Бесконечный предел

Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно большой (, при), еслитакое, что при.

Говорят, что предел последовательности равен, если длятакое, чтовыполняется неравенство:.

В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь предела. Например, по модулю неограниченно растет, но сама величинане имеет определенного стремления.

Замечательные пределы

Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

1. , где

2. 

Покажем, что

Для простоты примем, что (см. Рис.1.), причем, так как дуга стремится к нулю при , то можно считать, что (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины и с помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

Площади треугольников , и сектора соотносятся следующим образом:

Отсюда , и после деления на , получим, а для обратных величин. Так как припоследовательность , а, следовательно, , то видно, что последовательность заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности, справедливо равенство.

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что, а. Тогда:

,

.

Таким образом, , так как в каждом слагаемом множители видаимеют меньшую величину по сравнению спри одном и том же, а также выражение дляимеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность сверху можно показать следующим образом:

.

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности имеет предел:

,

который обозначается (основание натурального логарифма).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Принцип сходимости

Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

Лемма Кантора.Пусть дана последовательность промежутков , где. Если при этом, то последовательностииимеют равные пределы:.

Теорема Больцано – Вейерштрасса.Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость последовательности к конечному пределуозначает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числаи, следовательно, мало отличаются друг от друга.

Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Коши.

Критерий Коши.Последовательность сходится тогда и только тогда, когдатакое, чтовыполняется неравенство:.

Предел функции. Теорема Гейне

Рассмотрим функцию , определенную на множестве. Пусть. Точканазываетсяпредельнойилиточкой сгущениямножества, если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от. В этом случае из множестваможно выделить последовательность, сходящуюся к. К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в составвместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел, все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые вне входят.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множествоназывается открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция , определенная на множествеимеет пределв точке сгущения: если для любогонайдется такое, что при.

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции , задаваемых для различных последовательностей, стремящихся к. Можно легко показать, что при любом выборе последовательности, если существует предел соответствующих последовательностей, то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция , имеющая пределпри, ограничена в некоторой окрестности точки. Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

• Если – есть постоянная функция, то;

• Если существуют , и в некоторой окрестности точкифункцияограничена, т.е., тогда;

• Если существуют ипри каком-то условии, то(при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

• Если существуют ипри каком-то условии, то(при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула;

• Если существуют ипри каком-то условии, то(при том же условии);

• Если и существуют,и, то.