posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

1x 1 sin 2x

. Но не забывать, что аргумент функции синус является сам сложной

22

Ответ: C L2 .

Примечание 2. Нормированная собственная волновая функция , описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид:

Рекомендуемое задание № 2

Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?

151

волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике найденная в задаче № 1 в приложении 2.

Рис. 2

Основному состоянию n = 1 отвечает собственная функция:

Подставим данную функцию ψ в формулу нахождения вероятности W – она равна площади под графиком (см. рис. 2):

Вынесли за знак интеграла постоянную величину 2/ L, использовали табличный интеграл (см. задачу № 1 приложение 1). Упростим:

152

Ответ: 1) W1 = WL/3,2L/3 = 0,609; 2) W2 =W2L/3,L = 0,195.

Рекомендуемое задание № 3

Атом водорода находится в основном состоян ии. Собственная волновая

где 2 (х) dWdV - квадрат модуля пси-функции имеет смысл плотности вероятности, т.е.

определяет вероятность нахождения частицы в единичном объёме в окрестности точки с координатами x, y, z (таким образом, физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат

её модуля |ψ|²). Сама же пси – функция ψ = ψn,l,m(r, θ, φ) описывает состояние электрона в атоме водорода. dV = r2Sinθdθdφdr – элементарный объём в сферических координатах. n, l, m

– квантовые числа: главное – размер, энергия, орбитальное – форма, момент импульса, магнитное – ориентация, проекция момента импу льса на направление магнитного поля.

В s – состоянии (основное состояние: l = 0, m = 0) волновая функция ψ сферически – симметричная, т.е. не зависит от углов θ и φ. Поэтому:

dW n,0,0 (r) 2 dV ,

где dV = 4 r2dr – объём сферического слоя радиусом r и толщиной dr. Условие нормировки вероятностей (должно равняться единице) :

153

ределить расстояние r, на котором вероятность нахождения электрона макс и- мальна.

функцию dWdr на экстремум – найдём производную и приравняем к нулю:

154

Рекомендуемое задание № 5

Электрон в атоме находится в f – состоянии. Найти орбитальный момент импульса Lℓ электрона и максимальное значение проекции момента импульса (Ll,z)max на направление внешнего магнитного поля .

ния, определяемые формулой:

Lℓ.= ( 1) ,

где ħ = 1,05∙10-34 Дж∙с – постоянная планка с чертой, ℓ – орбитальное квантовое число, которое при заданном n - главном квантовом числе (определяет энергетические уровни электрона в атоме), принимает значения:

ℓ = 0; 1; 2; … (n - 1),

т.е. всего n значений и определяет момент импульса электрона в атоме. Но нас

не интересует главное квантовое число, а интересует, в каком состоянии находится электрон. Он в f – состоянии. Т.е. ℓ = 3 (см. приложение и рис. 3):

Lℓ = ћ 3 3 1 12 ћ = 1,05∙10-34∙3,464 = 3,64∙10-34 Дж∙с.

155

2) Из уравнения Шредингера следует также, что вектор L z момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при к о- торых его проекция Lℓz на направление z внешнего магнитного поля принимает квантовые значения, кратные ħ:

Lℓz = ħmℓ,

где mℓ - магнитное квантовое число, которое при заданном орбитальном квантовом числе ℓ может принимать значения:

mℓ = 0, ±1, ±2, …,±ℓ,

т.е. всего 2ℓ + 1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число mℓ определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление , причём вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространс т- ве 2ℓ + 1 ориентаций.

Примечание: Эффект Зеемана. Расщепление энергетических уровней в магнитном поле. Наличие магнитного квантового числа mℓ должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом n на 2ℓ + 1 подуровней. Соответственно в атоме наблюдается расщепление спектральных уровней.

Эффект Штарка - расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле.

Максимальное значение проекции момента импульса ( Ll,z)max на направ-

Рекомендуемое задание № 6

Момент импульса Lℓ орбитального движения электрона в атоме водорода равен 1,83∙10-34 Дж∙с. Определить магнитный момент Мℓ электрона, находящегося в 2р-состоянии в атоме водорода.

156

где ħ = 1,05∙10-34 Дж∙с – постоянная планка с чертой; ℓ – орбитальное квантовое число (см. приложение задачи № 5) и определяет момент импульса элек-

трона в атоме; µВ = 2em = 0,927∙10-23 Дж/Тл – магнетон Бора.

Разделим нижнее уравнение на верхнее. Выразим магнитны й момент Мℓ электрона:

2 способ. Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и механического моментов:

Ответ: рmℓ =Мℓ = 1,61∙10-23 Дж/Тл.

Примечание 1: Проекция магнитного момента

го поля (совпадающего с осью Z):

рmℓz =Мℓ,z = µВmℓ,

где mℓ - магнитное квантовое число, которое при заданном орбитальном квантовом числе ℓ может принимать значения: mℓ = 0, ±1, ±2, …,±ℓ и определяет проекцию момента импульса электрона на з а- данное направление, причём вектор момента и м- пульса электрона в атоме может иметь в простра н- стве 2ℓ+1 ориентаций.

Примечание 2: Обозначение: 2р-состояние (см. рис. 4). Означает, что электрон нах о- дится на оболочке с главным квантовым числом n = 2, занимает подоболочку с орбитальным квантовым числом ℓ = 1, а состояние электрона р.

Рекомендуемое задание № 7

Вычислить спиновый момент импульса Ls электрона и проекцию Ls,z этого момента на направление внешнего магнитного поля.

157

где ms = ±½ – спиновое магнитное квантовое число . Произведём вычисления (знак нас не интересует): Ls,z = 1,05∙10-34∙½ = 0,525∙10-34 Дж∙с.