Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf
Скачиваний:
1346
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
1.54 Mб
Скачать

 

N

 

 

 

ln 2

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисления произведём внесистемно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) По первой части формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1

e ln 2

 

5сут

e

0,69315

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10сут

 

2

 

 

 

 

е 0,34657

0,707 или 70,7%.

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По второй части формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

N

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

0,354 или 35,4%.

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

15сут

 

 

 

0,69315 3

 

е

1,03972

 

 

 

2,8284

 

 

 

 

 

 

eln 2 10сут

 

 

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 способ. Вывод конечной формулы (школьной).

Подставим формулу (3) в формулу (1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

N

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N N0е

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0 е

 

 

 

T1/ 2

N0 2

 

 

 

 

 

 

 

N0

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учли свойство логарифмов: е

 

а . Подставим числа:

 

 

 

 

N1

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,707 или 70,7%.

 

 

 

10

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

 

1,414

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N1

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2)

 

 

2 10

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,354 или 35,4%.

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1,414

2,8284

 

 

 

 

 

 

23

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:1)

 

 

N1

= 70,7%; 2)

 

 

 

N2

 

= 35,4%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение: Вывод основного закона радиоактивного распада . Число ядер dN, распавшихся в среднем за интервал времени от t до t + dt, пропорционально промежутку врем е- ни dt и числу N нераспавшихся ядер к моменту времени t:

dN = – λNdt,

где λ – постоянная радиоактивного распада, знак минус указывает, что общее число радиоа к- тивных ядер в процессе распада уменьшается. Разделив пере менные и интегрируя:

dN

dt N dN

t dt n

N

t

N

e t N N0e t .

N

 

 

N0 N

0

N0

N0

Рекомендуемое задание № 4

За один год начальное количество радиоактивного изотопа уменьш илось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за 2 года?

191

Дано:

t1 = 1 год t2 = 2 года

N0 = 3

N1

N0 = ?

N2

Решение.

Закон радиоактивного распада (см. задачу №3):

N N0e t

N0

.

(1)

 

 

 

 

 

 

 

е t

 

Выразим отношение

 

N0

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

N0

е t .

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

Составим систему для двух ситуаций (с учётом того, что постоянная радиоактивного распада λ неизменна):

N0 е t1N1

N0 е t2

N2

Решим её. Прологарифмируем первое уравнение и выразим постоянную радиоактивного распада λ:

N0

е t1 ln

N0

t 1

ln

N0

.

 

 

 

N1

 

N1

1

t1

 

N1

 

 

 

Подставим во второе уравнение системы:

N

 

t2

ln

N0

 

0

t

N

 

е 1

 

1 .

N2

 

 

 

 

 

Произведём вычисления во внесистемных единицах (удобнее):

N0

2 года

ln3

 

 

 

е 1 год

е21,0986

е2,1972

9 .

N2

 

 

 

 

 

Ответ: N0 = 9 раз.

N2

Примечание: 1 год = 365,25 сут = 8766 ч = 525960 мин = 31557600 с ≈ 3,16·107 с.

Рекомендуемое задание № 5

За какое время t распадется 1/4 начального количества ядер радиоактивного нуклида, если период его полураспада Т1/2 = 24 ч?

Дано:

T1 24 ч

2

N 14 N0 t = ?

Решение:

Основной закон радиоактивного распада:

N = N0e- t или N

N0

,

(1)

е t

 

 

 

где N – число не распавшихся атомов в момент времени t; N0

192

число не распавшихся атомов в момент, принятый за начальный ( t = 0); е – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.

Число атомов распавшихся за время t:

N N0 N N0 N0е t N0 1 е t . Преобразуем:

N 1 е t е t

1 N .

N0

 

 

 

 

 

 

N0

Прологарифмируем:

 

 

 

t

t

 

 

 

N

 

 

 

n 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

Найдем время t распада:

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

N0

 

 

t

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

(3)

Связь периода полураспада (табличное значение) – промежуток времени, за который число не распавшихся атомов уменьшается в д ва раза – с постоянной распада:

T1/ 2

 

n2

 

0,69315

,

(4)

 

 

 

 

 

 

 

где - постоянная распада, имеющая смысл вероятности распада за 1 с и ра в- ная доле ядер, распадающихся в единицу времени.

Откуда постоянная распада:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

.

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

Подставим в формулу (3):

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

N0

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

T

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения во вне системных единицах:

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

4

 

 

 

 

0,287682

 

 

t

 

 

 

 

24 ч

24 ч 0,415 24 ч 9,96

(часов).

0,69315

0,69315

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: t = 9,96 (часов).

193

Рекомендуемое задание № 6

За 8 дней распалось 75% начального количества радиоактивного ну клида. Определить период полураспада.

Дано: t = 8 сут

N 34 N0

T12 = ?

Решение.

Связь периода полураспада (табличное значение) – промежуток времени, за который число не распавшихся ат омов уменьшается в два раза – с постоянной распада:

T1/ 2

 

n2

 

0,69315

,

(1)

 

 

 

 

 

 

 

Число атомов распавшихся за время t (см. задачу № 5):

 

N N0 1 е t ,

(2)

где N – число не распавшихся атомов в момент времени t; N0 – число не распавшихся атомов в момент, принятый за начальный ( t = 0); е – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.

Найдём отношение N , прологарифмируем и выразим постоянную ра с-

N0

пада λ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

t

 

 

 

 

t

 

N

 

 

 

 

N

 

 

 

n 1

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 е

 

е

 

 

1

 

t

 

 

 

 

 

 

.

N0

 

 

 

N0

 

n 1

N0

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим в формулу (1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

n2

 

 

 

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числа во внесистемных единицах:

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

0,69315

 

8 сут 0,69315

8 сут 0,5 8 сут 4 сут.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

1,3863

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: Т1/2 = 4 дня.

Рекомендуемое задание № 7

Определить промежуток времени t, в течение которого активность А изотопа стронция Sr90 уменьшится в к1 = 10 раз, к2 = 100 раз?

194

Дано:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к1 = 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Активность изотопа уменьшается со временем по зако-

к2 = 100

 

 

 

 

 

 

 

 

ну:

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1/2 = 28 лет

 

 

 

 

 

 

 

А А е t N

е t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

t = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

где А0 = λN0 – начальная активность (в момент времени t = 0

сек), λ – постоянная распада (см. задачу № 1).

Преобразуем, прологарифмируем и выразим время:

1

 

А

 

 

е t

n 1 t nк t t

.

к

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада λ (см. задачу №1):

T

 

 

n2

 

n2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда интересующее нас время:

 

 

 

 

 

t

 

 

T

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

1) t

 

 

n10

28 лет t

 

2,3026

 

28 лет t 3,322 28 лет 93 года.

1

 

 

n2

0,69315

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

t

 

 

 

 

n100

28 лет t

 

4,6052

28 t 6,644 28 лет 186 лет.

2

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,69315

 

 

 

Ответ: t1 = 93 года, t2 = 186 лет.

Приложение 1: Нуклид – общее название атомных ядер, отличающихся числом пр о- тонов Z и нейтронов N

Приложение 2: Активностью А нуклида в радиоактивном источнике называется число распадов, происходящих с ядрами образца в 1 с (см. задачу № 3):

А dNdt N .

Рекомендуемое задание № 8

На сколько процентов снизится активность А изотопа иридия Ir192 за время t = 30 суток?

 

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

 

t = 30 сут

 

Активность изотопа уменьшается со временем по

 

Т1/2 = 75 сут

 

закону:

 

 

 

 

 

 

 

 

А А0е t ,

(1)

 

 

А0 А

100%

= ?

 

 

 

А0

где А0 = λN0

– начальная активность (в момент времени

t

 

 

 

 

 

 

 

= 0 сек), λ – постоянная распада (см. задачу № 1).

 

 

195

Нам надо найти:

 

А0

А

1

 

А

.

(2)

 

 

А0

 

А0

 

 

 

 

 

 

Найдём отношение А/А0 из формулы (1).

 

 

 

 

А

е t .

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А0

 

 

 

 

 

Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада λ (см. задачу №1):

T

 

n2

 

n2

.

1/ 2

 

 

T1/ 2

 

 

 

Тогда интересующее нас отношение в формуле (3):

 

 

А

 

е

 

n2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим в формулу (2):

 

 

 

 

А

 

А

 

1

е

 

n2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

.

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

А0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

 

 

А0

 

А

 

1 е

 

n2

 

30

сут

 

0,69315

 

 

 

 

 

 

1 е

5 2 1 е 0,27726

1 0,75786 0,24215 .

 

 

 

 

75сут

 

 

 

А0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А0

 

А

100% 0,24215 100% 24,2% .

 

 

 

 

А0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: активность уменьшилась на 24,2%.

Рекомендуемое задание № 9

Найти число распадов за 1 с в 10 г стронция 38Sr90, период полураспада которого 28 лет.

Дано:

 

Си:

 

Решение:

 

 

 

 

m = 10 г

 

10-2 кг

 

Начальная активность изотопа (см.

Т1/2 = 28 лет

 

88,48·107 с

 

задачу № 7):

 

 

μ = 90·10-3 кг/моль

 

 

 

А N

0

.

NА = 6,02·1023 моль-1

 

 

 

0

 

 

 

 

Смотри занятие № 2 сборник задач с

А0 = ?

 

 

 

решениями: «Теплота и молекулярная фи-

зика». Количество вещества распишем двояко и выразим число ат омов (оно равно числу молекул):

m

 

N

N m

NA ,

NA

 

 

 

 

196

где N – число молекул в m кг вещества, NА – число Авогадро, μ – молярная масса вещества.

Подставим в формулу активности:

А0 m NA .

Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада λ (см. задачу

№1):

T

 

n2

 

n2

.

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Или активность:

 

 

 

 

 

 

 

А

n2

m N

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения:

 

 

 

 

 

 

 

0,69315

 

 

 

10 2

 

 

23

 

4,17275 1021

 

17

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,02

10

 

 

 

0,000524

10 .

 

88,48 107

90 10 3

 

7963,2 104

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А0 = 5,24·1013 Бк = 1,42·103 Ки. Ответ: А0 = 5,24·1013 Бк = 1,42·103 Ки.

Примечание 1: 1 год = 365,25 сут = 8766 ч = 525960 мин = 31557600 с ≈ 3,16·107 с. Примечание 2: В системе СИ единица активности 1 беккерель (Бк) – активность

нуклида, при которой за 1 с. происходит один акт распада. Внесистемная единица 1 кюри (Ки) = 3,7·1010 Бк.

Рекомендуемое задание № 10

Найти отношение массовой активности а1 стронция Sr90 к массовой активности а2 радия Ra226

Дано:

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

μSr = 90 г/моль

 

 

Массовая активность радиоактивного источника –

Т1/2,1 = 28 лет

 

 

активность единицы массы источника:

 

μRa = 226 г/моль

 

 

 

 

 

 

 

 

а

А

.

(1)

Т1/2,2 = 1620 лет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

Воспользуемся выведенной в задаче № 9 формулой

а1/а2 = ?

 

 

 

активности:

 

 

 

 

А

n2

m NA .

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим в формулу (1) массовой активности:

 

а

1

 

n2

m

NA

n2

 

NA

.

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

197

Составим систему двух уравнений и разделим верхнее на нижнее:

а

 

 

 

n2

 

 

NA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

T1/ 2,1

 

 

1

 

а

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

n2

 

 

NA

1

1/ 2,2

 

а

 

 

 

 

 

а2

 

T1/ 2,1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

T1/ 2,2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числа во внесистемных единицах:

а1

 

1620лет 226 г моль

 

366120

145 .

а2

 

28лет 90 г моль

 

2520

 

Ответ: а1 = 145.

а2

Домашнее задание № 1

Какая часть начального количества атомов распадется за один год в р а- диоактивном изотопе тория Th 229 ?

Дано:

 

Решение:

 

 

 

t = 1 год

 

Воспользуемся законом радиоактивного распада:

Т1/2 = 7000 лет

 

N N0 e t ,

(1)

N

 

где N - число радиоактивных ядер, содержащихся в изот о-

N0 = ?

 

пе, в момент времени t; N0 - число радиоактивных ядер в

 

 

момент времени, принятый за начальный ( t = 0); λ - посто-

янная радиоактивного распада.

Нам надо найти долю распавшихся атомов:

 

 

 

 

N

N0 N

1

N

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

N0

N0

Найдём отношение N/N0 из формулы (1).

 

 

 

 

 

 

 

N

е t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

 

Связь периода полураспада Т1/2 с постоянной распада

№1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

n2

 

n2

.

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда интересующее нас отношение в формуле (3):

N

е

 

n2

t

 

T

.

 

1/ 2

 

N0

 

Подставим в формулу (2):

(2)

(3)

λ (см. задачу

198

N

1 е

 

 

n2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

1 способ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

0,69315

 

 

 

 

1 е

 

 

 

 

 

1год 1 е

 

 

1 е 0,000099 1 0,999901 0,000099 ,

 

 

7000 лет

 

7000

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 9,9 10 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 способ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

1 е

 

n2

 

t

1 е

 

 

 

t

 

1

2

 

t

 

T1/ 2

 

n2

 

 

T1/ 2

.

 

 

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учли свойство логарифмов: е а . Подставим числа:

N

1 2

1год

1 2 0,000142857

1 0,999901 0,000099 9,9 10 5 .

7000 лет

N0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: N 9,9 10 5 .

N0

Домашнее задание № 2

Определить число N атомов, распадающихся в радиоактивном изотопе за время t = 10 с, если его активность А = 105 Бк. Считать активность постоянной в течение указанного времени.

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

 

t = 10 с

 

Активность нуклида – число распадов в единицу време-

А = 105 Бк

 

ни:

 

 

 

 

А dN

 

 

N = ?

 

,

(1)

 

 

 

 

dt

 

 

где dN - число радиоактивных ядер, распавшихся в изотопе за промежуток вр е- мени dt.

Преобразуем, проинтегрируем (вынесем А – активность за знак интеграла) и выразим N:

Аdt dN Аt dt N dN At N N0 N0 N N N Аt .

0 N0

Примечание: Можно сразу применить формулу: А = ΔN/Δt. Обычный переход: знак дифференциала d (мгновенное значение) заменяем на знак интервала .

Посчитаем:

N = 10·105 = 106 атомов.

Ответ: N = 106 атомов.

199

Домашнее задание № 3

За время t = 1 сут активность изотопа уменьшилась от А1 = 1,18·1011 Бк до А2 = 7,4·109 Бк. Определить период полураспада Т1/2 этого нуклида.

 

Дано:

СИ:

Решение:

 

 

 

 

t = 1 сут

86400 с

Связь периода полураспада Т1/2 с посто-

А1

= 1,18·1011 Бк

 

янной распада λ (см. задачу №1):

 

А2

= 7,4·109 Бк

 

T

 

n2

.

(1)

 

 

 

 

Т1/2 = ?

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

Зависимость активности от времени:

А А0 e t , (2) где А - активность в момент времени t; А0 - начальная активность; λ - постоянная радиоактивного распада.

Составим систему и решим её:

А1

А0

e t1

 

 

А

 

 

 

e t1

 

 

 

e

t2 t1

 

e

 

,

 

 

 

А

 

А e t2 А2

 

e t2 e

t1 t2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где t = t2 - t1. Прологарифмируем и найдём постоянную распада:

n

 

А1

 

ne t t 1 n

А1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда периода полураспада:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

n2

 

n2

 

t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 n А1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 2

 

 

 

 

n А1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим числа (вне системно):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

0,69315 1сут

 

0,69315

 

сут

0,69315

сут

1

сут 6 (час).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 / 2

 

 

n1,18 1011

 

 

n15,946

 

 

 

2,7692

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7,4 109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: Т1/2 = 6 час.

Домашнее задание № 4

Определить активность А фосфора Р32 массой m = 1 мг.

Дано:

Си:

Т1/2 = 14,3 сут

1235520 с

m = 1мг

10-6 кг

μ = 32·10-3 кг/моль

 

NА = 6,02·1023 моль-1

 

А0 = ?

 

Решение:

В задаче № 9 выведена формула активности изотопа:

А

n2

m N

 

.

 

A

0

T1/ 2

 

 

 

 

 

Подставим численные значения:

200

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.