posobia_4semФизика / Квантовая оптика _решебник_

Домашнее задание № 1

Частица в потенциальном ящике шириной L находится в возбуждённом состоянии (n = 2). Определить в каких точках интервала ( 0 < x < L) плотность вероятности |ψn(x)|² нахождения частицы максимальна и минимальна.

(0) = (L) = 0 1) |ψn(x)|² = max

2) |ψn(x)|² = min x - ?

лах.

161

Учли sin2x = 2sinxcosx. Найдём х:

Значение sin = 0 наступает через 180º. Точки экстремума:

x1 L4 ; x2 24L L2 ; x1 34L .

Эти значения разбивают ось ОХ на 4 промеж утка. Теперь проанализируем знак производной функции (|ψn(x)|²)/ на этих промежутках (т.е. подставим из каждого промежутка произвольное значение и вычислим значение произво д- ной):

ет.

2 способ. 1) Нахождение max (максимума) функции:

Анализируя функцию плотности вероятности, видно, что максимум н а- ступит при условии sin² = 1, т.е.:

ψ²max = 2/L.

А аргумент функции sin² равен 90º, с учётом периода функции sin² - :

где k = 0, 1, 2, … – целые

Отсюда координаты точек максимума (с учётом n = 2):

Посчитаем:

162

При больших значениях k выходим за границу х = L. 2) Нахождение min (минимума) функции:

Анализируя функцию плотности вероятности, видно, что минимум н а- ступит при условии sin² = 0, т.е.:

ψ²min = 0.

А аргумент функции sin² равен 0º, с учётом периода функции sin² - :

nx 0 k nx k ,

L L

где k = 0, 1, 2, … – целые

Отсюда координаты точек минимума:

При больших значениях k выходим за границу х = L.

Но из граничных условий функции : 0 и L уже учтены (см. дано).

3 способ. Просто построить функцию |ψn(x)|² по точкам (см. рис. 5).

Рис. 5

Ответ: 1) максимумы: х1 = L/4, х3 = 3L/4; 2) минимум: х2 = L/2.

163

Домашнее задание № 2

Вычислить момент импульса Lℓ орбитального движения электрона, нахо-

1)Lℓ.= 0(0 1) 0 (s – состояние, см. рис. 6).

2)Lℓ.= 1,05 10 34 1(1 1) 1,05 10 34 1,41 = 1,48∙10-34 Дж∙с (р – состояние,

см. рис. 7).

Ответ: 1) Lℓ.= 0; 2) Lℓ.= 1,48∙10-34 Дж∙с.

Домашнее задание № 3

Определить возможные значения проекции момента импульса Lℓz орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного п о- ля. Электрон находится в d –состоянии.

Дано: Решение:

Вектор L z момента импульса электрона может Дж∙с иметь лишь такие ориента-

ции в пространстве, при которых его проекция Lℓz на направление z внешнего магнитного поля принимает квантовые знач е- ния, кратные ħ:

Lℓz = ħmℓ,

где mℓ - магнитное квантовое число, которое

при заданном орбитальном квантовом числе ℓ может принимать значения:

164

mℓ = 0, ±1, ±2, …,±ℓ,

т.е. всего 2ℓ + 1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число mℓ определяет проекцию момента импульса электро на на заданное направление, причём вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространс т- ве 2ℓ + 1 ориентаций.

Для нашей задачи 5 ориентаций: mℓ = 0, ±1, ±2, т.к. ℓ = 2 (см. приложение задачи № 5 и рис. 8).

Произведём вычисления проекции момент а импульса Lℓz орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля:

1)mℓ = 0 => Lℓz = ħ∙0 = 0.

2)mℓ = ±1 => Lℓz = ħ∙(±1) = ±ħ = ± 1,05∙10-34 Дж∙с.

3)mℓ = ±2 => Lℓz = ħ∙(±2) = ±2ħ = 2∙1,05∙10-34 = ±2,1∙10-34 Дж∙с.

Ответ: 1) Lℓz.= 0; 2) Lℓz.= ± 1,05∙10-34 Дж∙с, 3) Lℓz.= ±2,1∙10-34 Дж∙с.

Домашнее задание № 4

В атоме K, L и M оболочки заполнены полностью. Определите общее число электронов в атоме.

N = Z1 + Z2 + Z3 = 2∙12 + 2∙22 + 2∙32 = 2 + 8 + 18 = 28.

Ответ: N =28.

Домашнее задание № 5

Считая, что «нарушений» в порядке заполнения электронных оболочек нет, записать электронные конфигурации атома с атомным номером Z = 36.

Название оболочек и максимальное (если не max, то нужное) количество электронов в оболочке: K – оболочка – 2 ē, L – оболочка – 8 ē, M – оболочка – 18 ē и частично N – оболочка – 8 из 32 ē.

165

Окончательно электронная конфигурация: 1s22s22p63s23p63d104s24p6.

Ответ: 1s22s22p63s23p63d104s24p6.

166

РАЗДЕЛ II. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ АТОМН ОГО ЯДРА

Практическое занятие 10 1. МАССА, РАЗМЕР, СОСТАВ И ЗАРЯД АТОМНОГО ЯДРА.

МАССОВОЕ И ЗАРЯДОВОЕ ЧИСЛО

2. РАДИОАКТИВНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ВИДЫ (ПРЕВРАЩЕНИЕ ЯДЕР)

Рекомендуемое задание № 1

Зная постоянную Авогадро NA , определить массу ma нейтрального атома углерода 12C и массу m , соответствующую углеродной единице массы.

2) За 1 а.е.м. принято считать 1,66·10-27 кг. Следовательно для углерода m = 1,66·10-27 кг.

Ответ: mа = 19,9·10-27 кг, m = 1,66·10-27 кг.

Рекомендуемое задание № 2

Хлор представляет собой смесь двух изотопов с отн осительными атом-

Подставим их в формулу, определяющую молярную ма ссу M смеси:

167

где M1 и M2 - молярные массы компонентов смеси.

После такой подстановки и простых преобразований получим

Так как молярные массы пропорциональны их относительным атомным массам, то равенство (1) можно переписать в виде

где Ar1 и Ar2 – относительные атомные массы изотопов. Подставив числовые значения величин в (2), получим:

Рекомендуемое задание № 3

Какую часть массы нейтрального атома плутония составляет м асса его электронной оболочки?

2 способ. Новое дано.

168

Подставим числа:

2)Z = ? где Х – символ химического элемента; Z – зарядовое чис-

3)N = ? ло (порядковый номер в таблице Менделеева, число прот о-

нов в ядре – положительная частица); А = N + Z – массовое число - атомная масса в таблице Менделеева для стабил ьного изотопа (число нуклонов в ядре – протоны плюс нейтроны); N – число нейтронов в ядре – нейтральные частицы.

1)Литий. Из обозначения ядра находим:

Z = 3 – число протонов;

А = 7 – число нуклонов в ядре – протоны и нейтроны; число нейтронов найдём простым арифметическим действием: N = А – Z = 7 – 3 = 4.

2)Магний. Из обозначения ядра находим:

Z = 12 – число протонов;

А = 24 – число нуклонов в ядре – протоны и нейтроны; число нейтронов:

N = А – Z = 24 – 12 = 12.

3) Алюминий. Из обозначения ядра находим:

169

Z = 13 – число протонов;

А = 27 – число нуклонов в ядре – протоны и нейтроны; число нейтронов:

N = А – Z = 27 – 13 = 14.

Ответ: 1) литий: Z = 3, А = 7, N = 4; 2) магний: Z = 12, А = 24, N = 12; 3) алюминий: Z = 13, А = 27, N = 14.

Рекомендуемое задание № 5

Назвать элемент, в ядре которого содержится: 7p и 7n , 51p и 71n , 101p и 155n ?

A = N + Z = 7 + 7 = 14 – массовое число,

где N – число нейтронов. Тогда элемент: 7N14 – азот.

Найдем остальные элементы, используя данные формулы:

2) 51X122 по таблице Менделеева, определяем элемент 51Sb122 – сурьма.

3) 101X256 по таблице Менделеева, определяем элемент 101Md256 – менделевий (изотоп).

Ответ: 1) 7N14 – азот, 2) 51Sb122 – сурьма, 3) 101Md256 – изотоп менделевия.

Примечание 1: Изотопы – ядра с одинаковым числом протонов Z, но разными А, т. е. с разными числами нейтронов.

Примечание 2: Изобары – ядра с одинаковым числом нуклонов А, но разным числом протонов Z.

Рекомендуемое задание № 6

Определить атомные номера, массовые числа и химические символы зеркальных ядер, которые получаются, если в ядрах 2Не3, 4Ве7, 8О15 протоны заменить нейтронами, а нейтроны протонами. Привести символическую запись получившихся ядер.

170