- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Свойствакратного интеграла
Интеграл по области, имеющей нулевую «объемную» меру в , равен нулю. При этом к областям с нулевой «объемной» мерой в, относятся разнообразные множества, которые заданы в пространстве,.
Если две функции иинтегрируемы в, то сумма этих функций также интегрируема ви.
Если функция интегрируема в, а– постоянная величина, то функциятакже интегрируема ви.
Пусть область является объединением областейи, а пересечение этих областей есть множество, размерность которого меньше. Если функцияинтегрируема в, то она интегрируема вии при этом.
Если функция определена и интегрируема в, и при этом(за исключением, быть может, некоторой частис размерностью меньше), то.
Если две функции иопределены и интегрируемы в, причем, то.
Если функция определена и интегрируема в, тотакже интегрируема в, причем.
Если функция является постоянной, то.
Если функция определена и интегрируема ви ограничена снизу и сверху значениямии, соответственно (,,), то.
Контрольные вопросы к теме №10
Понятие двумерных интегральных сумм и их сходимость.
Повторное интегрирование и методы вычисления двойных и кратных интегралов.
Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
Основные понятия:
числовой ряд; элементы ряда; частная сумма ряда; сходимость ряда; расходящиеся ряды; геометрический ряд; гармонический ряд; остаток ряда; признак Даламбера; интегральный признак; признак Коши; степенной признак; знакопеременный ряд; знакочередующийся ряд; признак Лейбница; абсолютная сходимость ряда; функциональный ряд; область сходимости; равномерная сходимость ряда; степенной ряд; множество сходимости; радиус сходимости; Ряд Тейлора; кусочно-дифференцируемая функция; ортогональные функции; гармонический анализ; коэффициенты Фурье; ряд Фурье.
Основные понятия
Пусть ‑ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность, построенную следующим образом:
;
;
;
;
Последовательность удобно записывать в виде. Такую последовательность называютчисловым рядом. Числаназываютчленамиилиэлементамиряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданногоможно вычислить-й член ряда.
Пример.Ряд имеет-й член.
Поэтому
т.е. .
Рассмотрим ряд:
(1) |
Сумму называют -й частной суммой ряда(1). Если последовательностьчастных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называютсходящимся, а числоназывают суммой ряда. Если же последовательностьне имеет конечного предела, то ряд (1) называютрасходящимся.
Пример.Рассмотрим ряд .Для него, что представляет собой сумму первыхчленов геометрической прогрессии.
Если , тои.
Если , тои.
Если , тои.
Если ,
то
и не существует.
Таким образом, ряд присходится и расходится при. Этот ряд называетсягеометрическим.
Пусть ряд (1) сходится и ‑ его сумма. Поскольку,
, |
(2) |
то при получаем.
Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то:
. |
(3) |
Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.
Пример.Ряд расходится, т.к.и.
Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармоническогоряда. Для этого рядапри, т.е. условие (3) выполнено. В то же время:
,
.
Поэтому .
Предположим, что гармонический ряд сходится и ‑ его сумма, т.е.при. Поскольку, то приполучаем‑ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.
Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемыйостатком ряда(1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.