posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

2 6,626 10 34

3 108

м

Мм

4,364

10

14

2,09 10

7

20,9 10

6

20,9

.

9,11 10 31

10 9

с

с

Дано:

Си:

Решение:

min = 11 пм

11∙10-12 м

Для начала вычислим энергию фото-

m = 9,11∙10-31 кг

на:

с = 3·108 м/с

hc

6,626 10 34

3 108

,

h = 6,626·10-34 Дж·с

11 10 12

8,16∙10-14 Дж

Е0 = 511 кэВ

1,807 10 14 Дж 113кэВ , что не

υ = ?

намного меньше энергии покоя электр она

(511кэВ), следовательно, электрон нужно рассматривать как

релятивистскую

частицу.

По закону сохранения энергии изменение кинетической энергии эле к-

трона при торможении идёт на излучение фотона:

Eк .

(1)

Энергия фотона:

(m m0 )с2

hс

.

(2)

min

Релятивистская масса (зависимость массы от скорости):

m

m0

,

1 2

m0

1

1

m

с2

m

с2

1

Е

1 .

1

2

0

0

1

2

0

1

2

1

hс

E

1

.

0

1

2

min

1

hс

1

1

1

2

1

.

1 2

hс

1 2

min E0

1

hс

2

min E0

min E0

1

Откуда:

1

c

1

.

hс

2

min E0

1

Выразим скорость:

c

1

1

.

hс

2

1

min E0

Подставим числа:

3 108

1

1

3 108

1

1

.

6,626 10 34 3 108

(0,221 1)

2

1

8,16 10 14

11 10 12

Дано:

Си:

Решение:

U = 1 МВ

106 В

Работа электрических сил переходит в кинетич е-

скую энергию электрона, которая в свою очередь , по за-

min -?

кону сохранения и превращения энергии , в энергию

c

hс

.

min

max

eU

Произведем вычисления:

min

6,626 10 34 3 10

8

м 1,24 (пм).

1,6

10 19 106

12,4 10 13 1,24 10 12

Ответ: λmin = 1,24 пм.

Приложение: Сплошной спектр (тормозной

спектр) зависит от энергии бомбардирующих электронов I

U1>U2

(напряжения на рентгеновской трубке). Это излучение

U2

(см. рисунок) испускается в результате мгновенного то р-

U1

можения электронов при попадании на анод. Независит

от материала анода. Чем больше напряжение (U1> U2) на

λmin1 λmin2

λ

рентгеновской трубке (кинетическая энергия электронов),

Аэл = Т или еUmin m max2

,

2

им, и вся его кинетическая энергия (предельная –

γ βα

для коротковолновой границы сплошного спек- I

тра λmin) переходит в энергию кванта (по закону

сохранения энергии) см. рис.:

Т = ε или m max2

hc

,

2

min

λmin= λKα λ

где h – постоянная планка, с – скорость света в вакууме.

Иными словами, работа электрического поля Аэл

в конечном итоге пере-

ходит в энергию фотона Аэл → Т → ε:

Аэл = ε или еUmin h max

hc

.

(1)

min

Umin

6,626 10 34 3 108

0,055 105

5,5 103 В 5,5(кВ).

226 10 12 1,6 10 19

ляются отдельные резкие линии – линейчатый спектр, кото-

рый зависит от материала анода (независит от напряже-

γ β

ния) и называется – характеристический рентгеновский I

α

спектр (излучение).

Примечание 4: Подобно атому водорода спектры с о-

стоят из серий, обозначаемых K, L, M, N и O. Каждая серия

состоит из отдельных линий, обозначаемых в порядке уб ы-

λmin

λ

вания длины волны индексами α, β, γ, …(Kα, Kβ, Kγ, …, Lα,

Lβ, Lγ, …).

Umin

h c

.

(1)

e К

Длина волны этой линии (см. рис. 2) определяется по закону Мозли для

Кα – линий (переход электрона с L-слоя на К-слой

или переход электрона со второй орбиты на пе р-

I

вую):

1

3

2

4 R Z

1 ,

К

7

-1

м

– штрихованная постоянная

λmin= λKα

λ

где R = 1,097·10

Ридберга, Z – атомный номер элемента. Откуда:

К

4

.

2

3R Z 1

Подставим в формулу (1):

2

3Еi

2

Umin

3hcR

Z 1

Z 1

(2)

4e

4e

или

Umin

3Еi Z 1 2

,

(3)

4

Дано:

Си:

Решение:

Z1 = 29

Закон Мозли для Кα – линий (переход

Z2 = 26

электрона с L-слоя на К-слой или переход

Кα2 = 193 пм

193 10-12 м

электрона со второй орбиты на первую) соо т-

ветственно для меди и железа:

Кα1 = ?

1

3

2

4

R Z1 1

Е = 0

∞

К 1

,

О

5

N

4

λКα

1

3 R Z2 1 2

M

3

К 2

4

L

2

Кα

где R = 1,097·107

м-1 – штрихованная посто-

К

1

янная Ридберга, Z – атомный номер элемента.

Разделим верхнее уравнение на нижнее и

слой

орбита

Рис. 3

преобразуем:

3

R Z1

2

2

1

2

К

4

Z

1

Z

1

2

1

1

2

К 1

3 R Z2 1 2

Z2

1

Z2

1

4

Выразим длину волны меди:

1

2

.

К 1

Z2

Z1 1

К 2

Произведём вычисления во внесистемных единицах:

К

26 1

2

29 1

193пм 0,7972 193пм 153,86пм 154пм .

1

Дано:

Си:

Решение:

Кα = 76 пм

7

-1

76 10-12 м

Закон Мозли для Кα – линий (переход

м

электрона с L-слоя на К-слой или переход элек-

R = 1,097∙10

трона со второй орбиты на первую):

Z = ?

1

3

2

4 R Z 1 ,

К

Е = 0

∞

2

4

4

О

5

Z 1

Z 1

.

N

4

3 К R

3 К R

M

λКα 3

Выразим атомный номер элемента:

L

2

Кα

Z 1

4

.

К

1

3 К R

слой

орбита

Произведём вычисления:

Рис. 4

4

Z 1

1

1599,3 1 40 41.

3 76 10 12 1,097 107

Дано:

Си:

Решение:

Кα1 = 250 пм

2,5 10-10 м

Применим формулу для атомного ном е-

Кα2 = 179 пм

7

-1

1,79 10-10 м

ра элемента из задачи № 7 для обоих сл учаев:

м

4

R = 1,097∙10

1

Z1

N = ?

3R 1

.

4

Z

1

2

3R

2

1

4

Z1

1

1 22,05

3 1,097 10

7

2,5 10

10

Z1

486,2

Z1

Z

1

26,05

,

4

1

679

2

Z

1

Z2

3 1,097 10

7

1,79 10

10

2

Z1

1 22,05

Z1 23,05

Z1

23,05