвольных постоянных) решения этого уравнения.

Определение.Два решения иназываютсялинейно зависимыми, если можно подобрать числа ине равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е..

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения иназываютсялинейно независимыми. Иными словами, если функцииилинейно независимы и выполняется тождество, то числаиодновременно равны нулю.

Очевидно, решения ибудут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е.(или наоборот), где– постоянный коэффициент пропорциональности.

Понятие линейной независимости применимо к любой паре функций. Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость нескольких функций.

Зная два частных линейно независимых решения линейного однородного уравнения, легко получить общее решение этого уравнения.

Теорема. Если и– линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение имеет вид, гдеи– произвольные конечные постоянные величины.