posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

2He4 – ядро атома гелия или же -частица.

Зарядовое число найдём по закону сохранения заряда (формула 2 задача

№ 1):

6 = Z + 1 + 0, => Z = 5.

По таблице Менделеева этот элемент бор 5В.

Массовое число найдем, применив закон сохранения числа нуклонов

(формула 3 задача № 1):

10 = А + 0 +0, => А = 10.

И так этот элемент – бор 5В10. Тогда формула ядерной реакции:

6С10 → 5В10 + +1е0 + 0 е0

1 способ. Энергия ядерной реакции (см. формулу (2) задачи № 4):

Q mС mе m mВ c2 ,

Массой нейтрино электронного mγ можно пренебречь. Преобразуем фо р- мулу, заменив массы ядер массами атомов (см. формулу (3) задачи № 4):

Q mС 6mе mе mВ 5mе c2 . Сократим массы электронов:

Q mС mе mе mВ c2 ,

Массы электрона mе– и позитрона mе+ равны:

Q mС mВ 2mе c2 . Произведём вычисления:

Q 10,0168 10,01294 2 0,00055 931,4 0,00276 931,4 2,571.

Q ≈ 2,6 МэВ. Выделяется энергия, т.е. реакция экзотермическая.

2 способ. Закон сохранения энергии:

Едо = Епосле или ЕС = ЕВ + Ее+ + Еγ.

Полная энергия равна сумме энергии покоя и кинетической энергии

(релятивистский случай): Е = m0с2 + Т.

Тогда:

211

mСс2 + ТС = mВс2 + ТВ + mе+с2 + Те+ + mγс2 + Тγ.

Отсюда:

Т = (ТВ + Те+ + Тγ) – ТС = (mС – (mВ + mе+ + mγ))с2.

Энергетический эффект (см. формулу (1) задачи № 8) равен изменению полной энергии: Q = Е (формула полной энергии: Е = m0с2 + Т), а она в свою очередь равна изменению кинетической энергии: ΔЕ = ΔТ, т.к. энергия покоя не изменяется. Следовательно:

Q = Е = Т = (mС – (mВ + mе+ + mγ))с2 = (mС – (mВ + mе+))с2.

Массой нейтрино электронного пренебрегли. Преобразуем формулу, з а- менив массы ядер массами атомов:

Q = (mС – 6mе– – (mВ – 5mе– + mе+))с2 = (mС – mе– – (mВ + mе+))с2. Массы электрона и позитрона равны: mе– = mе+ = mе.

Q = (mС – mВ – 2mе))с2.

Получили туже самую конечную формулу Ответ: Q = 2,6 МэВ.

Домашнее задание № 1

Определить порядковый номер Z и массовое число A частицы обозначенной буквой X, в символической записи ядерной реакции:

6 C14 2 He4 8 O17 Z X A

6 C14 2 He4 8 O17 2 XA .

Используем законы сохранения:

1)Заряда: Z1 + Z2 = Z3 + Z4 => 6 + 2 = 8 + Z => Z = 0 – это элементарная частица, раз без заряда.

2)Числа нуклонов: A1 + A2 = A3 + A4 => 14 + 4 = 17 + A => A = 1. Следовательно, ZXA = 0X1 = 0n1 – нейтрон.

Ответ: 1) Z = 0; 2) A = 1; частица – нейтрон: 0n1.

Домашнее задание № 2

Ядро урана 92U235, захватив один нейтрон, разделилось на два осколка, причем освободилось два нейтрона. Одним из осколков оказалось ядро кс енона 54Хе140. Определить порядковый номер Z и массовое число A второго осколка.

212

1) Заряда: Z1 + Z2 = Z3 + Z4 => 92+ 0 = 54 + 2·0 + Z => Z = 92 – 54 = 38. В таблице Д.И. Менделеева под этим номером находится ядро атома стро нция

38Sr.

2) Числа нуклонов: A1 + A2 = A3 + A4 => 235 + 1 = 140 + 2·1 + A => A = 94. Следовательно, ZXA = 38X94 = 38Sr 94 – стронций.

Уравнение запишется:

94U235 + 0n1 → 54Xe140 + 02n1 + 38Sr94.

Ответ: 1) Z = 38; 2) A = 94; ядро атома стронция: 38Sr94.

Домашнее задание № 3

Определить энергию Q ядерных реакций:

1) 3 Li7 1 H1 4 Be7 0 n1 , 2) 3 Li6 1H2 2 He4 2 He4 , 3) 3 Li7 2 He4 5 Be10 0 n1 .

Освобождается или поглощается энергия Q в каждой из указанных реак-

1) 3 Li7 1 H1 4 Be7 0 n1 .

Энергетический эффект ядерной реакции определяется по формуле:

Q mLi mH mBe mn с2 .

Преобразуем формулу, заменив массы ядер массами атомов:

Q mLi 3me mH me mBe 4me mn c2 .

Учли, что mА = mЯ + Zmе. Сократим массы электронов:

213

Q mLi mH mBe mn c2 ,

получили ту же самую формулу, но в не й массы атомов, которые есть в табл и- цах.

До реакции у лития 3 электрона, у водорода 1. Всего 4 электрона. После реакции у бериллия 4 электронов. Т.е. число электронов одинаково до и после реакции, значит число электронов сократится.

Заменим массы ядер массами атомов и, подставив, массы атомов в расчетную формулу получим:

Q 7,01601 1,00783 7,01693 1,00867 931,4.

Q 8,02384 8,02560 931,4 0,00176 931,4 1,64 МэВ поглощается

энергия, т.е. реакция эндотермическая.

2) 3 Li6 1H2 2 He4 2 He4 .

Энергетический эффект ядерной р еакции:

Q mLi mH mНe mНe c2 .

До реакции у лития 3 электрона, у водорода 1 . Всего 4 электрона. После реакции у двух атомов гелия стало по 2 электрона. Всего 4 электрона. Т.е. число электронов одинаково до и после реакции, значит число электронов сокр а- тится.

Заменим массы ядер массами атомов и, подставив, массы атомов в расчетную формулу получим:

Q 6,01513 2,01410 4,00260 4,00260 931,4 .

Q 8,02923 8,00520 931,4 0,02403 931,4 22,4 МэВ выделяется энергии, т.е. реакция экзотермическая.

3) 3 Li7 2 He4 5 Be10 0 n1 .

Энергетический эффект ядерной реакции:

Q mLi mHе mBe mn c2 .

До реакции у лития 3 электрона, у гелия 2. Всего 5 электронов. После р е- акции у бериллия 5 электронов. Т.е. число электронов одинаково до и после р е- акции, значит число электронов сократится.

Заменим массы ядер массами атомов и, п одставив, массы атомов в расчетную формулу получим:

Q 7,01601 4,00260 10,01354 1,00867 931,4.

Q 11,01861 11,02221 931,4 0,00360 931,4 3,35 МэВ поглощается энергия, т.е. реакция эндотермическая.

214

Ответ: 1) Q = 1,64 МэВ, поглощается; 2) Q = 22,4 МэВ, выделяется; 3) Q = 3,35 МэВ; поглощается.

Домашнее задание № 4

Найти энергию Q ядерных реакций: 1) H2 n, H3

2) F19 р, O16

Q 3,02277 3,01605 931,4 0,00672 931,4 6,259 6,26МэВ выделяется энергия, т.е. реакция экзотермическая.

2) Энергетический эффект ядерной реакции для ядер:

Q mF mр mНе4 mО c2 ,

Преобразуем формулу, заменив массы ядер массами атомов (см. формулу (3) задачи № 4):

Q mF 9mе mH1 mе mНе4 2mе mО 8mе c2 . Сократим массы электронов:

Q mF mН1 mНе4 mО c2 ,

где mН1 – масса атома водорода.Произведём вычисления:

Q 18,9984 1,00783 4,0026 15,99491 931,4 .

Q 20,00623 19,99751 931,4 0,00872 931,4 8,12МэВ выделяется энергия, т.е. реакция экзотермическая.

Ответ: 1) освобождается 6,26 МэВ; 2) освобождается 8,12 МэВ.

Домашнее задание № 5

Определить энергию Q ядерной реакции Ве9(n,γ)Ве10, если известно, что энергия связи Есв ядра Ве9 равна 58,16 МэВ, а ядра Ве10 – 64,98 МэВ.

215

формулу, заменив массы ядер бериллия массами атомов (см. формулу (3) задачи № 4):

mn – масса нейтрона, mВ9 и mВ10 – массы нейтральных атомов; N = A – Z – число нейтронов, А – массовое число (число нуклонов: протонов и нейтро нов), с – скорость света в вакууме. Преобразуем:

Вычтем из нижнего уравнения верхнее:

Правые части формул (1) и (2) равны, следовательно равны и левые:

Q = Есв2 – Есв1.

Произведём вычисления:

Q = 64,98 – 58,16 = 6,82 МэВ, выделяется энергия, т.е. реакция экзотермическая.

Ответ: Q = 6,82 МэВ, освобождается.

216

Основные формулы, используемые в задачнике

Квантовая природа излучения

Закон Стефана – Больцмана

Re = T 4,

где Re – энергетическая светимость (излучательность) черного тела ; - постоянная Стефана – Больцмана; T – термодинамическая температура.

Связь энергетической светимости Re и спектральной плотности энергетич е- ской светимости r , T (r , T) черного тела

Re r ,T d r ,T d .

00

Энергетическая светимость серого тела

RTc Т T 4 ,

где Т – поглощательная способность серого тела.

Закон смещения Вина

max=b/T,

где max – длина волны, соответствующая максимальному значению спектрал ь- ной плотности энергетической светимости черного тела; b – постоянная Вина.

Зависимость максимальной спектральной плотности энергетической свет и- мости черного тела от температуры

(r , T)max=C T 5,

где С=1,30 10-5 Вт / (м3 К5).Энергия кванта

= h = hc / .

Связь радиационной Tр и истинной T температур

T 4 T ,

где Т – поглощательная способность серого тела.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта

= h =A + Tmax ,

где = h - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Tmax –максимальная кинетическая энергия фотоэле к- трона.

«Красная граница» фотоэффекта для данного металла

0 = A / h; 0 = hc / A,

где 0 - максимальная длина волны излучения ( 0 – соответственно минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен.

Масса и импульс фотона

m = / c2; p = h / c,

где h - энергия фотона.

Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность

217

p Ece (1 ) w(1 ) ,

где Ее=Nh - облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени); - коэффициент отражения; w – объемная плотность энергии излучения.

Изменение длины волны рентгеновского излучения при комптоновском ра с- сеянии

где и - длины волн падающего и рассеянного изл учений; m0 – масса электрона; - угол рассеяния; с=h/(m0c) – комптоновская длина волны.

Теория атома по Бору

Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода

R(m12 n12 ) ,

где - частота спектральных линий в спектре атома вод орода; R – постоянная Ридберга; m определяет серию (m = 1, 2, 3, …); n определяет отдельные линии соответствующей серии (n = m+1, m+2, …): m = 1 (серия Лаймана), m = 2 (серия Бальмера), m = 3 (серия Пашена), m = 4 (серия Брэкета), m = 5 (серия Пфунда), m = 6 (серия Хэмфри).

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

mevrn = n ( n = 1, 2, 3, …),

где me – масса электрона; v – скорость электрона по n-й орбите радиусом rn.Второй постулат Бора (правило частот)

hv=En-Em ,

где Еn и Em – соответственно энергии стационарных состояний атома до и п осле излучения (поглощения).

Энергия электрона на n-ой стационарной орбите

где Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева; 0 – электрическая постоянная.

Элементы квантовой механики

Связь дебройлевской длины волны частицы с импульсом p

= h / p.

Соотношения неопределенностй: для координаты и импульса частицы

x p h , y py h , z pz h ,

где x, y, z – неопределённости координат; px, py, pz – неопределённости соответствующих проекций импульса частицы на оси координат;

для энергии и времени

218

E t h ,

где E – неопределённость энергии данного квантового состояния; t – время пребывания системы в данном состоянии.

Элементы физики атомов и молекул

Потенциальная энергия U(r) взаимодействия электрона с ядром в водород о- подобном атоме

U (r) Ze2 , 4 0 r

где r – расстояние между электроном и ядром; Z – порядковый номер элемента;0 – электрическая постоянная.

Собственное значение энергии En электрона в водородоподобном атоме

Энергия ионизации атома водорода

Ei E1 8me2 4 2 . h 0

Коротковолновая граница рентгеновского спектра

min ch /(eU ),

где e – заряд электрона; U – разность потенциалов, приложенная к рентгено вской трубке.

Закон Мозли, определяющий частоты спектральных линий характеристич е- ского рентгеновского излучения

R(Z )2 (m12 n12 ),

где R – постоянная Ридберга; Z – порядковый номер элемента в периодической системе; - постоянная экранирования; m определяет рентгеновскую серию ( m = 1, 2, 3, …); n определяет отдельные линии соответствующей серии ( n = m+1, m+2, …).

где R0 1,4 10 15 м; A = массовое число (число нуклонов в ядре).Энергия связи нуклонов в ядре

Eсв [Zm p (A Z )mn mя ]c 2 [ZmH (A Z )mn m]c 2 ,

219

где mp , mn , mя - соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z – зарядовое число ядра (число протонов в ядре); A – массовое число; mH mp me масса атома водорода ( 11 H ); m – масса атома.

Дефект массы ядра

m [Zmp (A Z)mn ] mя [ZmH (A Z)mn ] m.

Удельная энергия связи (энергия связи, отнесённая к одному нуклону)

Eсв Eсв / A.

Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t +dt

dN Ndt,

где N – число нераспавшихся ядер в момент времени t; - постоянная радиоактивного распада.

Закон радиоактивного распада

N N0 exp( t),

где N - число нераспавшихся ядер в момент времени t; N0 – начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t=0); - постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t

Связь среднего времени жизни радиоактивного ядра и постоянной радиоактивного распада

1/ .

Активность нуклида

Z и Z′ и массовыми числами А и А′; а и b- соответственно бомбардирующая и и с- пускаемая (или испускаемые) в ядерной реакции частицы.

220