posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

Дано:

СИ:

Решение:

а = 10 см

0,1 м

Согласно закону Стефана-Больцмана

Т1

= 80°С

353 К

энергетическая

светимость

(излучатель-

Т2

= 30°С

303 К

ность) абсолютно чёрного тела пропорциональ-

ρ = 998 кг/м3

на T 4 :

с = 4200 Дж / кг К

Re T 4 ,

σ = 5,67·10-8 Вт / м2 К4

где σ – постоянная Стефана-Больцмана.

τ = ?

С другой

стороны – это

элементарная

R

dW

.

е

S d t

Тогда элементарная (малая) энергия, излучаемая за малое время dt:

dW Rе S d t T 4 S dt .

(1)

Излучение происходит за счёт убыли тепловой энергии, т.е:

dW = – dQ.

(2)

Малое количество энергии dQ, теряемое водой, за это же время dt, при по-

нижении температуры на величину dT , равно:

dQ mc dT ,

(3)

где с – удельная теплоемкость воды, m – масса воды.

Подставим уравнения (1) и (3) в формулу (2):

T 4 S dt mcdT .

Откуда дифференциал времени:

dt mc

dT4 .

(4)

S

T

Проинтегрируем выражение (3):

mc T2

dT

mc

1

Т2

mc

1

1

dt

=>

S

.

0

S T1

T

3T

3 S T

T

Т1

2

1

3

c

1

1

аc

1

1

а

3 6а2

T 3

18

T 3

,

T 3

T 3

2

1

2

1

998 0,1 4200

1

1

8

8

18

5,67 10 8

4107 10

1321 10

5427с 1,51ч .

3033

3533

Дано:

Решение:

Т = 106 К

Давление теплового излучения связано с объёмной

с = 3·108 м/с

плотностью энергии (энергия, излучаемая единицей

σ = 5,67·10-8

Вт

объёма) излучения соотношением:

м2 К 4

р u .

(1)

р = ?

3

Связь энергетической светимости Rе абсолютно

чёрного тела с равновесной объёмной плотностью u энергии излучения:

R с u ,

(2)

е

4

где с – скорость света в вакууме.

Энергетическая светимость (излучательность) Re

черного тела - энер-

Re

T 4 ,

(3)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана.

Приравняем формулы (2) и (3):

с u T 4 .

4

Выразим объёмную плотность энергии:

u

4 T 4 .

с

Подставим в формулу давления (1):

р

4 T 4 .

3с

Произведём вычисления:

р

4 5,67 10 8 10

6 4

10

8

Па 2,52

10

3

атм .

3 3 108

2,52

Дано:

Си:

Решение:

max

10 мкм

10 10 6 м

Запишем закон смещения Вина - длина волны,

на которую приходится максимум энергии излучения:

T =?

max C1 ,

T

T

2,9 10

3

2

290 (К).

10 5

2,9 10

Ответ: Т = 290 К.

Домашнее задание № 2

С поверхности сажи площадью S 2см2 при температуре

T 400K за

лучения аТ сажи.

Дано:

СИ:

Решение:

t 5мин

300с

1 способ. Согласно закону Стефана-Больцмана

S 2см2

2·10-4 м2

энергетическая светимость (излучательность) серого

T 400 К

тела пропорциональна T 4 :

W 83 Дж

Rес аТ T 4 ,

аТ ?

где 5,67 10 8 Вт/(м2·К4) – постоянная Стефана-

аТ

W

.

S t T 4

Re T 4 ,

(1)

где 5,67 10 8 Вт/(м2·К4) – постоянная Стефана-Больцмана;

T – термодинамическая температура;

аТ - коэффициент теплового излучения (степень черноты).

Выразим из формулы (1) аТ , получим:

аТ

Re

.

(2)

T

4

Найдем Re из формулы:

Rе

Фе

,

(3)

S

где Фe - мощность излучения (поток);

S - площадь, через которую проходит поток.

Мощность излучения (поток) найдем из уравнения:

Фe

W

,

(4)

t

где W - тепловая энергия;

t - время, за которое поток (мощность) проходит через поверхность.

Подставим (4) в (3) и получим:

Re

W

.

(5)

S t

Подставим (5) в (2) и получим конечную форму лу для расчета коэффи-

циента теплового излучения:

аТ

W

.

S t T 4

Вычислим:

аТ

83

0,953.

2 10 4

300 5,67 10 8 4004

Дано:

СИ:

Решение:

T 5,3кK

5300 К

Согласно закону смещения Вина - длина волны, на

которую приходится максимум энергии излучения, обрат-

m ?

но пропорциональна температуре:

границу видимого спектра ( 1

750нм), на фиолетовую ( 2 380 нм).

Дано:

СИ:

Решение:

750нм

750·10-9 м

Согласно закону смещения Вина, длина волны

1

380·10-9 м

max, на которую приходится максимум энергии изл у-

2

380нм

чения, обратно пропорциональна температуре :

T1

?

b

T2

?

max

,

(1)

T

где b 2,9 10 3 м К – постоянная Вина.

Выразим из уравнения (1) температуру T :

T

b

и T

b

.

1

1

2

2

Подставив известные величины, получим:

T

2,9 10 3

3,8 (кК);

750 10 9

1

T2

2,9 10 3

7,6(кК).

380 10 9

Ответ: T1 3,8кК, T2 7,6 кК.

Домашнее задание № 5

Черное тело нагрели от температуры T1 500K до T2 2000K .

Опреде-

лить:

Re2 T24 .

(2)

Разделив выражение (2) на (1), получим:

Re2

4

T2

256 .

R

T

e1

1

Дано:

СИ:

Решение:

T1

2900 К

9·10-9 м

Согласно закону смещения Вина, длина волны

9 мкм

max , соответствующая максимуму фун кции r ,T

равна:

T2

?

max

b

,

где b 2,9 10 3 м К – постоянная Вина.

T

Для нашего случая:

m1

b

,

(1)

T1

m2

b

.

(2)

T2

Вычитая из выражения (2) выражение (1), получим:

2 1

b

b

bT1

bT2 .

(3)

T2

T1

T1T2

Преобразуем:

T1T2 bT1 bT2 => T1T2 bT2 bT1

Выразим искомую величину T2 :

T2

bT

2,9 10 3 2900

290(К).

1

T b

9 10 6 2900 2,9 10 3

1

Дано:

Решение:

ратм = 1,013·105 Па

Давление теплового излучения (по условию равно

с = 3·108 м/с

ратм) связано с объёмной плотностью энергии (энергия,

σ = 5,67·10-8

Вт

излучаемая единицей объёма) излучения соотношением:

м2 К 4

Т = ?

р ратм u .

(1)

3

Re T 4 ,

(4)

где σ – постоянная Стефана-Больцмана.

Приравняем формулы (3) и (4):

3сратм

T 4

4

Выразим температуру:

T 4

3сратм

4

Произведём вычисления:

14,2 102

Т 4

3 3 108 1,013 105

14,2 104

142 103 К 142кК .

4 5,67 10 8

10 2

фотоэффекта 0

= 500 нм.

Дано:

СИ:

Решение:

0 = λкр = 500 нм

500·10-9 м

Согласно уравнению Эйнштейна, для

h 6,63 10 34 Дж·с

фотоэффекта; энергия кванта света расходу-

c 3 108 м/с

ется на работу выхода Авых электрона из веще-

ства и на сообщение кинетической энергии Т

Aвых ?

(скорости) электрону:

Aвых Tmax ,

(1)

Частота излучения v связана с длиной волны соотношением:

vо =

с

,

(3)

0

Aвых h

с

.

(4)

0

Подставим численные значения:

A

6,63 10 34 3 10

8

4 10 19 Дж .

500 10 9

0,03978 10 17

вых

или Авых =

4 10 19 Дж

= 2,5 эВ.

1,6 10 19 Дж / эВ

Дано:

Си:

Решение:

= 300 нм

300·10-9м

1 способ. Применим формулу (4) выве-

Авых = 7,5·10-19 Дж

денную в задаче № 1:

h 6,63 10 34 Дж·с

Aвых h 0 h

с

,

c 3 108 м/с

0

где h – постоянная Планка; с - скорость света.

Будет ли наблю-

даться фотоэффект

Откуда «красная граница» фотоэффекта

(максимальная длина волны, при которой воз-

можен фотоэффект):

0 h

с

.

Aвых

с

6,63 10 34 3 10

8

h h

6,63 10 19

Дж .

3 10 7