Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf

Скачиваний:

2083

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Дано:	СИ:	Решение:
Дано:	СИ:	Решение:
Т = 10 эВ	16·10-19 Дж	Соотношение неопределенностей	Гей-
а = 10 нм	10-8 м	зенберга для координаты и импульса частицы :
m0 = 9,11·10-31 кг		х рх ,	(1)
ћ = 1,05·10-34 Дж∙с		где х а – неопределенность координаты
р		или интервал координаты, в которой локализ о-
р ?		вана частица, рх – неопределенность импульса

или интервал импульса, в котором заключена проекция импульса частицы по оси x, 2h – постоянная Планка с чертой.

Следовательно, формула (1):

						a p .								(2)
В задаче № 3 занятия 7 «Волны де Бройля» выведена связь импульса и
кинетической энергии классической частицы:
						р			.					(3)
						р		2mT	.					(3)
Разделим формулу (2): на (3):
a p						.
a p						.
p				2mT
Выразим относительную неопределенность импульса р/р
p						.
p		a				.
p		a		2mT
Произведём вычисления:
p						1,05 10 34				1,05 10 26	1,05 10	26		0,062 10 1
p											17,074 10		25	0,062 10 1
p	10		8		2 9,11 10 31 16 10		19			291,52 10 50	17,074 10		25
6,2 10 3 (м) .
Ответ:			p		6,2 10 3 м.
Ответ:				p	6,2 10 3 м.
				p

Рекомендуемое задание № 8

Используя соотношение неопределённости х рх , оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные разм е- ры атома ℓ ≈ 0,1 нм.

141

Дано:

СИ:

Решение:

х р ≥ ћ

10-10 м

Соотношение

неопределенностей

Гейзен-

n = 1

берга для координаты и импульса частицы :

ℓ ≈ 0,1 нм

х рх ,

(1)

m0 = 9,11·10-31 кг

где х

– неопределенность координаты или

ћ = 1,05·10-34 Дж∙с

Е1 = ?

интервал

ℓ/2

ℓ

координаты, в

котором

локализована

частица (см. рис. 1, для величины ℓ -

ℓ/2-Δх

ℓ/2+Δх

размер атома - лежащей на оси х),

р –

Рис. 1

неопределенность импульса или интер-

вал импульса, в котором заключена проекция импульса частицы по оси ОХ, ћ – постоянная Планка с чертой.

Физическая разумная неопределённость импульса не должна превышать самого значения импульса:

р≤ р.

Взадаче № 3 занятия 7 «Волны де Бройля» выведена связь импульса и кинетической энергии классической частицы:

р2mT .

Взадаче № 3 (Приложение 6) занятия 5 «Атом водорода по теории Б о- ра» выведена связь полной энергии электрона на любой орбите (у нас первая орбита, n = 1) водородоподобного атома Е = Е1 с кинетической энергией:

Е Т .

Знак нас не интересует. С учётом вышесказанного формула (1): 2 р 2 2mT mЕ2 1 .

Откуда можно выразить энергию электрона:

				mЕ	2		2 2
	mЕ
		1		1		Е			.
2					2		m
				2		1		2
Подставим численные значения:
Е			2 1,052	10 68		2,205 10 68			0,242 10 17	24,2 10 19 Дж 15 эВ .
		9,11 10 31 10 20				9,11 10 51
1

Ответ: Е1 = 15 эВ.

Рекомендуемое задание № 9

Длину волны можно определить с точностью 10 -6 относительных единиц. Чему равна неопределенность в положении рентгенов ского кванта длиной вол-

142

ны 10 10 м при одновременном изменении его длины волны? Постоянная Пла н-

ка h 6,63 10 34		Дж·с.
	Дано:		Решение:

=10-10м			Соотношение неопределенностей	Гейзенберга для
h=6,63·10-34Дж∙с			координаты и импульса частицы:
	10 6		х рх ,	(1)
			где х – неопределенность координаты или интервал ко-

			ординаты, в которой локализована частица, рх – неопреде-
x - ?

ленность импульса или интервал импульса, в котором заключена проекция импульса частицы по оси х, 2h – постоянная Планка с чертой.

Из данной формулы следует, что неопределённость координаты:

х		h	.	(2)
	рx
		2 рx

Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом р

движущейся частицы в классическом приближении:

p h .

Продифференцируем (учтём, что h = const):

dp	d h	h d 1		h	.
d	d	d		2

Знак дифференциала d (очень маленький интервал) заменим на знак интервала (достаточных размеров интервал) и опустим «–»:

p h .2

Выразим неопределённость импульса:

p h2

Подставим в формулу (2):

х	h 2		.
	2 h	2

Подставим численные значения:

x	10 10	106	0,16 10 4 м .
	2 3,14

Ответ: х 0,16 10 4 м.

143

Примечание: При форме записи: х рх h получим: х , что даёт другой ответ: x 10 10 106 10 4 м .

Рекомендуемое задание № 10

Время жизни нейтрального пиона равно 8·10 -17 с. С какой точностью m

может быть определена его масса?

Дано:

Решение:

t = 8·10-17 с

Согласно соотношению неопределенностей Гейзен-

ћ = 1,05·10-34 Дж∙с

берга для энергии и времени:

Е t ,

(1)

m = ?

где Е – неопределенность энергии данного квантового со-

стояния;

t – время пребывания системы в этом состоянии;

– постоян-

ная Планка с чертой.

Неопределённость энергии найдём по формуле:

Е =

mc2.

Подставим в формулу (1):

mc2 t .

Откуда неопределённость массы:

c2 t

Подставим численные значения:

1,05 10 34

0,1458 10 34 1,5 10 35 (кг).

1016 8 10 17

7,2

Ответ:

m = 1,5·10-35 кг.

Домашнее задание № 1

Оцените наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость шарика массой 10 6 кг и электрона, если положение центра шарика и полож е-

ние электрона установлены с точностью 10 6			м. Постоянная	Планка
h 6,63 10 34 Дж·с.
Дано:	Решение:
Дано:	Решение:
x 110 м	Согласно соотношению неопределенностей для ко-
6
1) т 1 10 6 кг	ординаты и импульса частицы:
2) mе = 9,1·10-31 кг	x p	h	,	(1)
h 6,63 10 34 Дж с	x p	2	,	(1)
	где х - неопределенность координаты,
?	где х - неопределенность координаты,
?

144

p - неопределенность импульса,

ћ - постоянная Планка c чертой, h = 2πћ – постоянная Планка.

Неопределённость импульса:

p m ,

где m - масса шарика. Выражение (1) с учетом (2):

x m	h		.
x m			.
	2
Откуда неопределённость скорости:
							h	.
							2 m x	.
Подставим численные значения в формулу (3):
для шарика:	ш				6,63 10 34				1,055 10 22		(м/с),
для шарика:	ш			2 3,14 1		10 6 10 6			1,055 10 22		(м/с),
				2 3,14 1		10 6 10 6
для электрона:		е				6,63 10 34				0,116 10		3	116 (м/с).
для электрона:		е			2 3,14	1 10 6 9,1 10 31				0,116 10			116 (м/с).
					2 3,14	1 10 6 9,1 10 31
Ответ: 1) ш		1,055 10 22					м/с, 2) е 116 м/с.
					Домашнее задание № 2

(2)

(3)

Предполагая, что неопределённость координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неопределё н- ность р/р импульса этой частицы.

Дано:	Решение:
Дано:	Решение:
х = λБ	Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга для
	координаты и импульса частицы:
р ?	координаты и импульса частицы:	h
р	х р	h	,	(1)
	х р	2	,	(1)
		2

где х – неопределенность координаты или интервал координаты, в которой локализована частица, р – неопределенность импульса или интервал импуль-

са, в котором заключена проекция импульса частицы по оси ОХ, 2h – по-

стоянная Планка с чертой.

Длина волны де Бройля (см. занятие 7):

	h	р h .	(2)
	p

Разделим формулу (1) на (2) и выразим отношение			р/р:

145

х р	h	р		.
р	2 h	р	2 х

С учётом исходных данных заменим х = λБ:

р		р	1	.
р
	2	р	2
Произведём вычисления:
р	1	0,1592 16% .
р	2 3,14

Ответ: рр 16% .

Домашнее задание № 3

Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределённостей, линейные размеры ядра.

Дано:		СИ:	Решение:
Дано:		СИ:	Решение:
Е = 10 МэВ		1,6·10-12 Дж	Согласно			соотношению	неопределен-
ћ = 1,05·10-34 Дж·с			ностей Гейзенберга для координаты и им-
m = 1,675·10-27 кг			пульса частицы:
					х р ,		(1)
d = ?					х р ,		(1)
где х R d	– неопределенность координаты или интервал координаты, в
2
которой локализована частица (см. рис.				2	0	d/2	d	х
,для величины d лежащей на оси х), р				–	0	d/2	d


неопределенность импульса или интервал
неопределенность импульса или интервал					d/2-	х	d/2+Δх
импульса, в котором заключена проекция						Рис. 2
импульса частицы по оси х, ћ – постоян-						Рис. 2
импульса частицы по оси х, ћ – постоян-

ная Планка с чертой.

Физическая разумная неопределённость импульса не должна превышать самого значения импульса:

р≤ р.

Взадаче № 3 занятия 7 «Волны де Бройля» выведена связь импульса и кинетической энергии классической частицы:

р2mT 2mЕ .

Примечание: Энергия покоя нуклона (протона – 938 МэВ, нейтрона – 939 МэВ) значительно превосходит энергию Е = 10 МэВ. Имеем право, кинетическую энергию заменить полной энергией.

С учётом всего вышеизложенного формула (1):

146

d	р d		d	mT
		2mT
2	2			2

Отсюда линейные размеры ядра:

d mT2 .

Подставим численные значения:


d 1,05 10 34		2						1,05 10 34				2	,
d 1,05 10 34	1,675 10 27				1,6		10 12	1,05 10 34		2,68		10 39	,
	1,675 10 27				1,6		10 12			2,68		10 39
d 1,05 10 34			2			1,05 10 34			2,732 1019		2,87 10 15 м 2,87 .
d 1,05 10 34				0,268 10 38		1,05 10 34			2,732 1019		2,87 10 15 м 2,87 .
				0,268 10 38

d 2,87 10 15 м 2,87 фм. Ответ:d = 2,87 фм.

Примечание 1: 1МэВ = 1,6·10-13 Дж. Примечание 2: Приставка ф – фемто – 10-15.

Домашнее задание № 4

Используя соотношение неопределё нностей Е t ≥ ћ, оцените ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: 1) в основном состо я- нии; 2) в возбуждённом состоянии (время τ жизни атома в возбуждённом состоянии равно 10-8 с).

Дано:			Решение:
Дано:			Решение:
Е t ≥ ћ			Согласно соотношению неопределенностей Гейзен-
ћ = 1,05·10-34 Дж·с	берга для энергии и времени:
1) n = 1				Е t ,	(1)
2) n > 1	где	Е – неопределенность энергии данного квантового со-
τ = 10-8 с	стояния; t – время пребывания системы в этом состоянии ;
		h
Г = ?		h		– постоянная Планка с чертой.
		2

Для нашей задачи запишется так:

Г t

или ширина Г энергетического уровня в атоме вод орода (рис. 3):

Г		.

	t
1) В основном состоянии электрон обладает м и-			Г
нимальной энергией (см. занятие №5 «Атом водорода
			1
по теории Бора») и он не будет сам переходить на в ы-			0,5
шестоящие орбиты (слои) пока не получит необход и-			Е
147			Рис. 3

мой энергии. Следовательно, можно предположить, что в отсутствии этой эне р- гии из вне атома в этом состоянии электрон пробудет сколь угодно долго или, проще говоря, бесконечно, т.е. t = ∞. Следовательно:

Г 0 .

2) В возбуждённом состоянии электрон находится в течение времени t =

τ, т.е.:

Г .

Произведём вычисления:

Г 1,05 10 34 1,05 10 26 Дж 0,656 10 7 эВ 65,6 10 9 эВ 65,6нэВ. 10 8

Ответ: 1) Г = 0 Дж; 2) Г = 65,6 нэВ.

Домашнее задание № 5

Среднее время жизни возбуждённого состояния атома равно τ = 12 нс.

Определите минимальную неопределённость длины волны				λ = 0,12 мкм излу-
чения при переходе атома в основное состояние.
Дано:	СИ:		Решение:
Дано:	СИ:		Решение:
τ = 12 нс	12·10-9	с	Согласно соотношению	неопределенно-
λ = 0,12 мкм	12·10-8	м	стей Гейзенберга для энергии и времени:
ћ = 1,05·10-34 Дж·с			Е t ,	(1)
			где Е – неопределенность энергии данного кван-
λ = ?			где Е – неопределенность энергии данного кван-
			тового состояния; t – время пребывания системы

в этом состоянии; 2h – постоянная Планка с чертой.

Энергия фотона:

hc .

Продифференцируем (учтём, что ћ и с = const):

d	d hс	hс d 1	hс .
d
	d	d	2

Знак дифференциала d (очень маленький интервал) заменим н а знак интервала (достаточных размеров интервал) и опустим « –»:

hс .2

Выразим неопределённость энергии:

148

hс .2

Подставим в формулу (1):

hс	t hс	t	h	.
2
	2		2

Выразим минимальную неопределённость длины волны:

2 . 2 с t

Подставим численные значения:

122	10 16		12 10 16			0,637 10 15 .
2 3,14 3 108 12 10 9		2	3,14	3	10 1

637 10 18 м 637 ам. Ответ: λ = 637 ам.

Примечание: приставка а – атто – 10-18.

149

Практическое занятие 9 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ

«ЯЩИКЕ», АТОМЕ ВОДОРОДА. КВАНТОВЫЕ ЧИСЛА. ОРБИТАЛ Ь- НЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ. СПИН ЭЛЕ К- ТРОНА. ПРИНЦИП ПАУЛИ. ЗАПОЛНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛ О- ЧЕК В АТОМЕ

Рекомендуемое задание № 1

Функция вида (x) C sin( n xL) является волновой функцией, описывающей состояние (с квантовым числом n) частицы, движущейся вдоль оси x в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L (см. рис. 1). Используя условие нормировки, определите велич ину коэффициента С.

Дано:

Волновая функция:

х С sin nx

0 ≤ x≤ L

граничные условия:(0) = (L) = 0

L – ширина ямы

n – квантовое число n = 1,2,3 …

С - ?

Решение: Вероятность dW

обнаружить частицу в интервале от х до х + dх (в одномерном случае) вы-

ражается формулой:				Рис. 1
dW	(x)	2 dx	,

где 2 (х) dWdx - плотность вероятности - квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахож-

дения частицы в момент времени t в области с координатами х и х + dх (имеет

статистический, вероятностный характер). Сама же волновая функция

является основным носителем информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц.

Вероятность W обнаружить частицу в интервале от х до х + dх находится интегрированием dW в указанных пределах:

нице:

x 2
W 2 (x)dx .
x1
Условие нормировки вероятностей – вероятность приравниваем к еди-
x	2
1 W 2 x	dx .

Для нашей задачи:

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2415 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке posobia_4semФизика

#
02.03.2016831.28 Кб318Квантовая оптика _пособие_.pdf
#
02.03.20161.54 Mб2083Квантовая оптика _решебник_.pdf