Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf
Скачиваний:
1347
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
1.54 Mб
Скачать

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре) m1 Н1 – масса атома водорода,

mn – масса нейтрона, mа – масса нейтрального атома; N = A – Z – число нейтронов, А – массовое число (число нуклонов: пр отонов и нейтронов).

Подставим формулу дефекта масс (3) в энергию связи (2):

Есв Zm1 Н1 А Z mn mа с2 .

Подставим полученное выражение энергии связи в формулу (3) удельной энергии связи:

 

Zm

Н

1

А Z m m с2

 

Еуд.св

1

 

n а

.

 

 

 

А

 

 

 

 

 

Подставим в формулу значения величин и произведём вычисления во внесистемных единицах:

Еуд.св

6 1,00783 12 6 1,00867 12,00000 931,4

 

0,099 931,4

,

 

 

12

 

 

12

 

Еуд.св

92,2086

7,68405 7,68

МэВ/нуклон.

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

Ответ: Еуд.св = 7,68 МэВ/нуклон.

Рекомендуемое задание № 4

Энергия связи ядра Есв, состоящего из 2х протонов и 1го нейтрона, равна

7,72 МэВ. Определить массу mа нейтрального атома, имеющего это ядро.

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = 2

 

 

 

 

 

 

Энергия связи атомного ядра:

 

 

 

N = 1

 

 

 

 

 

 

Есв = 2,

(1)

mn = 1,00867 а.е.м.

 

где с – скорость света в вакууме.

 

 

 

m1 Н1 = 1,00783 а.е.м.

 

 

 

Дефект массы ядра ∆m (см. задачу № 2):

 

 

 

Есв = 7,72 МэВ

 

 

 

 

 

m Zm1 Н1 Nmn mа ,

(2)

с2 = 931,4 МэВ/а.е.м.

 

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре)

m

Н

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

mа = ?

 

 

 

 

масса атома водорода, mn – масса нейтрона, mа – масса

 

 

 

 

 

нейтрального атома; N = A – Z – число нейтронов, А – массовое число (число

нуклонов: протонов и нейтронов).

 

 

 

Тогда энергия связи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Есв

Zm1 Н1 Nmn mа с2 .

(3)

Преобразуем:

 

 

 

 

 

 

Есв Zm

1 Н

1 Nm

n

m

 

 

 

с

2

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда масса нейтрального атома:

181

mа Zm1 Н1

Nmn

Есв2 .

(4)

 

 

с

 

Подставим численные значения:

ma = 2∙1,00783 + 1∙1,00867 – 931,47,72 = 2,01566 + 1,00867 – 0,00829.

ma = 3,01604 (а.е.м.).

Ответ: ma = 3,01604 а.е.м. (атом гелия 2Не3).

Рекомендуемое задание № 5

Определить массу нейтрального атома, если ядро этого атома с остоит из 3- х протонов и 2-х нейтронов и энергия связи ядра равна 26,3 МэВ.

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z = 3

 

В задаче № 4 выведена формула (4) для нахожд е-

N = 2

 

ния массы нейтрального атома:

 

 

mn = 1,00867 а.е.м.

 

m Zm 1

Nm

Есв .

 

 

m1 Н1 = 1,00783 а.е.м.

 

а

1 Н

n

с

2

 

 

 

 

 

 

 

Есв = 26,3 МэВ

 

Подставим численные значения:

 

 

 

 

 

 

26,3

 

с2 = 931,4 МэВ/а.е.м.

 

ma = 3∙1,00783 + 2∙1,00867 –

.

 

 

931,4

mа = ?

 

 

ma = 3,02349 + 2,01734 – 0,02824 = 5,01259 (а.е.м.).

 

 

Ответ: ma = 5,01259 а.е.м. (атом лития 3Li5).

 

 

Рекомендуемое задание № 6

Атомное ядро, поглотившее γ - квант (λ = 0,47 пм) пришло в возбужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны, разлетевшиеся в разные ст о- роны. Суммарная кинетическая энергия нуклонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи Есв ядра.

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

λ = 0,47 пм

 

λ = 0,47·10-12 м

 

Закон сохранения энергии:

Т = 0,4 МэВ

 

 

 

Едо = Епосле,

 

 

 

 

или для нашего случая:

Есв = ?

 

 

 

 

 

 

 

ε = Аразрыв + Т = Есв + Т,

где ε – энергия фотона, Аразрыв = Есв – работа внешних сил равная энергии св язи ядра, Т – сумма кинетических энергий нуклонов.

Отсюда энергия связи:

Есв = ε – Т.

Смотрите задачу № 1 занятие №3 «Фотоны. Давление света» . Энергия фотона может быть найдена по формуле:

182

hc . Вычислим:

6,626 10 34 3 108 42,2936 10 14 Дж 26,4 105 эВ 2,64МэВ . 0,47 10 12

Вычислим и энергию связи во внесистемных единицах: Есв = 2,64 – 0,4 = 2,24 МэВ.

Ответ: Есв = 2,24 МэВ.

Примечание: Энергия (работа), которую необходимо затратить, чтобы расщепить я д- ро на отдельные нуклоны, называется энергией связи.

Рекомендуемое задание № 7

Сколько энергии выделится при образовании одного грамма гелия 2Не4 из

протонов и нейтронов?

 

 

 

Дано:

 

 

СИ:

 

Решение:

 

 

Z = 2

 

 

 

 

Уравнение ядерной реакции:

А = 4

 

 

10-3 кг

 

21р1 + 20n1 2Не4

m = 1 г

 

 

 

Энергия ядерной реакции при образова-

mН = 1,00783 а.е.м.

 

 

 

 

нии 1го ядра (см. задачу № 2):

mn = 1,00867 а.е.м.

 

 

 

 

Е1 = (ZmН + (А Z)mn mа) с2,

mНе = 4,00260 а.е.м.

 

 

 

 

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре)

μ = 4·10-3 кг/моль

 

 

 

 

mн – масса нейтрального аторма водорода 1Н1,

NА = 6,02·1023 моль-1

 

 

 

 

mn – масса нейтрона, mа – масса образовавшего-

с = 931,4 МэВ/нуклон

 

 

 

 

ся нейтрального атома; N = A – Z – число ней-

 

 

 

 

 

тронов, А – массовое число (число нуклонов:

Е = ?

 

 

 

 

кууме.

 

 

протонов и нейтронов), с – скорость света в ва-

 

 

 

Вычислим её:

 

 

 

Е1 2 1,00783 4 2 1,00867 4,0026 931,4 28,3 МэВ.

Найдём число ядер N гелия в массе m вещества. Смотри занятие № 2 сборник задач с решениями: «Теплота и м олекулярная физика». Количество вещества распишем двояко и выразим число атомов (оно равно числу мол е- кул):

 

m

 

N

N

m

NA

10 3

6,02

10

23

1,505 10

23

,

 

NA

 

4

10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где N – число молекул в m кг вещества, NА – число Авогадро, μ – молярная масса вещества.

Энергия ядерной реакции при образовании N атомов гелия 2Не4:

183

Е = 1 = 1,505·1023·28,3 = 4,26·1022 МэВ = 681,5·109 Дж ≈ 682 ГДж. Ответ: Е = 4,26·1022 МэВ = 682 ГДж.

Рекомендуемое задание № 8

Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы оторвать один нейтрон от ядра азота 7N14?

 

 

 

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

mn = 1,00867 а.е.м.

 

Запишем происходящую ядерную реакцию:

m

N

13

= 13,00574 а.е.м.

 

7N14 0n1 + 7N13.

 

 

 

 

 

Дефект массы – разница исходных и конечных

mN 14

= 14,00307 а.е.м.

 

 

масс ядер (см. задачу № 2):

 

с2 = 931,4 МэВ/а.е.м.

 

 

 

m mдо mпосле m1 m2 m3 ,

(1)

Е = ?

 

 

 

 

где m1 масса покоя исходного ядра; m2 и m3

– массы по-

 

 

 

 

 

коя ядер продуктов реакции.

 

7N13:

Энергия отрыва нейтрона равна по модулю энергии связи его с ядром

 

 

 

 

 

 

 

Е Есв mc2 mN14 mn mN13 с2 .

(2)

 

 

 

Преобразуем формулу, заменив массы ядер массами атомов:

 

ЕЕсв mN14 7mе mn mN13 7mе c2 . Сократим массы электронов:

ЕЕсв mN14 mn mN13 с2 .

Тогда в числах энергия связи:

Есв 14,00307 1,00867 13,00574 931,4 0,01134 931,4 10,56 Есв 10,56 МэВ.

Знак минус показывает, что необходима дополнительная энергия из вне. Ответ: Е = – Есв = 10,6 МэВ.

Рекомендуемое задание № 9

Какую наименьшую энергию связи Е нужно затратить, чтобы разделить ядро гелия 2Не4 на две одинаковые части.

 

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

mН 2

= 2,01410

а.е.м.

Запишем происходящую ядерную реакцию:

mНе4

= 4,00260

а.е.м.

2Не4 → 21Н2.

 

Дефект массы – разница исходных и конечных

с2 = 931,4 МэВ/а.е.м.

масс ядер (см. задачу № 2):

 

Е = ?

 

 

 

 

 

m mдо mпосле m1 2m2 ,

(1)

 

 

 

где m1 масса покоя исходного ядра; m2 – масса покоя ядра продукта реакции.

184

Энергия необходимая для разделения ядра на две одинаковые части равна энергии связи исходного ядра взятой со знаком минус:

 

 

 

 

 

Е Есв mc2 mНе4

2mН 2 с2 .

(2)

Преобразуем формулу, заменив массы ядер массами атомов:

 

Е

св

m

Не

4

2m

е

2m

Н

2 2 m

c2 .

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

Сократим массы электронов:

Есв mc2 mНе4 2mН 2 с2 .

Вычислим энергию связи во внесистемных единицах:

Есв 4,00260 2 2,01410 931,4 0,0256 931,4 23,8 МэВ.

Следовательно, энергия разделения Е = – Есв = 23,8 МэВ. Ответ: Е = – Есв = 23,8 МэВ.

Рекомендуемое задание № 10

Определить наименьшую энергию Е, необходимую для разделения ядра углерода 6С12 на три одинаковые части.

 

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

mС12

= 12,00000 а.е.м.

 

Запишем происходящую ядерную реакцию:

 

mНе4

= 4,00260 а.е.м.

 

6С12 → 32Не4.

 

 

Дефект массы – разница исходных и конечных

с2 = 931,4 МэВ/а.е.м.

 

 

масс ядер (см. задачу № 2):

 

Е = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

m mдо mпосле m1 3m2 ,

(1)

где m1 масса покоя исходного ядра; m2 – масса покоя ядра продукта реакции. Энергия необходимая для разделения ядра на три одинаковые части равна

по модулю энергии связи исходного ядра:

Е Есв mc2 mС12 3mНе4 с2 . (2) Преобразуем формулу, заменив массы ядер массами атомов:

Есв mС12 6mе 3mНе4 3 2mе c2 .

Сократим массы электронов:

Есв mc2 mС12 3mНе4 с2 .

Вычислим энергию связи во внесистемных единицах:

Есв 12,00000 3 4,00260 931,4 0,0078 931,4 7,265 МэВ.

Следовательно, энергия разделения Е = – Есв = 7,265 МэВ. Ответ: Е = – Есв = 7,265 МэВ.

185

Z = 1
N = 2
mН1 = 1,00783 а.е.м. mn = 1,00867 а.е.м. mН3 = 3,01605 а.е.м.
с2 = 931,4 МэВ/нуклон
Eсв = ?
Дано:

 

 

 

 

Домашнее задание № 1

 

 

Зная массу m

а

нейтрального атома изотопа

3

Li7 , определить массы m , m

2

 

 

 

 

 

1

и m3 ионов лития: однозарядного (3 Li7 ) , двухзарядного (3 Li7 )

и трехзарядно-

го (3 Li7 ) .

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mа = 7,01601 а.е.м.

 

 

 

Выражение для массы ядра (см. задачу № 1):

 

Z1 = 1

 

 

 

mя = mа Zmе,

 

 

 

 

Z2 = 2

 

 

 

где mа – масса нейтрального атома изотопа лития 3Li7, mе

Z3 = 3

 

 

 

масса электрона, Z – зарядовое число. Тогда:

 

 

mе = 0,00055 а.е.м.

 

 

 

1) m1 = mа Z1mе.

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем числовые значения:

 

 

m1, m2, m3 = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 = 7,01601 – 1·0,00055 = 7,01546 а.е.м.

 

 

 

 

 

 

2)m2 = 7,01601 – 2·0,00055 = 7,01491 а.е.м.

3)m3 = 7,01601 – 3·0,00055 = 7,01436 а.е.м.

Ответ: m1 = 7,01546 а.е.м., m2 = 7,01491 а.е.м., m3 = 7,01436 а.е.м.

Домашнее задание № 2

Определить энергию связи, которая освободится при соединении одн ого протона и двух нейтронов в атомное ядро?

Решение:

Запишем уравнение ядерной реакции:

1р1 + 20n1 1Н3.

Воспользуемся формулой (3) задачи № 4 для

энергии связи:

Есв Zm1 Н1 Nmn mа с2

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре) m1 Н1

масса атома водорода, mn – масса нейтрона, mа – масса нейтрального атома; N = A Z – число нейтронов, А – массовое число (число нуклонов: протонов и нейтронов).

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

Есв 1 1,00783 2 1,00867 3,01605 931,4 Есв 0,00912 931,4 8,49 МэВ.

Ответ: Eсв = 8,49 МэВ.

186

с2 = 931,4 Еmin = ?
МэВ a.е.м.
Дано:
mn = 1,00867 а.е.м. mН = 1,00783 а.е.м. mLi = 7,01601 а.е.м. mВе = 7,01693 a.е.м

Домашнее задание № 3

Какую наименьшую энергию нужно затратить, чтобы разделить на о т- дельные нуклоны изобарные ядра 3Li7 и 4Ве7? Почему для ядра бериллия эта энергия меньше, чем для ядра лития?

Решение:

Наименьшая энергия для распада на отдельные кулоны будет равна энергии связи атомного ядра (см. задачу № 2):

Еmin = Есв = (ZmН + (А Z)mn mа)с2,

где Z – зарядовое число (число протонов в ядре) mН – масса атома водорода, mn – масса нейтрона, mа – масса нейтрального атома; N = A – Z – число нейтронов, А – массовое число (число нуклонов: протонов и нейтр онов),

с – скорость света в вакууме.

Подставим численные значения во внесистемных единицах: 1) Для ядра лития 3Li7. Z1 = 3, А = 7:

Е1 3 1,00783 7 3 1,00867 7,01601 931,4 Е1 3,02349 4,03468 7,01601 931,4 0,04216 931,4 39,27

Е1 ≈ 39,3 (МэВ).

2) Для ядра бериллия 4Ве7. Z2 = 4, А = 7:

Е2 4 1,00783 7 4 1,00867 7,01693 931,4 Е2 4,03132 3,02601 7,01693 931,4 0,0404 931,4 37,63

Е2 ≈ 37,6 (МэВ).

Энергия связи для ядра лития больше, чем для ядра бериллия потому, что в ядре бериллия больше число протонов, а следовательно и сила Кулона, т.е. отталкивающая сила.

Ответ: Е1 = 39,2 МэВ, Е2 = 37,6 МэВ.

Домашнее задание № 4

Найти минимальную энергию связи Есв, необходимую для удаления одного протона из ядра азота 7N14?

187

 

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

mН 1

= 1,00783 а.е.м.

 

Запишем происходящую ядерную реакцию:

mС13

= 13,00335 а.е.м.

 

7N14 1р1 + 6С13.

 

 

Дефект массы – разница исходных и конечных

mN 14

= 14,00307 а.е.м.

 

 

масс ядер (см. задачу № 2):

 

с2 = 931,4 МэВ/а.е.м.

 

 

 

m mдо mпосле m1 m2 m3 ,

(1)

Еmin

= ?

 

 

где m1 масса покоя исходного ядра; m2 и m3 – массы по-

 

 

 

коя ядер продуктов реакции.

 

 

Энергия отрыва протона равна по модулю энергии связи его с ядром

6С13:

Еmin Есв mc2 mN14 mр mС13 с2 . Преобразуем формулу, заменив массы ядер массами атомов:

Еmin Есв mN14 7mе mН1 mе mС13 6mе c2 ,

где

учтено,

что

ядро

атома

водорода состоит из протона и

mН1

mр mе . Сократим массы электронов:

 

Е

min

Е

св

 

m

N

14 m

Н

1 m

13 с2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

Вычислим энергию связи во внесистемных единицах:

Есв 14,00307 1,00783 13,00307 931,4 0,00811 931,4 ;

(2)

электрона:

Есв 7,55 МэВ.

Знак минус показывает, что необходима дополнительная энергия из вне (см. задачу № 2). Следовательно Еmin = – Есв = 7,55 МэВ.

Ответ: Еmin = 7,55 МэВ.

188

Практическое занятие 12 ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА. АКТИВНОСТЬ

Рекомендуемое задание № 1

 

Определить постоянные распада λ изотопов радия: 88Ra219 и 88Ra226.

 

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

1)

Т1/2 = 10-3 с

 

 

 

Связь периода полураспада (табличное

2)

Т1/2 = 1,62·103 лет

5,12·1010 с

 

значение) – промежуток времени, за который

 

 

 

 

 

число нераспавшихся атомов умен ьшается в

λ = ?

 

 

 

 

 

T

ln2

0,69315 ,

два раза – с постоянной распада:

 

 

 

1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

где - постоянная распада, имеющая смысл вероятности распада за 1 с и ра в- ная доле ядер, распадающихся в единицу времени.

Выразим постоянную распада:

ln2 .

T1 / 2

Подставим числовые данные и получим: 1) 88Ra219.

 

 

 

ln2

0,69315 103 693с 1 .

 

 

 

 

 

 

1

 

10 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) 88Ra226.

 

 

 

 

 

2

 

 

ln2

 

0,69315

0,135 10 10

13,5 10 12 с 1

13,5пс 1 .

 

5,12 1010

5,12 1010

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 1) λ1 = 693 с-1; 2) λ2 = 13,5 пс-1.

Примечание: 1 год = 365,25 сут = 8766 ч = 525960 мин = 31557600 с ≈ 3,16·107 с.

Рекомендуемое задание № 2

Постоянная распада рубидия 89Rb равна 0,00077 с-1. Определить его период полураспада Т1/2.

Дано:

 

 

Решение:

 

= 0,00077 с-1

 

 

Связь периода полураспада (табличное значение) – про-

 

 

 

 

межуток времени, за который число нераспавшихся ат омов

Т1/2 = ?

 

 

 

 

ln2

уменьшается в два раза – с постоянной распада:

T

0,69315 ,

1 / 2

 

 

 

где - постоянная распада, имеющая смысл вероятности распада за 1 с и равная доле ядер, распадающихся в единицу времени.

189

Подставим числовые значения:

T1 / 2

ln2

900с 15мин .

0,00077

 

 

Ответ: Т1/2 = 15 мин.

Рекомендуемое задание № 3

Сколько процентов начального количества радиоактивного актиния Ас 225

останется: через 5 дней? через 15 дней?

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т1/2 = 10 суток

 

 

 

 

Основной закон радиоактивного распада:

 

t1 = 5 дней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N = N0e- t или N

N0

,

(1)

t2 = 15 дней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е t

 

 

 

 

 

где N – число нераспавшихся атомов в момент времени t; N0

 

N 100% = ?

 

 

 

N0

 

 

 

 

число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный

 

 

 

 

 

 

(t = 0); е – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная

 

 

 

 

 

 

радиоактивного распада.

 

 

 

 

 

 

 

Выразим отношение

N

- число нераспавшихся атомов в момент вр емени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

 

 

 

t к начальному:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

е t

1

.

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N0

 

 

 

 

 

 

Связь периода полураспада с постоянной распада:

 

 

 

T

ln2

0,69315

 

 

 

 

 

1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда постоянная распада:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln2 .

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

1 способ. Промежуточные вычисления во внесистемных единицах:

 

 

ln2

 

ln2

 

0,069315 (сут-1).

 

 

 

 

10 сут

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим отношения:

1)N1 е 0,069315 5 е 0,34657 0,707 70,7% .

N0

2)N2 е 0,069315 15 е 1,03972 0,354 35,4%

N0

2 способ. Вывод конечной формулы. Подставим формулу (3) в формулу (2):

190

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.