Кобрунов А_Мат методы модел в прикл геоф 2

где f n (s) функция, полученная из f n (v) интегрированием по координате z . Эту операцию сокращенно обозначим G :

z2

f n (s) Gf n (v) f n (v)dz.

z1

Следует показать, что последовательности f n (v) из Im K* может быть поставлена в соответствие последовательность f n (s) Gf n (v) такая, что для ее предельных элементов f (s)

и f (v) из условия f (s) L1 (E0 ) 1 следует f (v) L1 ( П ) 1.

Если множество функций из C П не зависящих от вертикальной координаты и образующих подпространство C E0 в C П , не имеет элементов, принадлежащих ядру

361

z2

( (x0, y0) (x0, y0)) K (x0 x, y0 y, z)dx0dy0dxdydz

z1 E0 E0

z2

( (x0, y0) K (x0 x, y0 y, z) (x0, y0)) K (x0 x, y0 y, z))dx0dy0dzdxdy

E0 z1 E0

(Gf (v) Gf (v))ds f (s)C* (E0 ) L1 (E0 ) .

E0

f (v) (x0 , y0 ) K (x0 x, y0 y, z)dx0dy0;

E0

f (v) (x0 , y0 ) K (x0 x, y0 y, z)dx0dy0.

E0

Последнее справедливо в силу положительности функции K(x, y, z) 0 .

Требуемое доказано. Предположение о независимости (v) от вертикальной координаты характеризует одно из решений задачи (5.51).

Резюмируем сказанное.

Если оператор K имеет вид:

z2

K v (x, y, z)K (x0 x, y0 y, z)dzdxdy,

E0 z1

362

действует из C П в C E0 , является линейным, ограниченным и в C E0 имеет плотную

область значений, K(x, y, z) 0 и класс функций из C П , не зависящих от вертикальной

координаты, не входит в ядро операторов K и K * , то множество функций, не зависящих от вертикальной координаты, есть подмножество в (K,С, I ) образующее почти идеальный экстремальный класс (K,С, I ) .

То, что множество независящих от вертикальной координаты функций есть элементы экстремального класса (K,С, I ) уже выяснено. Условие единственности решения уравнения

K (v) u(s) на этом множестве входит в перечень ограничений на оператор K . Следует еще показать, что уравнение K (v) u(s) плотно разрешимо на (K,С, I ) .

легко позволяет установить связь между выделенной ветвью (K,С, F) в множестве решений

задачи (5.24) и экстремальными классами (K, L2 П ,Q) . Для этого достаточно сопоставить

(5.28) в (5.6):

( A, L2 , F ) v F 1F * 1 A* s0 ,s0 DA*.

Меняя обозначения: K A получаем:

(K, L2 ,Q) v Q 1Q* 1K * s0 ,s0 DK*

363

Если Q оператор выбран так, чтобы Q 1Q* 1K* F 1 , а s0 рассматривается как s ,

то (K,С, F) (K, L2 П ,Q) . Иными словами, если оговорить существование всех операторов и совместимость областей определения и областей значений, то

(K,С, Q 1Q* 1K* 1 ) (K, L2 П ,Q) .

Этому утверждению можно придать строгий смысл, однако мы ограничимся лишь приведенным замечанием.

5.5 Эволюционно-динамические принципы

5.5.1 Эволюционно-динамические условия

критериев отбора единственного решения, основанных на введении динамических задач, в

которых изучаемый параметр оказывается краевым условием.

Предположим, что есть основания полагать, что искомая модель v с

распределенными параметрами или ее частный случай – система границ f x, y претерпевали в

трансформации происходили. Например, v,q могут быть параметры вектора скорости

движения поле результат решения прямой задачи от результирующей модели соответствовал заданному наблюдаемому u s0 . В задаче о распределенном параметре v , модель инверсии, учитывающая динамический генезис искомого распределения должна формулироваться как задача реконструкции tk , v исходя из уравнений:

364

допускающей множественность решения уравнения (5.57-а) и их доопределение осуществляется

сформулированная задача еще может быть недоопределенной, если произвол в выборе v,...,q

чрезмерно велик. В этом случае, в соответствии со сформулированными критериальными принципами доопределения задач инверсии в условиях неопределенности, следует ввести

ассоциирующиеся с процессами седиментации или притока извне (положительные значения),

эрозией, размывом (отрицательные значения). Введение этого параметра достаточно условно. Его истинное значение и физический смысл состоит в том, чтобы в «конечной точке» динамической системы обеспечить то полное количество вещества, которое соответствует наблюдаемому полю,

компенсировать дисбаланс «полной массы», существующий в «начальной» модели – «начальный момент времени». Механизм движения контролируется уравнением движения и входящими в него параметрами v(t, v) , q(t, v) , которые называются эволюционно-динамическими параметрами. В этом названии подчеркивается эволюционный, т.е. генетический характер итоговой модели и, в частности той части ее эволюции, которая связана с процессами движения. В

общем случае уравнения могут быть эволюционными (уравнениями происхождения) но не динамическими (например, химические превращения, эффекты метаморфизма и так далее).

Теоретически могут быть динамические уравнения – уравнения движения, но не эволюционные,

365

т.е. не связанные с процессом формирования изучаемого объекта. Приводимый пример относится к числу эволюционно-динамических уравнений, содержащих эволюционно динамические параметры.

Структурные геодинамические модели и уравнения, описывающие их эволюцию, могут быть получены из общего уравнения движения (5.2), если должным образом определить понятие внутренних границ. Граница – это сохраняющаяся в процессе движения структурная единица,

которая меняет свою форму, поднимается, либо опускается, но остается границей раздела для заданных физических параметров. Ее свойства, отличающие ее от любой другой поверхности внутри среды с распределенными параметрами, состоят в том, что в процессе движения переноса вещества через границу не происходит, и она определяется как поверхность, через которую отсутствует поток вещества – параметра (t, v) . Следовательно, для каждой из границ системы z f (t, s) {z f0 (t, s), z f1(t, s),...z fN (t, s)}, s x, y полная производная по времени для

частиц, расположенных на этой поверхности, равна нулю: dtd (t, x, y, fi (t, x, y)) 0 , а последняя,

в свою очередь, складывается из производных по времени к пространственной нормальной и частной по времени производных. Это приводит к уравнению движения [28]:

f (t, s) V(t, s) grad (f (t, s)) W(t, s) ;

t

W(t, s) {W0 (t, s),W1(t, s),...WN (t, s)} – геодинамические параметры, соответствующие притоку вещества и служащие компонентами вертикального «приращения» – точнее скорости приращения глубины залегания границ; V(s,t) {V0 (s,t),V1 (s,t),...VN (s,t)} – геодинамические параметры, имеющие смысл горизонтальной составляющей вектора скорости перемещения для каждой из границ.

Параметры скорости перемещения являются интегрированными параметрами и зависят от многих факторов. К числу основных относятся силы, служащие источником движения,

сопротивление этим силам (динамическая и кинематическая вязкости), которые сами являются составными параметрами. Они, в свою очередь, зависят от величины прилагаемых сил и времени их приложения, что в конечном итоге приводит к тому, что параметры, входящие в уравнение (5.2)

либо (5.3) известны весьма приближенно и должны уточнится в соответствии с требованиями асимптотического стремления динамического процесса к состоянию соответствующему

366

современному – наблюдаемому полю, с одной стороны (требование 5.60-с), и требованию оптимальности относительно параметров среды (5.60-d). Изменчивость параметров вязкости в зависимости от существенно неопределенных величин прилагаемых нагрузок на элемент среды составляет порядки самой величины вязкости. Соответствующие данные можно почерпнуть,

например в [29]. В этих условиях априорная информация о характере распределения геодинамических скоростей движения должна черпаться из анализа тектонофизической.

5.5.2 Инверсия для распределенных параметров

В связи с тем, что уравнение движения вещества в форме (5.58) является одним из

фундаментальных законов природы, рассмотрим на его примере, как конструируется

Напомним, что x t, v .

Предположим, что в пределах рассматриваемого интервала времени скорость движения v(x) не зависит от переменной t – времени. Чтобы избавиться от этого, весьма ограничительного условия, в последующем мы разобьем весь интервал времени 0,tk на подинтервалы длительностью hi в пределах каждого из которых все параметры можно считать стационарными,

а сшивку всех данных будем осуществлять за счет того, что краевое условие на конце интервала с

367

номером i служит начальным условием для интервала с номером i 1 . Для (5.61) в введенных предположениях формально можно записать:

(v, t) e t[div v(v) v v grad ] i (v).

(5.62)

t hi ,

i (v) – начальное значение параметра (t, v) в начале интервала hi . Для интервала с номером

1 это значение равно * (v) .

Справедливость (5.62) проверяется простой подстановкой (5.62) в (5.61) и выполнением формального дифференцирования по переменной t ( v не зависит от t ) с обращением с величиной [div v(v) v v grad] как с некоторой формальной переменной. Далее будет пояснено, как обращаться с подобного рода объектами.

Для случая, когда членом q(x) пренебрегать нельзя введем для рассуждений промежуточный объект – оператор D :

D( (v, t)) div( (v,t) v v ) [div v(v) v v grad ] (v, t)

(v, t) div v(v) v v grad (v, t) .

Этот оператор действует на пространственную переменную, хотя в списке аргументов,

присутствует и временная компонента x t, v .

Обозначим символом D 1 обратный к D D(g(x)) так, что:

D 1Dg(x) D 1 y(x) D 1(div(g(x) v)) g(x).

Этот оператор многозначен, поскольку однородное уравнение div(g(x)) 0 имеет нетривиальное решение в виде g(x) rot(ψ) , где ψ – векторный потенциал. В этой связи можно записать g(x) v rot(ψ) grad( ) , где – скалярный потенциал. Вводя условие калибровки rot(ψ) 0 , получаем g(x) v grad( ), откуда, для определения скалярного потенциала получаем уравнение Пуассона: y(x) . Частным решением этой задачи задается интегралом Пуассона:

1y(v)

(v0 ) 4 V R(v v0 )dv .

368

Здесь R(v v0 ) – евклидово расстояние между точками v и v0 . Во всех этих

рассмотрениях важно на самом деле лишь то, что оператор D 1 может быть некоторым образом определен, но пока не важно – каким.

Если q x q v 0 , то (5.60 -a) может быть записано в форме (5.61) с помощью введенного оператора:

Считая, что D-1, D и e-tD коммутируют (что на самом деле имеет место), получаем для

(5.63):

(t, v) e tD (t, v) D 1q(v) D 1e tDq(v).

Вболее подробной записи:

(t, v) e t ( (v) v v grad ) (ti , v) D 1q(v) D 1e t ( (v) v(v) grad )q(v)

(ti , v) i (v)

(v) div v(v).

Теперь ввернем зависимость от времени вектора скорости движений, считая, что на интервале с номером i : v x vi v . Тогда из (5.64) получаем:

i 1 (v) e hi ( i (v) vi v grad ) i (v) D 1qi (v) D 1e hi ( i (v) vi v grad )qi (v);

0 v * v ;

(5.65)

hi 1 ti 1 ti ;

i (v) div vi (v).

Эта формула позволяет найти значение t, v на конце интервала с номером i , которое одновременно служит начальным условием для следующего, если известны данные о значении этого распределения и скоростях движения в начале интервала, которые принимаем сохраняющимися на всем его протяжении – hi . Однако для практического счета в расшифровке нуждаются выражения, включающие в себя экспоненты от операторов.

369

Экспонента от оператора понимается в следующем смысле: если линейный,

замкнутый оператор, куда, в частности относятся операторы дифференцирования, умножения на весовые функции и все ограниченные операторы, то для можно применить разложение экспоненты в ряд Тейлора, что дает:

функцию e t (v) . Реально этой компонентой можно пренебречь, поскольку сжатие и расширение сопровождающееся координатными преобразованиям контролируются уравнением (5.66).

Однако (5.65) можно еще более упростить, заменив его приближенным аналогом.

Пользуемся соотношением

(v,t) e tD i (v). t hi ,

которое справедливо для решения:

370