- •Академия управления при Президенте Республики Беларусь
- •Содержание
- •Тема 4. Функции 9
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 34
- •Тема 6. Исследование функций 45
- •Тема 7. Пространство 66
- •Тема 8. Неопределенные интегралы 100
- •Тема 9. Определенные интегралы 114
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла 132
- •Тема 11. Ряды 140
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения 171
- •Тема 4. Функции Лекция 15. Функции
- •Основные понятия
- •Понятие числовой последовательности
- •Сходящиеся последовательности
- •Бесконечный предел
- •Замечательные пределы
- •Принцип сходимости
- •Предел функции. Теорема Гейне
- •Односторонние пределы
- •Пределы на бесконечности
- •Бесконечные пределы
- •Непрерывность функции
- •Непрерывность композиции
- •Точки разрыва
- •Контрольные вопросы к теме №4
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 16. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Определение и смысл производной
- •Построение касательной к графику функции
- •Экономический смысл производной
- •Эластичность функции
- •Дифференцируемость функции
- •Правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Дифференциал
- •Приближенные вычисления
- •Свойства дифференцируемых функций
- •Правила Лопиталя
- •Монотонность функции
- •Локальный экстремум
- •Исследование стационарных точек
- •Глобальный экстремум
- •Выпуклость и перегибы графика функции
- •Исследование функции и построение графика
- •Интерполяция и аппроксимация функций
- •Интерполяционный полином Лагранжа
- •Формула Тейлора
- •Основные разложения
- •Понятие об эмпирических формулах
- •Контрольные вопросы к теме №6
- •Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
- •Точки, расстояние. Множества в
- •Последовательности в. Сходимость
- •Функции в. Предел. Теорема Гейне
- •Непрерывность функции в
- •Непрерывность на множестве
- •Теоремы о непрерывности
- •Дифференцируемость функций в. Частные производные
- •Дифференциал функции нескольких переменных
- •Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия
- •Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций
- •Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала
- •Формула Тейлора
- •Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек
- •Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы к теме №7
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Замена переменных
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Вычисление
- •Контрольные вопросы к теме №8
- •Тема 9. Определенные интегралы Лекция 20. Определенные интегралы
- •Интегральные суммы
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Равномерно непрерывные функции
- •Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Оценки интегралов. Формулы среднего значения
- •Основные правила интегрирования
- •Приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры
- •. Объемы тел вращения
- •Несобственные интегралы
- •Интегрирование неограниченных функций
- •Интегрирование по бесконечному промежутку
- •Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Контрольные вопросы к теме №9
- •Тема 10. Понятие кратного интеграла Лекция 21. Понятие кратного интеграла
- •Интегрирование функций многих переменных
- •Свойствакратного интеграла
- •Контрольные вопросы к теме №10
- •Тема 11. Ряды Лекция 22. Ряды
- •Основные понятия
- •Положительные ряды
- •Знакочередующиеся ряды
- •Абсолютная сходимость
- •Функциональные ряды
- •Степенной ряд
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье четных и нечетных функций
- •Понятие о рядах Фурье непериодических функций
- •Контрольные вопросы к теме №11
- •Тема 12. Дифференциальные уравнения Лекция 23. Дифференциальные уравнения
- •Основные понятия
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения семейства кривых
- •Геометрическое истолкование дифференциального уравнения
- •Задача Коши
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Задача Коши
- •Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка
- •Случаи понижения порядка
- •Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные дифференциальные уравнения-го порядка
- •Контрольные вопросы к теме №12
- •Вопросы к экзамену
- •Литература
- •Высшая математика
- •220007, Г. Минск, ул. Московская, 17.
Контрольные вопросы к теме №6
Критерии монотонности функции.
Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.
Понятие стационарных точек функции.
Области выпуклости графика функции и точки перегиба.
План исследования функции и построение ее графика.
Интерполяция и аппроксимация функций.
Интерполяционный полином Лагранжа.
Формула Тейлора и формула Маклорена.
Понятие эмпирических функций.
Тема 7. Пространство Лекция 18. Пространство
Основные понятия:
точка; расстояние; сфера; точка сгущения; внутренняя точка; внешняя точка; граничная точка; изолированная точка; открытая область; замкнутое множество; совершенное множество; сходимость последовательности точек; ограниченная последовательность точек; функция нескольких переменных; непрерывность функции; дифференцируемость функции; частные приращения; частные производные; композиция функций; полный дифференциал функции; формула Тейлора; локальный экстремум; стационарные точки; критические точки; условный экстремум; метод наименьших квадратов.
Точки, расстояние. Множества в
Последовательное –кратное выполнение операции декартова произведения множества действительных чиселна само себя формирует множествоэлементов, представляющих собой упорядоченные наборычисел. Такие наборы называютточками. Множество всех таких точек образует-мерное арифметическое пространство. Приполучаем арифметическое пространствоили плоскость. При‑ арифметическое пространствоили обычное 3-х мерное пространство.
Точки можно складывать и умножать на число.
Так, если а, то:
,
.
Расстоянием между точками ипринято называть число.
При и‑ это обычное расстояние между точками на плоскости или в пространстве.
Расстояние обладает следующими свойствами:
;
;
.
С помощью понятия расстояния можно определить понятие сферы радиусас центром в точке, как множество точек, каждая из которых находится на расстоянииот точки.
Шаром с радиусом и центром в точкеназывается множество точекудаленных от точкина расстояние не превосходящее:
Множество называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. Нетрудно показать, что ограниченность множестваозначает, что существует такое число, что величины координат любой точкиизпо абсолютной величине не превосходит.
Пусть число сколь угодно мало, тогда множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству, называются окрестностью точки, т.е. для всех точекизокрестности точкирасстояние.
Далее, используя понятие окрестности, можно ввести классификацию точек области.
Точка называетсяпредельнойилиточкой сгущенияобласти, если в любойокрестности точкинайдутся точки множества, отличные от точки.
Точка называетсявнутреннейточкой множества, если она входит ввместе с некоторой окрестностью. Любая внутренняя точка является предельной точкой множества, однако обратное утверждение не верно. Например, множество рациональных чиселсоставлено только из предельных точек, но ни одна из них не является внутренней точкой.
Точка называетсявнешнейточкой множества, если вне входит ни сама точкани точки ееокрестности.
Точка называетсяграничнойточкой множества, если любая ееокрестность содержит как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.
Точка называетсяизолированнойточкой множества, если она принадлежит, но имеет некоторую окрестность, в которой отсутствуют точки этого множества, отличные от. Изолированными точками являются, например, целые числа.
Множество, составленное из одних внутренних точек, называется открытой областью. Множество, которое содержит все свои предельные точки, называетсязамкнутым. Множество, которое не содержит изолированных точек, называетсясовершенным.
Выполнение простейших операций над множествами, таких как объединение и пересечение, позволяет сформулировать следующие общие свойства множеств:
Любое объединение бесконечного числа открытых множеств является открытым множеством;
Любое пересечение бесконечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством;
Всякое конечное объединение замкнутых множеств является замкнутым множеством;
Всякое конечное пересечение открытых множеств является открытым множеством.
Примечания:
Бесконечное объединение замкнутых множеств может оказаться незамкнутым множеством;
Бесконечное пересечение открытых множеств может оказаться неоткрытым множеством.