Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf

Скачиваний:

2045

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>


р	m						2T
р	m						2T

							m
							m
			2						р 2mT .
								2T	р 2mT .
T m								2T
	2				р m			m
								m
Подставим в формулу волны де Бройля:
		h			.

		2mT
Произведём вычисления:
				6,626 10 34						6,626 10 34		6,626 10 34		.

		2 9,11 10 31				1,6		10 16			29,152 10 47	2,9152	10 46
		2 9,11 10 31				1,6		10 16			29,152 10 47	2,9152	10 46

6,626 10 34 3,88 10 11 38,8 10 12 м 38,8пм . 1,707 10 23

Ответ: Б = 38,8 пм.

Примечание: Работа сил электрического поля: Аэл = еU = 1ē·1В = 1 электрон-вольт = 1эВ = 1,6·10-19 Кл·1В = 1,6·10-19 Дж.

	Рекомендуемое задание № 5
Найти длину волны де Бройля Б для электрона, движущегося по круго-
вой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
Дано:	Решение:
Дано:	Решение:
n = 1	Длина волны де Бройля связана с импульсом дви-
m = 9,11·10-31 кг	жущейся частицы:
h = 6,626·10-34 Дж∙с	h .
ε0 = 8,85·10-12 Ф/м		p
ē = 1,6·10-19 Кл	Импульс электрона:
Б = ?	р m .
Тогда длина волны:
			h	.	(1)
				.	(1)
			m

Первый постулат Бора (см. занятие № 5) (постулат стационарных состояний или правило квантования орбит): дискретные квантовые значения момента импульса удовлетворяют условию:

m r n

(n = 1, 2, 3…),

(2)

где m – масса электрона, r – радиус орбиты электрона n – номер стационарной орбиты, ħ – постоянная Планка с чертой.

121

Движение электрона в электрическом поле ядра атома водорода со скоро-

стью , перпендикулярной вектору В , по окружности радиусом r можно выразить, используя второй закон Ньютона:

F Кулона ma .

Смотри занятие № 1 сборник задач с решениями: «Электростатика.

Постоянный ток. Магнетизм». Расписав силу Кулона и нормальное ускорение в проекции на ось ОХ, направленную по нормальному (центрос тремительному) ускорению, получим систему 3х уравнений:

			ma
F			ma
	Кулона			п							2
			1		е2		1	е2			2		1	e2
FКул										m		m R			.	(3)
FКул			4 0		R	2	4 0	R	2	m	R	m R	4 0		.	(3)
			4 0		R		4 0	R			R		4 0
		2
an		R
		R

Подставили два последних уравнения в первое. Приравняем формулы ( 2) и (3) и выразим скорость, с учётом связи 2h :

1			e2 n	1			e2		1			e2 2			e2	.
	4 0			4 0				4 0
							n					nh			2 0nh
Подставим в формулу (1) длины волны де Бройля:
					2 0nhh					2 0nh2
						me2					me2 .				(4)
Подставим числовые значения и произведём вычисления:
		2 8,85 10 12 1 6,6262 10 68									777,1 10 80			33,32 10 11 .
			9,11 10 31 1,62 10 38							23,3216			10 69

333,2 10 12 м 333,2 пм. Ответ: Б = 333,2 пм.

Рекомендуемое задание № 6

С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля Б электрона равна его комптоновской длине волны С.

Дано:	Решение:

Б = С = 2,426 пм	Найдём энергию фотона:
m0 = 9,11·10-31 кг		hc	6,626 10 34 3 108		.
h = 6,626·10-34 Дж∙с				2,426 10 12

υ = ?	8,2 10 14			82 10 16 Дж 512кэВ .

122

Что соизмеримо с энергией покоя электрона: Е0 = 511 кэВ, следовательно, частицу нужно считать релятивистской.

1 способ. Длина волны де Бройля, длина волны Комптона (см. занятие № 4), релятивистский импульс (см. задачу № 3):

Б		h	, С	h	,	p		m0	,
		p		m0c
							1 2
							1 2
где		– скорость частицы, выраженная в долях скорости света с. Подста-
	с

вим импульс и приравняем λБ = λК:

h	1 2					h		1 2	1					1 2	2
h	1 2					h		1 2	1			1 2
m						m c			c			1 2	c
m						m c			c				c
0					0
1 2 2							1			с	.
1 2 2											.
						с	2			2
Подставим числа:
		3	10	8	2,12 108 (м/с) 212 106 (м/с) 212(Мм/с) .
					2,12 108 (м/с) 212 106 (м/с) 212(Мм/с) .
2

2 способ. Используем числовое значение длины волны Комптона (см. з а- нятие № 4):

h																			m0 С									m0 С		2
		1					2
		1					2									2									2
	m0							С 1														1
								С 1												h		1							h
																				h									h
	2							2			m						2				2		m		С		2				2	1			m		2
	2											0		С										0	С						2				0 С
									1																			1										1,
									1																			1						2				1,
			с										h						с					h									с	2	h
			с										h						с					h									с		h
								1					.

						1		m0 С			2

					с2				h
					с2				h
Подставим численные значения:
														1																	1					,

							1			9,11 10 31								2,426 10 12						2		0,111 10 16						11,1 10 18

					9 1016									6,626 10 34
					9 1016									6,626 10 34
								1							1					0,212 109					212 106 (м/с) 212 (Мм/с).
												4,714 10							9
				22,2 10 18
				22,2 10 18

Ответ: υ = 212 Мм/с.

Примечание: 1 кэВ = 1,6·10-16 Дж.

123

Рекомендуемое задание № 7

Определить длину волны де Бройля электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спе к-

тра приходится на длину волны = 3 нм.
Дано:	Си:	Решение:
Дано:	Си:	Решение:
= 3 нм	3∙10-9 м	Закон сохранения энергии: кинетическая
me 9,1 10 31 кг		энергия электрона переходит в энергию фотона:
h 6,626 10 34 Дж∙с		Eк .			(1)
c 3 108 м/с		Энергия -кванта:
			hc
Б = ?			hc	,	(2)
Б = ?				,	(2)
			min

где h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме.

Кинетическая энергия электрона:

Eк m2 2 ,

откуда скорость электрона:

2Eк .

Импульс электрона:

р m .

Подставим скорость электрона в его импульс , получим

кинетическую энергию:

			,
р m	2Eк
		2mEк
	m

импульс через

(3)

Подставим вместо кинетической энергии электрона энергию фотона:

р 2m 2m hc .

min

Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом

движущейся частицы:

Б hр .

Подставим в неё предыдущую формулу:

	h			.
Б	h		h min

		hc
	2m	hc	2mc
	2m	min
		min

124

Вычислим:


	6,626 10 34	3 10		9
Б					0,364 10 20	0,6 10 10	0,06 10 9 (м).
	2 9,1 10 31	3	108

Ответ: Б = 0,06 нм.

Рекомендуемое задание № 8

Электрон движется по окружности радиусом				r 0,5 см в однородном
магнитном поле с индукцией		B 8 мТл. Определить длину волны де Бройля
электрона. (рис. 1)
Дано:	СИ:	Решение:
Дано:	СИ:	Решение:
r = 0,5 см	5∙10-3 м	Длина волны де Бройля для частицы
В = 8 мТл	8∙10-3 Тл	связана с его импульса			p и определяется фор-
h = 6,626∙10-34 Дж∙с		мулой:
Б = ?			h	,	(1)
			h
			p
			p

где h – постоянная Планка.

Импульс р частицы массой m, движущейся со скоростью , выражается формулой:

p m .	(2)
Движение электрона в магнитном поле со скоростью	, перпендикуляр-

ной вектору В , по окружности радиусом r можно выразить, используя второй закон Ньютона:

F Лоренца maп .
Смотри занятие № 6 сборник задач с решениями:				B	е
«Электростатика. Постоянный ток. Магнетизм» . В				B		FЛ
«Электростатика. Постоянный ток. Магнетизм» . В
проекции на ось направленную по нормальному (центр о-
проекции на ось направленную по нормальному (центр о-
стремительному) ускорению и расписав силу Лоренца, и					r
нормальное ускорение получим систему 3 х уравнений:					r
нормальное ускорение получим систему 3 х уравнений:
					Рис. 1

FЛоренца maп
FЛ		q Bsin .
			2
a			r
	n		r

Подставим два последних уравнения в первое, получим ( α = 90º, т.к. поле однородно, тогда sinα = 1, заряд электрона q обозначим е):

125

e B m 2 , r

отсюда скорость электрона:

e B r .	(3)
m

Подставим скорость в формулу импульса (2) в скаля рном виде:

р m e B r e B r . m

Подставим импульс в формулу (1) длины волны де Б ройля:

		h	h		.
			e B	r	.
		p	e B	r
Вычислим:
			6,626 10			34			0,1 10 9	м 0,1(нм).
	1,6 10 19			8 10		3 5	10	3	0,1 10 9	м 0,1(нм).
	1,6 10 19			8 10		3 5	10	3

Ответ: Б = 0,1 нм.

Примечание: Скорость электрона из формулы (3):

eBr	1,6 10 19 8 10 3	5 10	3
m	9,1 10 27		700м/c , т.е. частица классическая.
m	9,1 10 27

Рекомендуемое задание № 9

На грань некоторого кристалла под углом θ = 60 к её поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Опр е- делить скорость электронов, если они испытывают интерференционное о т- ражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм (рис. 2).

Дано:	СИ:	Решение:
Дано:	СИ:	Решение:
k = 1	2∙10-10 м	К расчёту дифракции электронов от кр и-
θ = 60	2∙10-10 м	сталлической решетки применяется	формула
d = 0,2 нм		Вульфа-Брэгга:
h = 6,626∙10-34 Дж∙с		2 dsin k ,
mе = 9,1∙10-31 кг		где d – расстояние между атомными плоскост я-
		ми кристалла; θ – угол скольжения (угол между
υ = ?		ми кристалла; θ – угол скольжения (угол между
		направлением пучка параллельных	лучей, па-

дающих на кристалл и гранью кристалла), определяющий направление, в котором имеет место зеркальное отражение лучей (дифракционный максимум); k – порядок максимума; – длина волны. Смотри занятие № 7 сборник задач с решениями: «Геометрическая и волновая оптика».

126

Выразим длину волны:

2dsin . k

Формула длины волны де Бройля:

h	h	.
p
	m
	e

Приравняем длины волн:

2dsin	h	.
k	m
	e

Выразим скорость электро-

нов:

	kh
		.
	2dme sin

1
			1
2
			2

d
d	d sin	d sin

Рис. 2

Подставив в эту формулу значения величин и произведя вычисления, найдём скорость электронов:


				1 6,626 10 34		1 6,626			10 34

			2 2	10 10 9,1 10 31 sin60		2 2 10 10 9,1			10 31				2
			2 2	10 10 9,1 10 31 sin60		2 2 10 10 9,1			10 31			3	2
1		6,626 10 34			6,626 10 34	= 0,21∙10	7	= 2,1∙10		6	м/с = 2,1(Мм/с).
					31,523 10 41
2 10	10 9,1			10 31 3
2 10	10 9,1			10 31 3

Ответ: υ = 2,1 Мм/с.

Рекомендуемое задание № 10

Параллельный пучок электронов, движ у- щихся с одинаковой скоростью 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной a 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на рассто я- нии L = 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние x между первыми дифракционными минимумами (рис. 3).

Дано:	СИ:	Решение
Дано:	СИ:	Решение
υ = 1 Мм/с	106 м/с	1 способ. Со-	Рис. 3
а = 1 мкм	10-6 м	гласно гипотезе де	Рис. 3
а = 1 мкм	10-6 м	гласно гипотезе де
L = 50 см	0,5 м	Бройля, длина волны , соответствующая частице
		массой m, движущейся со скоростью , выражается
х = ?		массой m, движущейся со скоростью , выражается

127

формулой:

mh .

Дифракционный минимум при дифракции на одной щели наблюдается при условии

a sin 2k 2 k ,

где k 0,1,2,3, - порядковый номер минимумов; а - ширина щели.

arcsin ka .

Из рисунка расстояние между минимумами одн ого порядка:

	k		kh
x 2L tg 2Ltg arcSin	a	2Ltg arcSin		.

			am

Подставим угол φ и длину волны λ:

				k			kh
x 2L tg 2Ltg arcSin				a	2Ltg arcSin
x 2L tg 2Ltg arcSin					2Ltg arcSin
							am
Произведём вычисления:
			1 6,626 10 34					6,626 10 34
x 2	0,5	tg arcSin				tg arcSin		9,1 10 31
x 2	0,5	tg arcSin				tg arcSin
			10 6 9,1 10 31 106

x tg arcSin0,7281 10 3 tg 0,04172 0,000728м 0,728мм

2 способ. Учтём, что k = 1, тогда угол φ → 0º ≈ 0 радиан. Из курса математики известно, что при малых углах, выраженных в радианах, tgφ ≈ Sinφ ≈ φ. Наши формулы преобразуются:

m .

a sin a sin

sin

x 2L tg

x 2L sin

sin

Разделим верхнее уравнение на нижнее:

2Lh

Откуда расстояние между первыми минимумами: x m2Lha .

Произведём вычисления:

128

x	2 0,5 6,626 10 34			6,626 10	34	0,728 10 3	м 0,728мм .
	9,1 10 31	106	10 6	9,1 10 31

Ответ: х = 0,728 мм.

Домашнее задание № 1

-частица движется по окружности радиусом r 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля для -частицы (рис. 4).

Дано:	Си:	Решение:
Дано:	Си:	Решение:
q = 3,2·10-19 Кл		Длина волны де Бройля λ для части-
r 8,3 мм	8,3 10 3 м	цы связана с его импульса р и определяется
H 18,9 кА/м	18,9 103 А/м	формулой:
µ0 = 4π·10-7 Гн/м			h	,	(1)
µ0 = 4π·10-7 Гн/м				,	(1)
h = 6,625·10-34 Дж·с			p
		где h – постоянная Планка.
?		где h – постоянная Планка.
		Движение -частицы в магнитном поле

со скоростью , перпендикулярной вектору В , по окружности радиусом r можно выразить, используя второй закон Ньютона:

F Лоренца maп .

Смотри занятие № 6 сборник задач с решениями:							H		q
«Электростатика. Постоянный ток. Магнетизм» . В									q
									FЛ

проекции на ось направленную по нормальному (центро-
проекции на ось направленную по нормальному (центро-									an
стремительному) ускорению и расписав силу Лоренца FЛ,									an
нормальное ускорение ап и связь магнитной индукции В с								r
нормальное ускорение ап и связь магнитной индукции В с
напряжённостью магнитного поля Н получим систему 4х								Рис. 4
уравнений:
FЛоренца maп
	q Bsin		FЛоренца			maп
FЛ	q Bsin
		2		q 0 Нsin .
		2	FЛ	q 0 Нsin .
an		r				2
		r	an
			an
					r
В 0 Н					r

где µ0 – магнитная постоянная. Подставим два последних уравнения в пе рвое, получим (α = 90º, т.к. поле однородно, тогда sinα = 1; магнитная проницаемость среды для вакуума µ = 1):

q 0	Н m 2	q 0	Н m	,
	r		r

129

отсюда импульс электрона:

р m q 0 Hr .

(2)

Подставим импульс в формулу (1) длины волны де Бройля:

q 0 Hr

Подставим численные значения и вычислим:

6,625 10 34

0,001 10 8

10 10 12 (м) 10 (пм).

3,2 10 19 4

3,14 10 7 18,9 103

8,3 10

Ответ: λ = 10 пм.

Примечание: Скорость -частицы из формулы (2):

q 0 Hr

3,2 10 19 4 3,14 10 7 18,9 103 8,3 10

6,64 10 27

9500м/с ,

т.е. частица классическая.

Домашнее задание № 2

Найти длину волны де Бройля

для атома водорода, движущегося при

температуре T 293 К со: 1) средней квадратичной скоростью; 2) наиболее ве-

роятной скоростью, 3) средней арифметической скоростью .

Дано:

СИ:

Решение:

m = 1,007783 а.е.м.

1,673·10-27 кг

Длина волны де Бройля:

T = 293 K

k = 1,38·10-23 Дж/К

h = 6,625·10-34 Дж·с

где h - постоянная Планка,

1) υср. кв.

Импульс частицы:

2) υср.

p m .

3) υв.

Тогда длина волны де Бройля:

λБ = ?

(1)

Средняя квадратичная, средняя арифметическая и н аиболее вероят-

ная скорость атома водорода:

3kT

ср.кв.

8kT

ср

(2)

2kT

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке posobia_4semФизика

#
02.03.2016831.28 Кб313Квантовая оптика _пособие_.pdf
#
02.03.20161.54 Mб2045Квантовая оптика _решебник_.pdf