- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Основные правила интегрирования
Теорема:Любая непрерывная на интервале функцияимеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:
,
где - любая фиксированная точка интервала.
Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразнаянепрерывной на сегментефункцииимеет вид:
где - некоторая постоянная.
Полагая в последней формуле сначала , затем, и используя первое свойства определенного интеграла, получим:
, .
Из этих равенств вытекает соотношение:
,
которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона – Лейбница.
Пусть выполнены следующие условия:
1) Функция непрерывна на отрезке;
2) отрезок является множеством значений некоторой функции, определенной на отрезкеи имеющей на этом отрезке непрерывную производную;
3) ,.
При этих условиях справедлива формула:
Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Пусть функции иимеют непрерывные производные на сегменте. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:
.
Так как и, то эту формулу можно записать следующим образом:
.
Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
Определение: Плоская фигура – часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой, при этом криваяназывается границей фигуры.
Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру , если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуреили ее границе.
Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры .
Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигурымногоугольника.
Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигурумногоугольников, а- числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигурымногоугольников. Очевидно, что множествоограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигурымногоугольника), а множествоограничено снизу (например, числом нуль).
Обозначим через точную верхнюю грань множества, черезточную нижнюю грань множества.
Числа иназываются соответственнонижнейплощадью иверхнейплощадью фигуры
Замечание: Нижняя площадь фигурыне больше верхней площади, т. е..
Определение. Плоская фигура называетсяквадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число называетсяплощадью фигуры .
Теорема:Для того чтобы плоская фигура была квадирируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числаможно было указать такой описанный вокруг фигурымногоугольник и такой вписанный в фигурумногоугольник, что разностьплощадей которых была бы меньше,.
Определение:Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции, ординатами, проведенными в точкахи, и отрезком осимежду точкамии.
Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле:
. Объемы тел вращения
Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела.
Пусть - числовое множество объемов вписанных в тело, а- числовое множество объемов описанных вокругмногогранников. Множествоограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множествоограничено снизу (например, числом нуль).
Обозначим через точную верхнюю грань множества, а черезточную нижнюю грань множества.
Числа иназываются соответственнонижним объемом и верхним объемомтела.
Замечание:Нижний объемтелане больше верхнего объемаэтого тела, т. е..
Определение:Тело называется кубируемым, если верхний объемэтот тела совпадает с нижним объемом. При этом числоназывается объемом тела.
Теорема: Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числаможно было указать такой описанный вокруг теламногогранник и такой вписанные в теломногогранник, разностьобъемов которых была бы меньше.
Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте. Тогда тело, образованное вращением вокруг осикриволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, ординатами в точкахи, и отрезком осимежду точкамии, кубируемо и его объемможет быть найден по формуле:
.