Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf

Скачиваний:

2083

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

ln 2

1 / 2

ln 2

1 / 2

Вычисления произведём внесистемно:

1) По первой части формулы:

e ln 2

5сут

0,69315

10сут

е 0,34657

0,707 или 70,7%.

По второй части формулы:

0,354 или 35,4%.

15сут

0,69315 3

1,03972

2,8284

eln 2 10сут

3 способ. Вывод конечной формулы (школьной).

Подставим формулу (3) в формулу (1):

ln 2

T1/ 2

ln 2

T1/ 2

N N0е

N0 е

T1/ 2

N0 2

Учли свойство логарифмов: е nа

а . Подставим числа:

0,707 или 70,7%.

1,414

2 10

0,354 или 35,4%.

2 1,414

2,8284

Ответ:1)

= 70,7%; 2)

= 35,4%.

Приложение: Вывод основного закона радиоактивного распада . Число ядер dN, распавшихся в среднем за интервал времени от t до t + dt, пропорционально промежутку врем е- ни dt и числу N нераспавшихся ядер к моменту времени t:

dN = – λNdt,

где λ – постоянная радиоактивного распада, знак минус указывает, что общее число радиоа к- тивных ядер в процессе распада уменьшается. Разделив пере менные и интегрируя:

dN	dt N dN	t dt n	N	t	N	e t N N0e t .
N
	N0 N	0	N0		N0

Рекомендуемое задание № 4

За один год начальное количество радиоактивного изотопа уменьш илось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за 2 года?

191

Дано:

t1 = 1 год t2 = 2 года

N0 = 3

N0 = ?

Решение.

Закон радиоактивного распада (см. задачу №3):

N N0e t					N0	.	(1)
N N0e t						.	(1)
					е t
Выразим отношение		N0		:
Выразим отношение				:
		N
	N0		е t .				(2)
			е t .				(2)
	N

Составим систему для двух ситуаций (с учётом того, что постоянная радиоактивного распада λ неизменна):

N0 е t1N1

N0 е t2

Решим её. Прологарифмируем первое уравнение и выразим постоянную радиоактивного распада λ:

N0	е t1 ln	N0	t 1		ln	N0	.

N1		N1	1	t1		N1

Подставим во второе уравнение системы:

N		t2	ln	N0
	0	t		N
		е 1		1 .
N2

Произведём вычисления во внесистемных единицах (удобнее):

N0	2 года	ln3
N0	е 1 год	ln3	е21,0986	е2,1972	9 .
N2

Ответ: N0 = 9 раз.

Примечание: 1 год = 365,25 сут = 8766 ч = 525960 мин = 31557600 с ≈ 3,16·107 с.

Рекомендуемое задание № 5

За какое время t распадется 1/4 начального количества ядер радиоактивного нуклида, если период его полураспада Т1/2 = 24 ч?

Дано:

T1 24 ч

N 14 N0 t = ?

Решение:

Основной закон радиоактивного распада:

N = N0e- t или N	N0	,	(1)
	е t

где N – число не распавшихся атомов в момент времени t; N0 –

192

число не распавшихся атомов в момент, принятый за начальный ( t = 0); е – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.

Число атомов распавшихся за время t:

N N0 N N0 N0е t N0 1 е t . Преобразуем:

N 1 е t е t					1 N .
N0							N0
Прологарифмируем:
	nе	t	t			N
	nе		t	n 1			.

						N0

Найдем время t распада:

		N
		N
	n 1	N0
t		N0	.
t			.

(2)

(3)

Связь периода полураспада (табличное значение) – промежуток времени, за который число не распавшихся атомов уменьшается в д ва раза – с постоянной распада:

T1/ 2	n2	0,69315	,	(4)

где - постоянная распада, имеющая смысл вероятности распада за 1 с и ра в- ная доле ядер, распадающихся в единицу времени.

Откуда постоянная распада:

(5)

T1/ 2

Подставим в формулу (3):

n 1

1/ 2

Подставим численные значения во вне системных единицах:

n 1

0,287682

24 ч

24 ч 0,415 24 ч 9,96

(часов).

0,69315

Ответ: t = 9,96 (часов).

193

Рекомендуемое задание № 6

За 8 дней распалось 75% начального количества радиоактивного ну клида. Определить период полураспада.

Дано: t = 8 сут

N 34 N0

T12 = ?

Решение.

Связь периода полураспада (табличное значение) – промежуток времени, за который число не распавшихся ат омов уменьшается в два раза – с постоянной распада:

T1/ 2	n2	0,69315	,	(1)

Число атомов распавшихся за время t (см. задачу № 5):
N N0 1 е t ,	(2)

где N – число не распавшихся атомов в момент времени t; N0 – число не распавшихся атомов в момент, принятый за начальный ( t = 0); е – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.

Найдём отношение N , прологарифмируем и выразим постоянную ра с-

пада λ:

n 1

1 е

n 1

Подставим в формулу (1).

T1/ 2

t .

n 1

Подставим числа во внесистемных единицах:

0,69315

8 сут 0,69315

8 сут 0,5 8 сут 4 сут.

1 / 2

1,3863

n 1

Ответ: Т1/2 = 4 дня.

Рекомендуемое задание № 7

Определить промежуток времени t, в течение которого активность А изотопа стронция Sr90 уменьшится в к1 = 10 раз, к2 = 100 раз?

194

Дано:

Решение:

к1 = 10

Активность изотопа уменьшается со временем по зако-

к2 = 100

ну:

Т1/2 = 28 лет

А А е t N

е t ,

t = ?

где А0 = λN0 – начальная активность (в момент времени t = 0

сек), λ – постоянная распада (см. задачу № 1).

Преобразуем, прологарифмируем и выразим время:

е t

n 1 t nк t t

nк

Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада λ (см. задачу №1):

1/ 2

T1/ 2

Тогда интересующее нас время:

nк

1/ 2

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

1) t

n10

28 лет t

2,3026

28 лет t 3,322 28 лет 93 года.

0,69315

n100

28 лет t

4,6052

28 t 6,644 28 лет 186 лет.

0,69315

Ответ: t1 = 93 года, t2 = 186 лет.

Приложение 1: Нуклид – общее название атомных ядер, отличающихся числом пр о- тонов Z и нейтронов N

Приложение 2: Активностью А нуклида в радиоактивном источнике называется число распадов, происходящих с ядрами образца в 1 с (см. задачу № 3):

А dNdt N .

Рекомендуемое задание № 8

На сколько процентов снизится активность А изотопа иридия Ir192 за время t = 30 суток?

	Дано:			Решение:

t = 30 сут				Активность изотопа уменьшается со временем по
Т1/2 = 75 сут				закону:
					А А0е t ,	(1)
	А0 А	100%	= ?
	А0			где А0 = λN0	– начальная активность (в момент времени		t

				= 0 сек), λ – постоянная распада (см. задачу № 1).

195

Нам надо найти:


	А0	А			1	А	.	(2)
		А0			1	А0	.	(2)
		А0				А0
Найдём отношение А/А0 из формулы (1).
			А	е t .				(3)
				е t .				(3)
			А0

Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада λ (см. задачу №1):

T	n2	n2	.
1/ 2		T1/ 2
		T1/ 2

Тогда интересующее нас отношение в формуле (3):

1/ 2

Подставим в формулу (2):

1/ 2

А0

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

А0

1 е

сут

0,69315

1 е

5 2 1 е 0,27726

1 0,75786 0,24215 .

75сут

А0

Тогда:

А0

100% 0,24215 100% 24,2% .

А0

Ответ: активность уменьшилась на 24,2%.

Рекомендуемое задание № 9

Найти число распадов за 1 с в 10 г стронция 38Sr90, период полураспада которого 28 лет.

Дано:	Си:	Решение:
Дано:	Си:	Решение:
m = 10 г	10-2 кг	Начальная активность изотопа (см.
Т1/2 = 28 лет	88,48·107 с	задачу № 7):
μ = 90·10-3 кг/моль		А N	0	.
NА = 6,02·1023 моль-1		0	0
NА = 6,02·1023 моль-1		Смотри занятие № 2 сборник задач с
А0 = ?		решениями: «Теплота и молекулярная фи-

зика». Количество вещества распишем двояко и выразим число ат омов (оно равно числу молекул):

m	N	N m	NA ,
	NA

196

где N – число молекул в m кг вещества, NА – число Авогадро, μ – молярная масса вещества.

Подставим в формулу активности:

А0 m NA .

Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада λ (см. задачу

№1):

T		n2				n2	.
1/ 2						T1/ 2
						T1/ 2
Или активность:
А	n2		m N		.
А			m N	A	.
0	T1/ 2			A
	T1/ 2
Подставим численные значения:
	0,69315					10 2				23	4,17275 1021		17
А								6,02	10			0,000524	10 .
А	88,48 107				90 10 3			6,02	10		7963,2 104	0,000524	10 .
0

А0 = 5,24·1013 Бк = 1,42·103 Ки. Ответ: А0 = 5,24·1013 Бк = 1,42·103 Ки.

Примечание 1: 1 год = 365,25 сут = 8766 ч = 525960 мин = 31557600 с ≈ 3,16·107 с. Примечание 2: В системе СИ единица активности 1 беккерель (Бк) – активность

нуклида, при которой за 1 с. происходит один акт распада. Внесистемная единица 1 кюри (Ки) = 3,7·1010 Бк.

Рекомендуемое задание № 10

Найти отношение массовой активности а1 стронция Sr90 к массовой активности а2 радия Ra226

Дано:

Решение:

μSr = 90 г/моль

Массовая активность радиоактивного источника –

Т1/2,1 = 28 лет

активность единицы массы источника:

μRa = 226 г/моль

(1)

Т1/2,2 = 1620 лет

Воспользуемся выведенной в задаче № 9 формулой

а1/а2 = ?

активности:

m NA .

(2)

T1/ 2

Подставим в формулу (1) массовой активности:

T1/ 2

197

Составим систему двух уравнений и разделим верхнее на нижнее:

T1/ 2,1

1/ 2,2

а2

T1/ 2,1 1

T1/ 2,2

Подставим числа во внесистемных единицах:

а1		1620лет 226 г моль		366120	145 .
а2		28лет 90 г моль		2520

Ответ: а1 = 145.

а2

Домашнее задание № 1

Какая часть начального количества атомов распадется за один год в р а- диоактивном изотопе тория Th 229 ?

Дано:	Решение:
Дано:	Решение:
t = 1 год	Воспользуемся законом радиоактивного распада:
Т1/2 = 7000 лет	N N0 e t ,	(1)
N	где N - число радиоактивных ядер, содержащихся в изот о-
N0 = ?	пе, в момент времени t; N0 - число радиоактивных ядер в
	момент времени, принятый за начальный ( t = 0); λ - посто-

янная радиоактивного распада.

Нам надо найти долю распавшихся атомов:

		N		N0 N			1	N	.
		N					1		.
			N0		N0			N0
Найдём отношение N/N0 из формулы (1).
					N	е t .
					N0
Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада
№1):
T	n2	n2	.
1/ 2		T1/ 2
		T1/ 2

Тогда интересующее нас отношение в формуле (3):

N	е		n2	t
			T		.
		1/ 2
N0

Подставим в формулу (2):

(2)

(3)

λ (см. задачу

198

1 е

1/ 2

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

1 способ.

0,69315

1 е

1год 1 е

1 е 0,000099 1 0,999901 0,000099 ,

7000 лет

7000

N 9,9 10 5 .

2 способ.

1 е

T1/ 2

Учли свойство логарифмов: е nа а . Подставим числа:

1 2

1год

1 2 0,000142857

1 0,999901 0,000099 9,9 10 5 .

7000 лет

Ответ: N 9,9 10 5 .

Домашнее задание № 2

Определить число N атомов, распадающихся в радиоактивном изотопе за время t = 10 с, если его активность А = 105 Бк. Считать активность постоянной в течение указанного времени.

Дано:	Решение:
Дано:	Решение:
t = 10 с	Активность нуклида – число распадов в единицу време-
А = 105 Бк	ни:
	А dN
N = ?		,	(1)
		,	(1)
	dt

где dN - число радиоактивных ядер, распавшихся в изотопе за промежуток вр е- мени dt.

Преобразуем, проинтегрируем (вынесем А – активность за знак интеграла) и выразим N:

Аdt dN Аt dt N dN At N N0 N0 N N N Аt .

0 N0

Примечание: Можно сразу применить формулу: А = ΔN/Δt. Обычный переход: знак дифференциала d (мгновенное значение) заменяем на знак интервала .

Посчитаем:

N = 10·105 = 106 атомов.

Ответ: N = 106 атомов.

199

Домашнее задание № 3

За время t = 1 сут активность изотопа уменьшилась от А1 = 1,18·1011 Бк до А2 = 7,4·109 Бк. Определить период полураспада Т1/2 этого нуклида.

	Дано:	СИ:	Решение:
t = 1 сут		86400 с	Связь периода полураспада Т1/2 с посто-
А1	= 1,18·1011 Бк		янной распада λ (см. задачу №1):
А2	= 7,4·109 Бк		T	n2	.	(1)
			T		.	(1)
Т1/2 = ?			1/ 2
Т1/2 = ?

Зависимость активности от времени:

А А0 e t , (2) где А - активность в момент времени t; А0 - начальная активность; λ - постоянная радиоактивного распада.

Составим систему и решим её:

А1

А0

e t1

t2 t1

А e t2 А2

e t2 e

t1 t2

где t = t2 - t1. Прологарифмируем и найдём постоянную распада:

А1

ne t t 1 n

А1

Тогда периода полураспада:

t .

1 n А1

1/ 2

n А1

Подставим числа (вне системно):

0,69315 1сут

0,69315

сут

0,69315

сут

сут 6 (час).

1 / 2

n1,18 1011

n15,946

2,7692

7,4 109

Ответ: Т1/2 = 6 час.

Домашнее задание № 4

Определить активность А фосфора Р32 массой m = 1 мг.

Дано:	Си:
Т1/2 = 14,3 сут	1235520 с
m = 1мг	10-6 кг
μ = 32·10-3 кг/моль
NА = 6,02·1023 моль-1
А0 = ?

Решение:

В задаче № 9 выведена формула активности изотопа:

А	n2	m N		.
			A
0	T1/ 2

Подставим численные значения:

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке posobia_4semФизика

#
02.03.2016831.28 Кб318Квантовая оптика _пособие_.pdf
#
02.03.20161.54 Mб2083Квантовая оптика _решебник_.pdf