Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ухтинский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

.pdf

Скачиваний:

2047

Добавлен:

02.03.2016

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

нения энергии, изменению энергии фотона, то есть:


			c		c		hc
Т		h		h .

Произведём вычисления:
	6,63 10		34	3 108		2,426 10 12		48,25314 10 38
Т								448,52 10 24	0,11 10 14 ,
	20 10 12		20 10 12			2,426 10 12

Т = 1,1∙10-15 Дж = 0,67∙104 эВ = 6,7 кэВ.

3) Кинетическая энергия и импульс классической частицы (при её скорости υ значительно меньше скорости с света υ<<с):

2 Т

р m

2 m

Откуда связь импульса классической частицы с кинетической энерги-

ей:

р	2 mT	.
Подставим числа:
											23	кг	м
р	2 9 ,11 10		31	1,1 10	15	20	10	46	4 ,48	10	23	кг	м
р	2 9 ,11 10			1,1 10		20	10		4 ,48	10			с	.
													с

Ответ: = 2,42 пм; Т = 6,7 кэВ; р = 4,48·10 –23 кг·м/с.

Примечание. В случае релятивистской частицы применяем формулы связи импульса с: 1) полной энергией: Е2 = Е02 + (рс)2 или 2) с кинетической энергией: (рс)2 =

Т(Т+2Е0).

Рис. 1

Практическое занятие 5 АТОМ ВОДОРОДА ПО ТЕОРИИ БОРА

Рекомендуемое задание № 1

Вычислить радиус второй орбиты r2 электрона в ионе гелия He+.

Дано:

Z = 2 n = 2

ħ = 1,05·10-34 Дж·с ε0 = 8,85·10-12 Ф/м mе = 9,11·10-31 кг е = 1,6·10-19 Кл

r2 =?

Решение:

Второй закон Ньютона:

FКулона mе a .

В проекции на ось Оx (рис. 1) и распишем

Кулона и нормальное ускорение:

Zе e

FКулона

FК

4 0

силу

mе

где Ze – заряд ядра, e – заряд электрона, υ – линейная скорость электрона.

Подставим второе и третье уравнение сист емы в первое уравнение:

1	Zе2	mе	2	=>	1	Zе2	mе 2 .	(1)
4 0	r 2		r		4 0	r

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний или правило квантования орбит): дискретные квантовые значения момента импульса удовлетворяют условию:

mе r n

(n = 1, 2, 3…),

(2)

где m – масса электрона, r – радиус орбиты электрона n – номер стационарной

орбиты, ħ – постоянная Планка с чертой.

Выразим скорость из (2):

(3)

mе r

Подставим в формулу (1) получим:

Zе2 m

n2 2

Zе

2 n2 2 .

е mе2 r 2

mе r 2

4 0

mе r

Сократили m и r, Отсюда радиус n – ой орбиты электрона:

4 0 2

4 0 h2

0 h2

mе е2

Z .

(4)

mе е2 2 2

mе е2

Учли: h = 2πħ. Подставим числа:

r		4 3,14 8,85 10 12 1,05 10 34		2	2	2	122,6	10	80	2 5,257 10 11	2.
r		9,11 10 31 1,6 10 19	2		2		23,32	10	69	2 5,257 10 11	2.
2		9,11 10 31 1,6 10 19	2		2		23,32	10	69
r	10,5 10 11 м 105пм.
2

Ответ: r2 = 105 пм.

Приложение 1: Первый Боровский радиус r1 = а в атоме водорода (Z = 1, n = 1):


a		4 0 2		0 h2		8,85418782 10 12 6,626176 10 34 2
		mе е2					.
				mе е2	3,141592654 9,109534 10 31 1,6021892 10 19 2
r	a		388,7538155 10 80			5,29 10 11 м 52,9пм . Учли: h = 2πħ.
			73,46384139 10 69
1

Приложение 2: Связь радиуса n –той стационарной орбиты водородоподобного атома с радиусом первой боровской орбиты электрона в атоме водорода:

r r n2			а n2 .
n	1	Z	Z

Рекомендуемое задание № 2

Вычислить скорость υ4 электрона на четвёртой орбите для иона лития

Li++.

Дано:

Решение:

Z = 3

Из 2го закона Ньютона (см. задачу № 1):

n = 4

Zе2

m 2 .

h = 6,626·10-34 Дж·с

4 0

ε0 = 8,85·10-12 Ф/м

Из первого постулата Бора (см. задачу № 1) ра-

е = 1,6·10-19 Кл

диус орбиты:

υ4 = ?

Подставим в предыдущую формулу:

Zе2

mе

m 2

4 0

После сокращения на mеυ получим скорость электрона на n – той орбите

для водородоподобного атома:

Zе2

е2

2 е2

е2

Z .

(1)

4 0

2 0 h

4 0

4 0 h n

Учли, что h = 2πħ. Подставим числа:

4	1,6 10 19 2		3	2,56 10 38	3	0,0218 10	8	3	,
	2 8,85 10 12	6,626 10 34	4	117,2802 10 46	4			4

4 0,01637 108 1,64 106 м 1,64 Мм/с. Ответ: υ4 = 1,64 Мм/с.

Приложение 1: Скорость электрона на первой орбите в атоме водор ода:

1	е2	1	е2	1,6 10 19 2				2,18 10	6	м/с.
	2 0 h	1	2 0 h	2 8,85 10 12	6,626	10	34

Приложение 2: Связь скорости электрона водородоподо бного атома на n – ой орбите со скоростью на первой орбите атома водорода: n 1 Zn .

Рекомендуемое задание № 3

Определить потенциальную П, кинетическую Т и полную Е энергии электрона, находящегося на первой орбите атома водорода (основное со стояние).

Дано:

Решение:

Z = 1

1 способ. 1) Потенциальная энергия электрона в

n = 1

электростатическом поле ядра и радиус орбиты rn элек-

mе = 9,11·10-31 кг

трона (см. задачу № 1):

е = 1,6·10-19 Кл

Ze е

Ze2

h = 6,626·10

-34

Дж·с

4 0

ε0 = 8,85·10

-12

Ф/м

0 h

1) П = ?

mе е

2) Т = ?

Тогда потенциальная энергия электрона на любой

3) Е = ?

орбите водородоподобного атома (Считаем энергию

электрона в бесконечности равной нулю):

mее2

mе e4

(1)

0 h2

4 02 h2

4 0

Потенциальная энергия для основного состояния атома водорода Z = 1,

n = 1:

mе e4

4 02 h2

Приложение 1: Связь потенциальной энергии водородоподобного атома с потен-

циальной энергией основного состояния атома водорода: ПZ

Вычислим:

П	9,11 10 31	1,6 10 19 4			59,7	10 107
П	4 8,85 10 12	6,626 10 34 2		13755		10 92

П 43,4 10 19 Дж 27,13 эВ.

П Z 2

Нn .

0,00434 10 15 ,

2) Кинетическая энергия электрона при движении по окружности и

скорость электрона на этой орбите (см. задачу № 2):

		m 2
Т		2
		2				.
			е	2	Z	.
			е		Z


	n		2 0 h		n
			2 0 h		n

Тогда кинетическая энергия электрона на любой орбите водородоподо б- ного атома:

	m	е4		Z 2	mе4
Т
	2	4 02 h2			8 02 h2
			n

	Z	2	(2)
		.	(2)
n

Кинетическая энергия для основного состояния атома водорода Z=1,

n=1:

	mе4	1	2	mе4
Т					.
Т	8 02 h2	1		8 02 h2	.
	8 02 h2	1		8 02 h2

Приложение 2: Связь кинетической энергии водородоподобного атома с кинети-

ческой энергией основного состояния атома водорода: ТZ

ТН

Приложение 3: Связь потенциальной и кинетической энергии водородоподобного

атома: Т

П =>

П 2Т 2

m 2

m 2 .

Вычислим:

9,11 10 31

1,6 10 19

13,565 эВ.

8 8,85 10 12

6,626 10 34

3) Полная энергия электрона на любой орбите водородоподобного ат о-

ма:

mе4

mе e4

mе4

Е Т П

(3)

8 02 h2

4 02 h2

8 02 h2

Полная энергия для основного состояния атома водорода Z = 1, n = 1:

mе4

8 02 h2

Вычислим:

9,11 10 31

1,6 10 19 4

13,565эВ .

8 8,85 10 12

6,626 10 34 2

2 способ. Решим через постоянную Ридберга R.

Приложение 4: Постоянная Ридберга для водорода: R						me e4	= 3,28805∙1015 1/с.

						8h3 02
	9,109534 10 31			1,6021892 10 19 4	60,02765265			10 107
R					182463,6461			10 126 ,
	8 6,626176 10 34			3 8,85418782 10 12 2
R 0,000328984 1019				3,28984 1015 1/с (с табличным расходится!).
Приложение 5: Постоянная Ридберга для водородоподобной системы:
RZ Z 2 R		me e4	Z 2 .

		8h3 02

1) Потенциальная энергия электрона на любой орбите водородоподобн о- го атома из формулы (1) с учётом постоянной Ридберга :

П2Rh Z 2 .

Потенциальная энергия для основного состояния атома водорода Z = 1,

n = 1:

П 2Rh. Вычислим:

П 2Rh 2 3,29 1015 6,626 10 34 Дж 43,599 10 19 27,2 эВ.

2) Кинетическая энергия электрона на любой орбите вод ородоподобного атома из формулы (2) с учётом постоянной Ридберга :

ТRh Z 2 .

Кинетическая энергия для основного состояния атома водорода Z = 1, n

=1 и учтём связь с потенциальной энергией :

ТRh П2 .

Вычислим:

Т 27,2эВ 13,6 эВ. 2

3) Полная энергия электрона на любой орбите водородоподобного ат о-

ма:

	Z 2		Z 2		Z	2
Е Т П Rh		2Rh		Rh	.
n		n		n

Вчислах для основного состояния атома водорода Z = 1, n = 1:

ЕRh Т П2 13,6эВ.

Приложение 6: Полная энергия для водородоподобной системы через кинетическую или потенциальную энергии:

Е Т П2 .

Ответ: П = – 27,2 эВ; Т = 13,6 эВ; Е = – 13,6 эВ.

Рекомендуемое задание № 4

Найти энергию Еi и потенциал Ui ионизации иона He+.

Дано:

Решение:

Z = 2

1) Энергия ионизации любого водородоподобного

n = 1

атома, т.е. электрон вывести с первой орбиты в бесконе ч-

m = ∞

ность – за пределы атома (покинуть атом):

h = 6,626·10-34 Дж·с

hcR ,

hR Z

(1)

1) Еi = ?

i,Z

2) Ui = ?

где R = R/с = 3,28805∙1015 1/с – постоянная Ридберга,

R =

1,097373177∙107 м-1

– штриховая постоянная Ридберга, Z – зарядовое число (по-

рядковый номер в таблице Менделе ева).

Энергия ионизации водорода:

Еi 12 hR hR hcR .

Произведём вычисления:

Еi 6,625 10 34 3 108 1,097 107

6,625 10 34

3,29 107 ,

Еi 21,8 10 19 Дж 13,6эВ.

(2)

Связь энергии ионизации водородоподобного атома с энергией иониза-

ции водорода:

Еi,Z

Z 2 Еi .

(3)

Вычислим энергию ионизации иона гелия:

Еi,Не 22 13,6эВ 54,4эВ.

2) Потенциал по определению:

Епотенциальная .

Тогда потенциал ионизации (ускоряющая разность потенциалов, которую должен пройти бомбардирующий электрон, чтобы приобрести энергию, достаточную для ионизации атома) любого водородоподобного атома:

i Ui	Еi	Rh	.	(4)

	e	en2

Если энергия ионизации выражена внесистемно в эВ, то потенциал ионизации Ui или φi численно равен энергии ионизации:

Ui = φi = Еi (Вольт).

Тогда потенциал ионизации иона гелия:

Ui = φi = 54,4 В.

Ответ: Еi = 54,4 эВ; Ui = 54,4 В.

Приложение 1: Связь потенциала ионизации водородоподобного атома с потенци а- лом ионизации водорода: φi = Z2φi.

Приложение 2: Полная, кинетическая и потенциальная энергии для водородоподобной системы, через энергию ионизации:

	Z 2		Z 2		Z	2
Е Еi		, Т Еi		, П 2Еi	.
n		n		n

Рекомендуемое задание № 5

Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в

атоме водорода с третьего энергетического уровня на вт орой.

Дано:

Решение:

Z = 1

1 способ. Энергия фотона:

m = 2

m,n h m,n

(1)

n = 3

m,n

h = 6,626·10-34 Дж·с

где h – постоянная планка, с – скорость света в вакуу-

с = 3·108 м/с

ме, ν – частота излучения, λ – длина волны излучения

R = 3,29 1015 c-1

m, n – стационарные орбиты; m = 1, 2, 3, 4, 5, 6 (опреде-

R/ = 1,097 107 м-1

ляет серию), n = m + 1, m + 2, m + 3…(определяет от-

Еi = 13,6 эВ

дельные линии этой серии), n = ∞ определяет границу

mе = 9,11·10-31 кг

серии.

е = 1,6·10-19 Кл

Обобщённая

формула

Бальмера

(сериальная

ε3,2 =?

формула):

m,n Z

или

(2)

m,n

где R = R/с = 3,28805∙1015 1/с – постоянная Ридберга, R/ = 1,097373177∙107 м-1 – штриховая постоянная Ридберга, Z – зарядовое число (порядковый номер в та б- лице Менделеева).

Подставим формулу (2) частоты в (1):

m,n Z

Еi

(3а)

или через длину волны:

m,n Z

hcR

Еi

(3б)

где Еi – энергия ионизации водорода. Получили одинаковую формулу. Произведем вычисления во внесистемных единицах:

	2		1	1		9 4
3,2	1	13,6эВ			13,6		1,89 (эВ).
			22	32		36

2 способ. Второй постулат Бора (правило частот):
		εn,m =		Е = Еn – Em = Eдо – Eпосле,				(4)

где ε n,m – энергия испускаемого (поглощаемого) атомом фотона при переходе атома из одного стационарного состояния в другое, Еn и Em – энергии стацио-

нарных состояний, характеризуемые квантовыми числами					n и m, определяе-
мые по формуле:
Еn	mе e4		Z	2
				,	(5)
	8 02 h2			,	(5)
	8 02 h2	n

где е – элементарный заряд, ε0 – электрическая постоянная, Z – атомный номер (зарядовое число, порядковый номер атома в таблице Д.И. Менделеева) . При Em < En происходит излучение фотона, при Em > En – его поглощение.

Тогда энергия испускаемого фотона:

			mе e4		Z	2	mе e4	Z	2	mеe4 Z 2 1				1
n,m															.
n,m			8 02 h2							8 02 h2					.
			8 02 h2	n			8 02 h2 m			8 02 h2		m2		n2
Подставим числа:
3,2			9,11 10 31			1,64 10 19		4 12			1	1	59,703 10			107	9 4		,
3,2																			,
		8 8,852		10 12			6,6262	10 34			22	32		27501 10		92	4	9
3,2	0,0003015 10 15						3,01 10 19		Дж 1,885эВ.

Ответ: ε3,2 = 1,89 эВ, относится к серии Бальмера.

Примечание 1. №, название и область спектра серий водородоподобного ат ома:

Номер серии, m Название серии		Область спектра
1	Лаймана	ультрафиолетовая
2	Бальмера	видимая
3	Пашена
4	Брэкета	инфракрасная

5Пфунда

6Хэмфри

Примечание 2. Атом излучает фотон, если электрон переходит с большей орбиты на меньшую (с 3й на 1ю). Атом поглощает фотон, если электрон переходит с меньшей орбиты на большую (с 1й на 3ю).

Рекомендуемое задание № 6

Найти первую энергию возбуждения Е1 и первый потенциал возбуждения U1 иона Li++.

Дано:

Решение:

Z = 3

1) Первое возбуждённое состояние атома. Элек-

m = 1

трон находится на второй орбите. Переведё н с основной

n = 2

орбиты (первой) на вышестоящую – вторую.

Для перехода на вторую орбиту в водородоподоб-

1) Е1 = ?

2) U1 = ?

ном атоме необходимо поглотить энергию фотона –

пер-

вая энергия возбуждения:

Е1,Z 2,1 Z

Еi

Еi ,

(1)

где Z – зарядовое число (порядковый номер в таблиц е Менделеева), Еi = 13,6 эВ

– энергия ионизации атома водорода. Произведём вычисления:

Е1 34 32 13,6эВ 91,8эВ.

2) Энергия, выраженная в электрон -вольтах, равна потенциалу выраженному в вольтах (см. задачу № 1а). Тогда первый потенциал возбуждения дважды ионизированного иона лития:

U1 = 91,8 В.

Ответ: Е1 = 91,8 эВ; U1 = 91,8 В.

Рекомендуемое задание № 7

Определить длину волны , соответствующую второй спектральной л и- нии в серии Пашена.

Дано:

Решение:

Z = 1

Обобщённая формула Бальмера (сериальная форму-

m = 3

ла):

n = m + 2 = 5

= 1,097 10

-1

= ?

где R – штриховая постоянная Ридберга, Z – зарядовое чис-

ло (порядковый

номер в таблице Менделеева), m, n – стационарные орбиты (m

< n).

Для серии Пашена:

1		1	1
				.

	R	32	n2
		32	n2

Отсюда длина волны:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке posobia_4semФизика

#
02.03.2016831.28 Кб314Квантовая оптика _пособие_.pdf
#
02.03.20161.54 Mб2047Квантовая оптика _решебник_.pdf