Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf

Скачиваний:

2048

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

где Т - термодинамическая температура, m - масса атома водорода, k - постоянная Больцмана.

Тогда длина волны де Бройля соответственно:

Б ,кв

3kT

Б ,кв

Б ,ср

8kT

Б ,в

2kT

Подставляем численные значения:

3 Tm

(3)

8kTm

2 Tm

Б ,кв

Б ,ср

Б ,в

	6,625 10 34			6,625 10 34	147 10 12 м 147(пм),
				45,05 10 25
	3 1,38 10 23 293 1,673 10 27
	3 1,38 10 23 293 1,673 10 27
	6,625 10 34			11,748 10 34 160 10 12 м 160(пм),
	6,625 10 34		3,14

	8 1,38 10 23 293	1,673 10 27		73,564 10 25
	6,625 10 34			6,625 10 34	180 10 12 м 180(пм).
				36,78 10 25
2 1,38 10 23 293 1,673 10 27
2 1,38 10 23 293 1,673 10 27

Ответ: 1) λБ,кв = 147 пм; 2) λБ,ср = 160 пм; 3) λБ,в = 180 пм.

Примечание: Наиболее вероятная скорость атома водорода из формулы (2):

	2kT	2 1,38 10 23	293
в				484 10	4	2200м/с ,
	m	1,6709 10	27

т.е. частица классическая.

Домашнее задание № 3

Найти длину волны де Бройля λ протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: 1) 1кВ; 2) 1ГВ

Дано:			СИ:		Решение:
Дано:			СИ:		Решение:
m = 1,67·10-27 кг		103			Работа, совершаемая силами электри-
1) U = 1	кВ	103	В		ческого поля, идёт на изменение кинетиче-
2) U = 1	ГВ	109	В		ской энергии электрона (начальная скорость
q = 1ē		1,6·10-19		Кл	равна нулю):
h = 6,625·10-34 Дж·с		1,5·10-10			Аэл = Т = Т.
Е0 = 938 МэВ		1,5·10-10		В	Работа сил электрического поля по
					определению:
λБ = ?					определению:
					Аэл = qU,

где q – заряд протона, U – напряжение.

Следовательно, кинетическая энергия, прио бретённая протоном:

131

Т = qU.

Вычислим её для обоих случаев, во внесистемных единицах:

Т1 = 1э·103В = 103 эВ = 1 кэВ, что значительно меньше энергии покоя пр о- тона, следовательно, частица классическая.

Т2 = 1э·109В = 109 эВ = 1 ГэВ, что соизмеримо с энергией покоя протона, следовательно, частица релятивистская.

1) Воспользуемся решением задачи 3 для классической ситуации, в которой есть вывод формулы (4):

		h	.

		2mqU
Подставим численные значения:
			6,626 10 34			6,626 10 34		6,626 10 34		.

		2 1,67	10 27 1,6 10 19 103				5,344 10 43	53,44	10 44
		2 1,67	10 27 1,6 10 19 103				5,344 10 43	53,44	10 44
	6,626 10 34			0,906 10 12	906 10 15 (м) 906(фм) .
	7,31 10		22	0,906 10 12	906 10 15 (м) 906(фм) .
	7,31 10		22

2) Воспользуемся решением задачи 3 для релятивистской ситуации, в к о- торой есть вывод формулы (8):

		hс			.
		eU eU 2Е0
Подставим численные значения:
				6,626 10 34		3 108	19,878 10 26
									.
		1,6 10 19	109 1,6 10 19			109 2 1,5 10 10
								7,36 10 20
	19,878 10		26	7,327 10 16 732,7 10 18 (м) 732,7(ам) .
		2,713 10 10

Ответ: 1) λБ,1 = 906 фм; 2) λБ,2 = 732,7 ам.

Примечание: приставки ф – фемто – 10-15; а – атто – 10-18.

Домашнее задание № 4

Определите, при каком числовом значен ии кинетической энергии Т длина волны де Бройля λБ электрона равна его комптоновской длине волны.

Дано:	Решение:

Б = С = 2,426 пм	Найдём энергию фотона:
Е0 = 511 кэВ		hc	6,626 10 34 3 108		.
h = 6,626·10-34 Дж∙с				2,426 10 12

Т = ?	8,2 10 14			82 10 16 Дж 512кэВ .

132

Что соизмеримо с энергией покоя электрона: Е 0 = 511 кэВ, следовательно, частицу нужно считать релятивистской.

Воспользуемся для нахождения длины волны де Бройля решением з адачи №3 для релятивистской ситуации, в которой есть вывод формулы (7) и длиной волны Комптона (см. занятие 4):

hс

Т Т

2Е0

hс

m c

m c2

Т Т 2Е

m0c

Помножили на с – скорость света и учтём, что энергия покоя Е0 = m0c2:

	hс	hс	1	1		Е		Т 2 2Е Т Е2 .
					Т Т 2Е

Т Т 2Е0			Т Т 2Е0				0
		Е0		0				0	0
				Е0

Преобразуем к квадратному уравнению:

Т 2 2Е0Т Е02 0. Решим его:

Т	2Е0	4Е02 4Е02	.
	2

Отрицательная энергия быть не может, поэтому:

Т	2Е0	4Е02 4Е02	Е0		Е0		1 .
				2Е02
						2
	2

Произведём вычисления во внесистемных единицах: Т = 511 кэВ·(1,41 - 1) = 211,7 кэВ.

Ответ: Т = 211,7 кэВ.

Домашнее задание № 5

Определить длину волны де Бройля λБ электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.

Дано:

n = 2

m = 9,11·10-31 кг

h = 6,626·10-34 Дж∙с ε0 = 8,85·10-12 Ф/м ē = 1,6·10-19 Кл

Б = ?

666,4 10 12

Решение:

Применим формулу №4 выведенную в задаче 5:

2 0nh2 . me2

Подставим числовые значения и произведём вычи с- ления:

2 8,85 10 12	2 6,6262 10 68	1554,2 10 80		66,64 10 11
9,11 10 31	1,62 10 38	23,3216	10 69

м 666,4 пм.

133

Ответ: Б = 666,4 пм.

134

Практическое занятие 8 СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Рекомендуемое задание № 1

Определить неопределенность х в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со ск оростью υ = 1,5·106 м/с, если допускаемая неопределённость υ в определении скорости составляет 10% от её величины. Сравнить полученную неопределённость с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.

Дано:	Си:	Решение:
Дано:	Си:	Решение:
υ = 1,5·106 м/с		1) Согласно соотношению неопреде-
mе = 9,11∙10-31 кг		ленностей Гейзенберга для координаты и
υ = 0,1υ		импульса частицы: микрочастица не может
ħ = 1,05∙10-34 Дж∙с	52,9·10-12 м	иметь одновременно и определённую коорди-
r1 = 52,9 пм	52,9·10-12 м	нату и определённую соответствующую пр о-
		екцию импульса, причём неопределённости
1) х = ?		екцию импульса, причём неопределённости
2) d = ?		этих величин удовлетворяют условию (для
3) траектория?		нашей задачи ось ОХ):
	х рх	х m x .	(1)

где х – неопределенность координаты или интервал координаты, в которой локализована частица, рх m x – неопределенность импульса или интервал

импульса, в котором заключена проекция импульса частицы по оси ОХ, 2h –

постоянная Планка с чертой.

Договоримся, что неопределённость любой физической величины не должна превосходить самой величины. В противном случае нет смысла.

Из данной формулы следует, что неопределённость координаты:

х				.
х			m 0,1	.
	m x		m 0,1
Подставим численные значения:
х ~		1,05 10 34				0,768 10 9	768 10 12 (м) 768	(пм).
х ~	9,11 10 31		0,1 1,5 10		12	0,768 10 9	768 10 12 (м) 768	(пм).
	9,11 10 31		0,1 1,5 10		12

2) Занятие 5 задача № 1 вывод формулы первого Боровского радиуса эле к- трона в атоме водорода. Воспользуемся численным значением, которое сразу записали в дано! Тогда диаметр атома водорода:

d = 2r1 = 2·52,9 пм = 105,8 пм.

135

3) При сравнении неопределённости координаты	х с размером атома d
видно, что неопределённость координаты (абсолютная	погрешность) х > d

больше диаметра самого атома, следовательно, учитывая нашу изначальную д о- говорённость, понятие траектории неприемлемо.

Ответ: 1) х = 768 пм, 2) d = 105,8 пм, 3) понятие траектории не приме-

нимо.

Рекомендуемое задание № 2

При движении вдоль оси x скорость оказывается определенной с точн о- стью x 1 см/с. Оценить неопределенность координаты х :

а) для электрона;

б) для броуновской частицы массы m ~ 0,1 10 3 г; в) для дробинки массы m ~ 0,1 г.

Дано:	Си:
υ = 1 см/с	10-2	м/с
а) mе = 9,11∙10-31 кг
б) m = 0,1∙10-3 г	10-7	кг
в) m = 0,1 г	10-4	кг
ħ = 1,05∙10-34 Дж∙с
х ?
ОХ):

Решение:

Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса частицы: микрочастица не может иметь одновременно и определённую координату и определённую соответствующую проекцию импульса, причём неопределённости этих величин удовлетворяют условию (для нашей задачи ось

х рх х m x ,

(1)

где х – неопределенность координаты или интервал координаты, в которой

локализована частица,				рх	m x – неопределенность импульса или интервал
импульса, в котором заключена проекция импульса частицы по оси ОХ,						h	–
						2	–
постоянная Планка с чертой.						2
постоянная Планка с чертой.
Из данной формулы следует, что неопределённость координаты:
х			.
х			.
	m x
Подставим численные значения:
а) х ~		1,05 10		34	0,115 10 1 м 1 (см),
а) х ~		9,11 10 31		10 2	0,115 10 1 м 1 (см),
		9,11 10 31		10 2
б) х ~		1,05 10 34		1,05 10 25 10 25 м 10 27 (см),
б) х ~		10 7 10 2		1,05 10 25 10 25 м 10 27 (см),
		10 7 10 2

136

в) х ~ 1,05 10 34 1,05 10 28 м 10 28 м 10 30 (см). 10 4 10 2

Ответ: а) х ~ 1 см, б) х ~ 10 27 см, в) х ~ 10 30 см.

Рекомендуемое задание № 3

Молекула водорода учавствует в тепловом движении при температуре 300 К. Найдите неопределённость координаты молекул водорода.

Дано:	СИ:	Решение:
Дано:	СИ:	Решение:
Т = 300 К	1,673·10-27 кг	1 способ. Согласно соотношению не-
m = 1,007783 а.е.м.	1,673·10-27 кг	определенностей Гейзенберга для коорди-
ћ = 1,05·10-34 Дж∙с		наты и импульса частицы:
		х р х m ,	(1)
x - ?		х р х m ,	(1)
		где х – неопределенность координаты или

интервал координаты, в которой локализов ана частица, р m – неопределенность импульса или интервал импульса, в котором заключена проекция и м-

пульса частицы по оси ОХ,	h	– постоянная Планка с чертой.
	2

Выразим неопределённость координаты:
х				.	(2)

		р	m

Неопределённость скорости не должна превышать самой скорости (б ерём среднеквадратичную) Смотрите сборник задач с решениями «Теплота и мол е- кулярная физика» Занятие № 2 «Закон Авогадро. Масса и размер молекул. К о- личество вещества. Основное уравнение кинет ической теории газов. Энергия молекул. Скорость молекул»:

ср.кв.	3kT	,
	m

где Т – температура по шкале кельвина, k – постоянная Больцмана, m – масса молекулы. Т.е. знак ≥ в формуле (1) и (2) поменяется на =. Тогда неопределённость координаты:


х			m			.
х	m		3kT			.
	m		3kT		3kTm
Произведём вычисления:
				1,05 10 34					1,05 10		34		1,05 10		34
х
х													45,58	10		25
		3 1,38 10 23			300 1,673		10	27	2078	10		50	45,58	10		25
23 10 12 ( .

137

2 способ. В задаче № 3 занятия 7 «Волны де Бройля» выведена связь импульса и кинетической энергии классической частицы:

р		.	(3)
	2mЕк

Кинетическая энергия поступательного дв ижения молекулы:

Ек,п	3 kТ .	(4)
	2

Подставим формулу (4) в (3):

р 2m 32 kТ 3mkТ .

Неопределённость импульса не должна превышать самого импульса: р ≤ р. Подставим полученное выражение в фо рмулу (2):

х 3mkТ .

Получили ту же конечную формулу. Ответ: х = 23 пм.

Примечание: 1 а.е.м. (атомная единица массы) = 1,66·10 -27 кг.

	Рекомендуемое задание № 4
Положение центра шарика массой 1 г определено с ошибкой				х ~ 10 5 см.
Какова будет неопределенность в скорости X			для шарика?
Дано:	Си:	Решение:
Дано:	Си:	Решение:
m 1г	1 10 3 кг	Согласно	соотношению неопределенно-
х ~ 10 5 см	10 7 м	стей Гейзенберга для координаты и импульса
ħ = 1,05∙10-34 Дж∙с		частицы:
		х рх х m x ,
x ?		х рх х m x ,
		где х – неопределенность координаты или
		где х – неопределенность координаты или
интервал координаты, в которой локализована частица, рх m x				– неопреде-

ленность импульса или интервал импульса, в котором заключена проекция импульса частицы по оси x, 2h – постоянная Планка с чертой.

Из данной формулы следует, что неопределённость скорости:

x m х .

Подставим численные значения:

x ~ 1,05 10 34 1,05 10 24 (м/с). 10 3 10 7

Ответ: x 1,05 10 24 м/с.

138

Рекомендуемое задание № 5

Электрон с кинетической энергией Т = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить относительную неопределё нность υ, с которой может быть определена скорость электрона.

	Дано:		Си:	Решение:
	Дано:		Си:	Решение:
Т = 15 эВ			24·10-19 Дж	Согласно соотношению	неопределен-
d = 1 мкм			10-6 м	ностей Гейзенберга для координаты и им-
ħ = 1,05∙10-34 Дж∙с				пульса частицы:
	?
	?

	х R d		х р	х m ,	(1)
где	х R d	– неопределенность координаты или интервал координаты, в
	2

которой локализована частица (см. рис. для величины а лежащей на оси ОХ),р m – неопределенность импульса или интервал импульса, в котором за-

ключена проекция импульса частицы по оси ОХ, 2h – постоянная Планка

с чертой.

Из данной формулы следует, что неопределённость скорости:

	2	.	(2)
m х
	md

Кинетическая энергия электрона и из неё скорость:

Т m 2		.
Т m 2	2Т	.	(3)
2	m

Разделим формулу (2) на (3) получим относител ьную неопределённость скорости электрона:

		2		m				2	.
		md		2Т		d			.
		md		2Т		d		mТ
Подставим численные значения:
		1,05 10 34
							2
							2
	~										1,05 10 28	0,00915 1050 ,
	~		10 6				9,11 10 31 24			10 19	1,05 10 28	0,00915 1050 ,
			10 6				9,11 10 31 24			10 19
	1,05 10 28				0,0956 1025 0,1 10 3 10 4 .

Ответ:				10 4 .
Ответ:				10 4 .

139

Рекомендуемое задание № 6

Во сколько раз дебройлевская длина волны λБ частицы меньше неопределённости х её координаты, которая соответствует относительной неопред е- лённости импульса в 1%.

Дано: Решение:

р 0,01	Согласно соотношению неопределенностей			Гейзенберга
р	для координаты и импульса частицы:
		h
х ?	х р		,	(1)

Б		2
	где х – неопределенность координаты или интервал координаты,
в которой локализована частица, р – неопределенность импульса или интервал

импульса, в котором заключена проекция импульса частицы по оси ОХ,

– постоянная Планка с чертой.

Длина волны де Бройля (см. занятие 7):

р h .

(2)

Разделим формулу (1) на (2) и выразим отношение Δх/λ:

х р

2 h

2 р р

Произведём вычисления:

15,92 16

раз.

2 3,14

0,01

Ответ:

х 16 .

Рекомендуемое задание № 7

Параллельный пучок электронов с энергией 10 эВ падает по нормали на экран с узкой щелью шириной 10 нм. Оцените, с помощью соотношения нео п- ределенностей, относительную неопределенность импульса р/р для электронов, проходящих сквозь щель.

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке posobia_4semФизика

#
02.03.2016831.28 Кб315Квантовая оптика _пособие_.pdf
#
02.03.20161.54 Mб2048Квантовая оптика _решебник_.pdf