Ряды Фурье четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл:

где – функция, непрерывная или кусочно–непрерывная на отрезке.

Делая в первом интеграле подстановку ,и учитывая независимость определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования, получим:

• Пусть функция – четная, т.е.. Тогда:

.

Таким образом, симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по половинному промежутку интегрирования.

• Пусть функция – нечетная, т.е.. Тогда:.

Таким образом, симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Теорема.

1. Ряд Фурье четной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только четные гармоники, включая свободный член;

2. Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только нечетные гармоники.

Доказательство:

1. Пусть функция – четная и периодическая с периодом, аи– ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что– нечетные функции, имеем.

Поэтому , где:

.

2. Пусть функция – нечетная и периодическая с периодом, аи– ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что– четные функции, имеем.

Поэтому , где:

.

Теорема доказана.

Понятие о рядах Фурье непериодических функций

Кусочно-дифференцируемую непериодическую функцию , заданную на бесконечной оси, нельзя представить ее рядом Фурье, так как его сумма, будучи суммой гармоник с общим периодом, есть функция периодическая с тем же периодом и, следовательно, не может быть равен функциидля всех. Однако можно построить представление этой функции в виде соответствующего ряда Фурье на любом конечном промежутке.

Пусть интересующий промежуток есть , т.е. симметричен относительно начала координат (этого всегда можно добиться параллельным сдвигом оси_).

Построим функцию периодатакую, чтопри.

Предполагая, что функция удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, имеем:

, где коэффициенты иопределяются по формулам:

.

Отсюда на основании тождества получим:

, где:

.

Теперь необходимо подсчитать сумму ряда на концевых точках .

Согласно общей формуле:

на основании тождества между и, а такжепериодичности функцииочевидно, что,

Таким образом, получается, что:

Из периодичности функцииследует, что.

Пусть теперь необходимо непериодическую функцию представить в виде ряда Фурье периодана полупериоде.

Полагая ,

где – произвольная кусочно–дифференцируемая функция, получаем бесконечное множество рядов Фурье:

, (),

дающих представление функции на интервале.

В частности, полагая, что (), т.е. что функция– четная, получим:

, (),

где .

Аналогично, полагая, что (), т.е. что функция– нечетная, получим:

,

где .

Таким образом, кусочно–дифференцируемую функцию, заданную на полупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье бесчисленным множеством способов. В частности, по желанию эту функцию на данном полупериоде можно представить в виде суммы четных гармоник или в виде суммы нечетных гармоник.

Контрольные вопросы к теме №11

1. Понятия числового ряда и его сходимости.

2. Признаки сходимости ряда. Геометрический и гармонический ряды.

3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды, их сходимость и абсолютная сходимость.

4. Область сходимости функционального ряда. Понятие равномерной сходимости ряда.

5. Радиус сходимости степенного ряда, основные методы его определения.

6. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.

7. Понятие кусочно-дифференцируемой функции.

8. Понятие ортогональности функций.

9. Ряд Фурье. Понятие гармонического анализа.