Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf
Скачиваний:
1348
Добавлен:
02.03.2016
Размер:
1.54 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р

m

 

 

2T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

р 2mT .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2T

 

 

 

 

 

 

 

T m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

р m

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим в формулу волны де Бройля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2mT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Произведём вычисления:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,626 10 34

 

 

 

 

 

 

6,626 10 34

 

 

 

6,626 10 34

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 9,11 10 31

1,6

10 16

 

29,152 10 47

2,9152

10 46

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,626 10 34 3,88 10 11 38,8 10 12 м 38,8пм . 1,707 10 23

Ответ: Б = 38,8 пм.

Примечание: Работа сил электрического поля: Аэл = еU = 1ē·1В = 1 электрон-вольт = 1эВ = 1,6·10-19 Кл·1В = 1,6·10-19 Дж.

 

 

Рекомендуемое задание № 5

 

Найти длину волны де Бройля Б для электрона, движущегося по круго-

вой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

 

Дано:

 

Решение:

 

 

 

n = 1

 

Длина волны де Бройля связана с импульсом дви-

m = 9,11·10-31 кг

 

жущейся частицы:

 

h = 6,626·10-34 Дж∙с

 

h .

 

ε0 = 8,85·10-12 Ф/м

 

 

p

 

 

 

 

ē = 1,6·10-19 Кл

 

Импульс электрона:

 

Б = ?

 

р m .

 

Тогда длина волны:

 

 

 

 

 

h

.

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

Первый постулат Бора (см. занятие № 5) (постулат стационарных состояний или правило квантования орбит): дискретные квантовые значения момента импульса удовлетворяют условию:

m r n

(n = 1, 2, 3…),

(2)

где m – масса электрона, r – радиус орбиты электрона n – номер стационарной орбиты, ħ – постоянная Планка с чертой.

121

Движение электрона в электрическом поле ядра атома водорода со скоро-

стью , перпендикулярной вектору В , по окружности радиусом r можно выразить, используя второй закон Ньютона:

F Кулона ma .

Смотри занятие № 1 сборник задач с решениями: «Электростатика.

Постоянный ток. Магнетизм». Расписав силу Кулона и нормальное ускорение в проекции на ось ОХ, направленную по нормальному (центрос тремительному) ускорению, получим систему 3х уравнений:

 

 

 

ma

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кулона

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

е2

1

 

е2

 

1

 

e2

 

 

FКул

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

m R

 

 

 

.

(3)

4 0

R

2

4 0

R

2

R

4 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставили два последних уравнения в первое. Приравняем формулы ( 2) и (3) и выразим скорость, с учётом связи 2h :

1

 

e2 n

1

 

 

e2

 

 

1

 

e2 2

 

e2

.

 

4 0

4 0

 

4 0

 

 

 

 

n

nh

 

 

2 0nh

Подставим в формулу (1) длины волны де Бройля:

 

 

 

 

 

2 0nhh

 

 

2 0nh2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

me2

 

 

 

me2 .

 

 

(4)

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

 

2 8,85 10 12 1 6,6262 10 68

 

 

 

777,1 10 80

33,32 10 11 .

 

9,11 10 31 1,62 10 38

23,3216

10 69

 

 

 

 

 

 

 

 

333,2 10 12 м 333,2 пм. Ответ: Б = 333,2 пм.

Рекомендуемое задание № 6

С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля Б электрона равна его комптоновской длине волны С.

Дано:

 

Решение:

 

 

 

 

 

Б = С = 2,426 пм

 

Найдём энергию фотона:

 

m0 = 9,11·10-31 кг

 

 

hc

 

6,626 10 34 3 108

.

h = 6,626·10-34 Дж∙с

 

 

 

2,426 10 12

 

 

 

 

 

υ = ?

 

8,2 10 14

82 10 16 Дж 512кэВ .

122

Что соизмеримо с энергией покоя электрона: Е0 = 511 кэВ, следовательно, частицу нужно считать релятивистской.

1 способ. Длина волны де Бройля, длина волны Комптона (см. занятие № 4), релятивистский импульс (см. задачу № 3):

Б

h

, С

h

,

p

 

m0

 

,

p

m0c

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

где

 

– скорость частицы, выраженная в долях скорости света с. Подста-

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вим импульс и приравняем λБ = λК:

h

1 2

 

 

h

 

 

1 2

 

 

1

 

 

 

 

1 2

2

 

 

 

1 2

m

m c

 

 

 

 

 

c

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 2

1

 

 

 

с

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Подставим числа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

10

8

2,12 108 (м/с) 212 106 (м/с) 212(Мм/с) .

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 способ. Используем числовое значение длины волны Комптона (см. з а- нятие № 4):

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0 С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0 С

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m0

 

 

С 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

m

 

2

 

 

 

 

2

 

m

С

 

2

 

 

 

2

 

1

 

 

m

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

С

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

с

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

m0 С

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с2

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

9,11 10 31

2,426 10 12

2

 

 

0,111 10 16

11,1 10 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 1016

 

 

 

 

 

 

6,626 10 34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

0,212 109

212 106 (м/с) 212 (Мм/с).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,714 10

9

 

 

 

22,2 10 18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: υ = 212 Мм/с.

Примечание: 1 кэВ = 1,6·10-16 Дж.

123

Рекомендуемое задание № 7

Определить длину волны де Бройля электронов, бомбардирующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спе к-

тра приходится на длину волны = 3 нм.

 

Дано:

 

Си:

 

Решение:

 

 

 

 

= 3 нм

 

3∙10-9 м

 

Закон сохранения энергии: кинетическая

me 9,1 10 31 кг

 

 

 

энергия электрона переходит в энергию фотона:

h 6,626 10 34 Дж∙с

 

 

 

Eк .

(1)

c 3 108 м/с

 

 

 

Энергия -кванта:

 

 

 

 

 

 

hc

 

 

Б = ?

 

 

 

,

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

где h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме.

Кинетическая энергия электрона:

Eк m2 2 ,

откуда скорость электрона:

2Eк .

m

Импульс электрона:

р m .

Подставим скорость электрона в его импульс , получим

кинетическую энергию:

 

 

 

 

,

р m

2Eк

2mEк

 

m

импульс через

(3)

Подставим вместо кинетической энергии электрона энергию фотона:

р 2m 2m hc .

min

Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом

движущейся частицы:

Б hр .

Подставим в неё предыдущую формулу:

 

 

h

 

 

 

 

.

Б

 

 

 

 

h min

 

 

 

 

 

hc

 

 

2m

 

 

2mc

 

 

min

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

124

Вычислим:

 

 

6,626 10 34

3 10

9

 

 

 

 

Б

 

 

0,364 10 20

0,6 10 10

0,06 10 9 (м).

2 9,1 10 31

3

108

 

 

 

 

 

 

Ответ: Б = 0,06 нм.

Рекомендуемое задание № 8

Электрон движется по окружности радиусом

r 0,5 см в однородном

магнитном поле с индукцией

 

B 8 мТл. Определить длину волны де Бройля

электрона. (рис. 1)

 

 

 

 

 

 

 

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

r = 0,5 см

 

5∙10-3 м

 

Длина волны де Бройля для частицы

В = 8 мТл

 

8∙10-3 Тл

 

связана с его импульса

p и определяется фор-

h = 6,626∙10-34 Дж∙с

 

 

 

мулой:

 

 

Б = ?

 

 

 

 

h

,

(1)

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

где h – постоянная Планка.

Импульс р частицы массой m, движущейся со скоростью , выражается формулой:

p m .

(2)

Движение электрона в магнитном поле со скоростью

, перпендикуляр-

ной вектору В , по окружности радиусом r можно выразить, используя второй закон Ньютона:

F Лоренца maп .

 

 

 

 

 

Смотри занятие № 6 сборник задач с решениями:

B

е

 

«Электростатика. Постоянный ток. Магнетизм» . В

 

 

FЛ

 

 

 

 

 

проекции на ось направленную по нормальному (центр о-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

стремительному) ускорению и расписав силу Лоренца, и

 

r

 

нормальное ускорение получим систему 3 х уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FЛоренца maп

 

 

 

 

 

FЛ

q Bsin .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

a

 

r

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Подставим два последних уравнения в первое, получим ( α = 90º, т.к. поле однородно, тогда sinα = 1, заряд электрона q обозначим е):

125

e B m 2 , r

отсюда скорость электрона:

e B r .

(3)

m

 

Подставим скорость в формулу импульса (2) в скаля рном виде:

р m e B r e B r . m

Подставим импульс в формулу (1) длины волны де Б ройля:

 

 

h

 

h

.

 

 

 

 

 

 

 

e B

r

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

Вычислим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,626 10

34

 

 

0,1 10 9

м 0,1(нм).

1,6 10 19

8 10

3 5

10

3

 

 

 

Ответ: Б = 0,1 нм.

Примечание: Скорость электрона из формулы (3):

 

eBr

 

1,6 10 19 8 10 3

5 10

3

m

9,1 10 27

 

700м/c , т.е. частица классическая.

 

 

 

 

Рекомендуемое задание № 9

На грань некоторого кристалла под углом θ = 60 к её поверхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Опр е- делить скорость электронов, если они испытывают интерференционное о т- ражение первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм (рис. 2).

Дано:

 

СИ:

 

Решение:

 

 

 

 

k = 1

 

2∙10-10 м

 

К расчёту дифракции электронов от кр и-

θ = 60

 

 

сталлической решетки применяется

формула

d = 0,2 нм

 

 

 

Вульфа-Брэгга:

 

h = 6,626∙10-34 Дж∙с

 

 

 

2 dsin k ,

 

mе = 9,1∙10-31 кг

 

 

 

где d – расстояние между атомными плоскост я-

 

 

 

 

ми кристалла; θ угол скольжения (угол между

υ = ?

 

 

 

 

 

 

 

направлением пучка параллельных

лучей, па-

дающих на кристалл и гранью кристалла), определяющий направление, в котором имеет место зеркальное отражение лучей (дифракционный максимум); k – порядок максимума; – длина волны. Смотри занятие № 7 сборник задач с решениями: «Геометрическая и волновая оптика».

126

Выразим длину волны:

2dsin . k

Формула длины волны де Бройля:

 

h

 

h

.

p

 

 

 

m

 

 

 

e

Приравняем длины волн:

2dsin

 

h

.

k

 

m

 

 

 

e

Выразим скорость электро-

нов:

 

kh

 

.

2dme sin

1

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

d

 

 

 

d

d sin

d sin

 

Рис. 2

Подставив в эту формулу значения величин и произведя вычисления, найдём скорость электронов:

 

 

 

 

 

1 6,626 10 34

1 6,626

10 34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

10 10 9,1 10 31 sin60

2 2 10 10 9,1

10 31

 

 

2

 

 

 

3

 

1

 

6,626 10 34

 

6,626 10 34

= 0,21∙10

7

= 2,1∙10

6

м/с = 2,1(Мм/с).

 

 

 

 

 

 

31,523 10 41

 

 

2 10

10 9,1

10 31 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: υ = 2,1 Мм/с.

Рекомендуемое задание № 10

Параллельный пучок электронов, движ у- щихся с одинаковой скоростью 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длинной щелью шириной a 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на рассто я- нии L = 50 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние x между первыми дифракционными минимумами (рис. 3).

Дано:

 

СИ:

 

Решение

 

 

 

 

υ = 1 Мм/с

 

106 м/с

 

1 способ. Со-

Рис. 3

а = 1 мкм

 

10-6 м

 

гласно гипотезе де

 

 

 

L = 50 см

 

0,5 м

 

Бройля, длина волны , соответствующая частице

 

 

 

 

массой m, движущейся со скоростью , выражается

х = ?

 

 

 

127

формулой:

mh .

Дифракционный минимум при дифракции на одной щели наблюдается при условии

a sin 2k 2 k ,

где k 0,1,2,3, - порядковый номер минимумов; а - ширина щели.

arcsin ka .

Из рисунка расстояние между минимумами одн ого порядка:

 

k

 

kh

x 2L tg 2Ltg arcSin

a

 

2Ltg arcSin

 

.

 

 

 

 

am

Подставим угол φ и длину волны λ:

 

 

 

 

k

 

 

kh

 

x 2L tg 2Ltg arcSin

a

2Ltg arcSin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

am

 

Произведём вычисления:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 6,626 10 34

 

 

 

 

 

6,626 10 34

x 2

0,5

tg arcSin

 

 

 

 

 

tg arcSin

9,1 10 31

 

 

 

 

 

 

 

10 6 9,1 10 31 106

 

 

 

x tg arcSin0,7281 10 3 tg 0,04172 0,000728м 0,728мм

.

2 способ. Учтём, что k = 1, тогда угол φ → 0º ≈ 0 радиан. Из курса математики известно, что при малых углах, выраженных в радианах, tgφ ≈ Sinφ φ. Наши формулы преобразуются:

 

 

 

h

 

 

h

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m .

a sin a sin

sin

 

 

 

 

 

x 2L tg

x 2L sin

 

 

 

a

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделим верхнее уравнение на нижнее:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2Lh

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Откуда расстояние между первыми минимумами: x m2Lha .

Произведём вычисления:

128

x

2 0,5 6,626 10 34

 

6,626 10

34

0,728 10 3

м 0,728мм .

9,1 10 31

106

10 6

9,1 10 31

 

 

 

 

Ответ: х = 0,728 мм.

Домашнее задание № 1

-частица движется по окружности радиусом r 8,3 мм в однородном магнитном поле, напряжённость которого H 18,9 кА/м. Найти длину волны де Бройля для -частицы (рис. 4).

Дано:

 

Си:

 

Решение:

 

 

 

 

q = 3,2·10-19 Кл

 

 

 

Длина волны де Бройля λ для части-

r 8,3 мм

 

8,3 10 3 м

 

цы связана с его импульса р и определяется

H 18,9 кА/м

 

18,9 103 А/м

 

формулой:

 

µ0 = 4π·10-7 Гн/м

 

 

 

 

h

,

(1)

 

 

 

h = 6,625·10-34 Дж·с

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

где h – постоянная Планка.

 

?

 

 

 

 

 

 

 

 

Движение -частицы в магнитном поле

со скоростью , перпендикулярной вектору В , по окружности радиусом r можно выразить, используя второй закон Ньютона:

F Лоренца maп .

Смотри занятие № 6 сборник задач с решениями:

H

 

 

q

«Электростатика. Постоянный ток. Магнетизм» . В

 

 

 

 

FЛ

 

 

 

проекции на ось направленную по нормальному (центро-

 

 

 

 

 

 

an

стремительному) ускорению и расписав силу Лоренца FЛ,

 

 

 

нормальное ускорение ап и связь магнитной индукции В с

 

r

 

 

 

 

напряжённостью магнитного поля Н получим систему 4х

 

Рис. 4

уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FЛоренца maп

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q Bsin

FЛоренца

maп

 

 

 

 

FЛ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

q 0 Нsin .

 

 

 

 

 

 

FЛ

 

 

 

 

an

r

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

В 0 Н

 

 

 

 

 

где µ0 – магнитная постоянная. Подставим два последних уравнения в пе рвое, получим (α = 90º, т.к. поле однородно, тогда sinα = 1; магнитная проницаемость среды для вакуума µ = 1):

q 0

Н m 2

q 0

Н m

,

 

r

 

r

 

129

отсюда импульс электрона:

 

 

 

 

 

 

р m q 0 Hr .

 

(2)

 

Подставим импульс в формулу (1) длины волны де Бройля:

 

 

 

h

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q 0 Hr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим численные значения и вычислим:

 

 

 

 

 

 

 

6,625 10 34

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,001 10 8

10 10 12 (м) 10 (пм).

3,2 10 19 4

3,14 10 7 18,9 103

8,3 10

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: λ = 10 пм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примечание: Скорость -частицы из формулы (2):

 

 

 

 

q 0 Hr

 

3,2 10 19 4 3,14 10 7 18,9 103 8,3 10

3

 

 

 

m

 

 

 

6,64 10 27

 

 

 

 

9500м/с ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. частица классическая.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Домашнее задание № 2

 

 

 

Найти длину волны де Бройля

для атома водорода, движущегося при

температуре T 293 К со: 1) средней квадратичной скоростью; 2) наиболее ве-

роятной скоростью, 3) средней арифметической скоростью .

 

 

Дано:

 

 

СИ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m = 1,007783 а.е.м.

1,673·10-27 кг

 

 

 

 

 

 

 

Длина волны де Бройля:

 

T = 293 K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

,

 

 

 

k = 1,38·10-23 Дж/К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

h = 6,625·10-34 Дж·с

 

 

 

 

где h - постоянная Планка,

 

1) υср. кв.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Импульс частицы:

 

2) υср.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p m .

 

 

3) υв.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда длина волны де Бройля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λБ = ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

.

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Средняя квадратичная, средняя арифметическая и н аиболее вероят-

ная скорость атома водорода:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ср.кв.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8kT

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ср

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

130

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.