Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf

Скачиваний:

2047

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

p p mo .

Т.к. tg pp (см. рис. 4) и импульс фотона связан с его энергией:

p c , p c ,

где и - энергия падающего фотона и рассеянного. То tg . Откуда энергия рассеянного фотона:

tg ,

Воспользуемся формулой, вывод которой в задаче № 4:

1		1		1 cos ,
				Е 0

где Е0 = m0c2 – энергия покоя электрона. Подставим (1) в (2):

1 cos

1 tg

1 cos .

Е 0

Откуда энергия падающего фотона:

1 tg Е 0

1 cos tg

Подставим числовые значения вне системы СИ:

		1
1 tg300 0,511	1		0,511
	1		0,511
		3				0,374 (МэВ).
1 cos900 tg300	1	0		1		0,374 (МэВ).

					3

Ответ: ε = 0,374МэВ.

Примечание: 1 МэВ = 1,6·10-13 Дж.

(1)

(2)

	Рекомендуемое задание № 9
Фотон ( 1	пм) рассеялся на свободном электроне под углом 90 .
Какую долю своей энергии фотон передал электрону?
Дано:	Си:	Решение: Рисунок в задаче № 8.
Дано:	Си:	Решение: Рисунок в задаче № 8.
1пм	10 12 м	Энергия Т электрона отдачи: Т = (из
90о		закона сохранения энергии), где энергия па-
mе = 9,11·10-31 кг		дающего фотона, - энергия рассеянного фотона.
h =6,63·10-34 Дж·с		Доля энергии фотона, переданная элект рону:
с = 3·108 м/с		(%) Т 100%.
(%) -?		(%) Т 100%.
(%) -?

Энергия фотона:

h hc .

Подставим численные значения:

	6,63 10 34 3 108								14					-13	(Дж) = 1,24 МэВ.
		10 12			19,89 10 Дж ≈ 2∙10										(Дж) = 1,24 МэВ.
		10 12
Тогда кинетическая энергия электрона:
					hc		hc
			Т=						hc			hc					.		(1)
			Т=						hc			hc					.		(1)
Формула Комптона:
										2h		2
								m0 c sin					2 .						(2)
								m0 c sin					2 .						(2)
Подставив (2) в (1) и учитывая, что , найдем Т:
		2h		2					1							2h2 sin2 ( 2)
Т = hc			sin																	.
Т = hc		m0 c	sin	2		2h sin2					2							2h sin2	2	.
													m
									m0 c						0			c
									m0 c									c

Сократили с – скорость света, в знаменателе занесли в скобку m0. Подставим числа:

Т				2	(6,63 10 34 )2 1 2					44 10 56
											.
	10 12				31 10 12		2 6,63 10 34		1 2	0,911 10 42 2,21 10 42	.
	10 12			9,11 10	31 10 12		3 108
							3 108
Т				44 10 56			14,15 10 14	Дж .
Т		0,911 10 42 2,21 10 42					14,15 10 14	Дж .
		0,911 10 42 2,21 10 42
Доля энергии фотона, переданная электрону:
			T	·100% =	14,15 10 14
				·100% =	20 10	14	100% ≈ 70,8%.
					20 10	14

Ответ: 70,8%.

Примечание: Кинетическую энергию электрона отдачи можно выразить через эне р- гию покоя электрона: формула, вывод которой в задаче № 4 в приложении 2:


T	2 1 cos		. Тогда:	T	1 cos	. Вычислим вне системно:
T	1 cos Е0		. Тогда:		1 cos Е0	. Вычислим вне системно:
1,24 1
		100% 70,8%.
1,24 1 0,511		100% 70,8%.

Рекомендуемое задание № 10

Длина волны фотона равна комптоновской длине С электрона. Определить энергию и импульс р фотона.

	Дано:	СИ:
λ = λС = 2,426 пм		2,426∙10-12 м
h =6,626·10-34 Дж·с
с = 3·108 м/с
1)	р = ?
2)	ε = ?

Решение 1) Импульс фотона:

р h .

2) Энергия фотона:

h h c .

Подставим численные значения:

6,626 10

2,73 10 22 кг м/с .

2,426 10

6,626 10 34

3 108

8,19 10 14 Дж 0,512МэВ.

2,426 10

Ответ: р = 2,73∙10-22 кг∙м/с, ε = 0,512 МэВ.

Примечание 1: Для другого способа. Комптоновская длина волны:

. То-

гда импульс: р

m0с 9,11 10 31 3 108 2,73 10 22

кг∙м/с. Энергия:

h m0с

m0c2

9,109534 10 31 2,99792458 108

2 ,

m0с

81,87241

10 15

8,187241 10

14 Дж

= 0,511 МэВ.

1,6021892 10 13

Дж МэВ

Примечание 2: С другой стороны ε = m0c2 = Е0 – энергия покоя электрона табличная равная 8,16∙10-14 Дж = 0,511 МэВ.

Рекомендуемое задание № 11

Энергия падающего фотона равна энергии покоя электрона. Опред е- лить долю 1 энергии падающего фотона, которую сохранит рассеянный ф о- тон, и долю 2 этой энергии, полученную электроном отдачи, если угол ра с- сеяния равен: 1) 60 ; 2) 90 ; 3) 180 .

Дано:

Решение:

В задаче № 4 рисунок и вывод формулы энергии рассеян-

1) 60

ного фотона:

2) 90

3) 180

1 сos

Е0

1 , 2 ?

где ε – энергию падающего фотона; Е0 – энергию покоя электрона;

θ – угол рассеяния (отскока) фотона.

Заменим энергию покоя электрона Е0 на энергию падающего фотона ε и

преобразуем:

1 сos

1 сos 1

2 сos .

Подставим числа:

1. Если 60 , то

cos 60 o 1,5

3 0,67

Значит, доля энергии падающего фотона, которую сохранит рассея нный фотон: 1 0,67 , а доля энергии, полученной электроном отдачи:

2 1 1 0,33. 2. Если 90 , то


			2	0,5 .
	2 cos 90 o	2 0

Значит, 1 0,5, а 2 1 1				0,5.
3. Если 180 , то


	2 cos 180 o 2 1 3			0,33	.

Значит, 1 0,33, а 2		1 1	0,67 .
Ответ: 1) 1 0,67 , 2 0,33; 2)				1 2	0,5; 3) 1 0,33, 2	0,67 .

Рекомендуемое задание № 12

Фотон с длиной волны 100 пм рассеялся под углом 180 на свободном электроне (рис. 5). Определить в электрон-вольтах кинетическую энергию электрона отдачи.

Дано:

Си:

Решение:

=100 пм

100∙10-12 м

= 180º

2,426∙10-12 м

λС = 2,426 пм

mе = 9,11·10-31 кг

Рис. 5

h =6,63·10-34 Дж·с

В задаче № 9 вывод формулы кинетиче-

с = 3·108 м/с

ской энергии электрона отдачи (можно из №

4 через сos):

Т-?

( / 2)

2h2 sin2

или

m0 (

sin2 ( / 2))

m0 c

2h2 sin2 ( / 2)

m0 ( 2 С sin2 ( / 2))

где λ – длина волны падающего фотона, m0 – масса покоя электрона отдачи, h – постоянная планка, с – скорость света в вакууме, θ – угол рассеяния (отскока)

фотона, С			h	– комптоновская длина волны для электрона.
			m0c

Подставим численные значения:
Т					2 6,63 10 34 2		sin2 (1800 / 2)
								.
		9,11 10 31			10 10 (100 10 12		2 2,426 10 12 sin2 900 )
Т		9,65 10			27	0,092 10 15	9,2 10 17 Дж 575 (эВ).
	104,852			10 12

Ответ: Т = 575 эВ.

Рекомендуемое задание № 13

Фотон рентгеновского излучения с энергией 0,15 МэВ испытал рассе яние на покоившемся свободном электрон е, в результате чего его длина волны ув е-

личилась на 0,015 A. Найти угол , под которым вылетел комптоновский

электрон отдачи.
Дано:	СИ:		Решение:
Дано:	СИ:		Решение:
ε = 0,15 МэВ	0,24∙10-13	Дж	Направление движения электрона о тдачи
λ = 0,015Ǻ	1,5∙10-12 м		найдем, применив закон сохранения импуль-
λС = 2,426 пм	2,426∙10-12 м		са, согласно которому импульс падающего фо-
Е0 = 0,511 МэВ	8,16∙10-14	Дж	тона р равен векторной сумме импульсов ра с-
φ = ?			сеянного фотона р и электрона отдачи
			сеянного фотона р и электрона отдачи

ре m :

рр ре .

Векторная диаграмма	импульсов			B
(треугольник импульсов) изображена на ри-			р
сунке. Все векторы проведены из точки O,		O		E		D
где находится электрон в момент соударения		me			р			A
с фотоном. Угол θ показывает направление		me			р
с фотоном. Угол θ показывает направление
движения рассеянного фотона. Из треуголь-				ре m			С
ника OCD находим угол φ, который опреде-				Рис. 6
ляет направление движения электрона отда-				Рис. 6
чи:
tg CD .
OD
Рассмотрим ΔАСD: sin	CD				р	∙sinθ. Отрезок
Рассмотрим ΔАСD: sin	CA , тогда CD = CA∙sinθ =				р	∙sinθ. Отрезок

ОD = ОА – AD. Рассмотрим ΔАСD: cos CAAD , тогда АD = CA∙cosθ = р∙cosθ. С учётом замен и разделив числитель и знамен атель на р :

CA sin

р sin

sin .

ОA

C А cos

р р cos

cos

Так как импульс фотона связан с энергией по формуле: ε = рс т.е. импульс

падающего фотона р

и рассеянного фотона

, тогда:

sin

cos

(1)

Применим формулу (1) задачи № 4 – энергия рассеянного света:

1 cos 1,

Е0 1 cos 1 => Е0

где Е0 – энергия покоя электрона. Тогда:

sin

(2)

Е 0 1 cos 1

cos

1 cos

Е 0 1

Изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне выражается формулой Комптона:

С 1 cos ,

где С	h	– комптоновская длина волны (электрона), m0 – масса покоя
	m0c

электрона отдачи, h – постоянная планка, с – скорость света в вакууме, θ – угол рассеяния (отскока) фотона.

Преобразуем:

		1 cos		.				(3)
				С
							2
			2				2
cos 1		=> sin	1 cos		1
cos 1	С	=> sin	1 cos		1	1	С	.
	С						С

															2										2							(4)
sin		1 1 2																2													.	(4)
sin		1 1 2						С						С				2	С									2		С	.
								С						С					С				С						С	С
Подставим в формулу (2) формулы (3) и (4) и занесём под корень																																:
																																С


			2
			2													2
						С						С				2		С					1
tg						С						С						С					1			.
tg							Е 0			1												Е 0		1		.

																	С

			С
																					2	С			1
												С			1							С
												С			1												.
tg			2
tg			2
						С									Е 0 1					Е 0				1
						С									Е 0 1					Е 0				1
Окончательная формула:

				2			С				1
				2							1
arctg													.
arctg							Е 0		1				.
Подставим в формулу значения во внесистемных единицах:

			2		2 ,426						пм			1
arctg			2											1			arctg				1,49488						arctg		1,15565 49			,1 .
						1,5 пм															1,49488

	0 ,15 МэВ						0 ,511 МэВ								1						1,29354
	0 ,15 МэВ						0 ,511 МэВ								1						1,29354

Ответ: φ = 49,1º.

Примечание: 1Ǻ (ангстрем) = 10-8 см => 0,015Ǻ = 1,5 пм.

Домашнее задание № 1

При комптоновском рассеянии энергия падающего фотона распредел я- ется поровну между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Угол ра ссеяния

2 (рис. 7). Найти энергию и импульс р рассеянного фотона.

Дано:	СИ:
λС = 2,426 пм	2,426∙10-12 м
h =6,63·10-34 Дж·с
с = 3·108 м/с

2
Т

1) = ?
2) р΄ = ?

Решение:

1) Закон сохранение энергии:

ε = + Т, где ε – энергия падающего фотона; –

энергия рассеянного (отразившегося) ф о- тона; Т – кинетическая энергия, полученная электроном.

’

		х
	e

Рис. 7

Учитывая данные: ε = ε΄ + ε΄ = 2ε΄.

По определению энергия фотона, соответственно падающего и рассеян-

ного:

	c
h
h
			.	(1)
		c	.	(1)
		c
h

Тогда:

h	c	2h	c	2	.	(2)


Воспользуемся формулой для эффекта Кóмптона:

			C 1 cos ,
где		h	– кóмптоновская длина волны (электрона), m – масса покоя
	С
		m0c	0

электрона отдачи, h – постоянная планка, с – скорость света в вакууме, θ – угол рассеяния (отскока) фотона.

Так как 2 и сosθ = 0, то:

C .

Подставим длину волны λ падающего фотона из формулы (2) и выразим длину волны λ/ рассеянного фотона:

C т.е. = 2λС.

Подставим в формулу (1):

6,63 10 34 3 108

4,1 10

Дж

0,256(МэВ) 256(кэВ) .

2 С

2 2,426 10 12

2) Связь импульса фотона с энергией:

ε = рс.

Следовательно, для рассеянного фотона импульс:

6,63 10 34

1,37

кг м

2 С

2 2,426 10 12

Ответ:

= 256 кэВ;

= 1,37·10 –22 кг·м /c.

Примечание: 1МэВ = 1,6∙10-19 Дж.

Домашнее задание № 2

Энергия рентгеновских лучей 0,6 МэВ. Найти энергию Т электрона отдачи, если длина волны рентгеновских лучей после комптоновского рассе я-

ния изменилась на 20%.
Дано:	Решение:
Дано:	Решение:
= 0,6 МэВ	Закон сохранение энергии:
= 1,2	= + Т,	– энергия рассеянного
	где – энергия падающего фотона;
Т = ?	где – энергия падающего фотона;
	(отразившегося) фотона; Т – энергия, полученная электроном.
	(отразившегося) фотона; Т – энергия, полученная электроном.
Кинетическая энергия Т электрона отдачи равна:
Т = – .

Энергия фотона, соответственно падающего и рассеянного:

	c
h
h
			.
		c	.
		c
h

Тогда:

	1	1		1	1		0,2	1	hc
Т hc			hc			hc					.
							1,2	6		6
					1,2

Учтено, что дано и формула энергии. Подставим числа во внесистемных единицах:

Т 06,6 0,1(МэВ).

Ответ: Т = 0,1 МэВ.

Домашнее задание № 3

Рентгеновские лучи с длиной волны 70,8 пм испытывают комптоновское рассеяние на парафине. Найти длину волны рентгеновских лучей, рас-

сеянных в направлениях: а)			; б) .
				2
Дано:	Решение:
Дано:	Решение:
= 70,8 пм	Воспользуемся формулой для эффекта Кóмптона:
λС = 2,426 пм	C 1 cos ,
а) ;	где С	h		– кóмптоновская длина волны (электрона), m0 –
а) ;	где С	m0c		– кóмптоновская длина волны (электрона), m0 –
2		m0c
б)	масса покоя электрона отдачи, h – постоянная планка, с – ско-

-?	рость света в вакууме, θ – угол рассеяния (отскока) фотона.

Отсюда длина волны рассеянных лучей:

C 1 cos .

Подставим численные значения во внесистемных единиц ах: а) 70 ,8 2,426 1 0 73 ,226 пм .

б) 70 ,8 2,426 1 1 75 ,656 пм .

Ответ: а) = 73,226 пм; б) = 75,656 пм.

Домашнее задание № 4

Рентгеновские лучи с длиной волны λ = 20 пм испытывают комптоновское рассеяние под углом θ = 90 (рис. 8). Найти изменение длины волны рентгеновских лучей при рассеянии, а также энергию электрона отдачи Т и его импульс ре.

	Дано:	Решение

= 20 пм		1) Изменение длины волны фотона найдём по формуле
λС = 2,426 пм		для эффекта Кóмптона:
θ = 90		C 1 cos C			2,426 пм ,
			h
1)	=?	где С		– кóмптоновская длина волны (электрона), m0 –
2)	Т = ?		m0c

3)	ре = ?	масса покоя электрона отдачи,

h – постоянная планка, с – скорость света в ва-
кууме, θ – угол рассеяния (отскока) фотона.
2) Кинетическая энергия электрона от-
дачи равна, как это следует из закона сохра-		х
	e

80	Рис. 8

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке posobia_4semФизика

#
02.03.2016831.28 Кб314Квантовая оптика _пособие_.pdf
#
02.03.20161.54 Mб2047Квантовая оптика _решебник_.pdf