Оценка достоверности разности между средними арифметическими двух выборочных совокупностей

При сравнении средних арифметических двух генеральных со­вокупностей любая разность между ними будет достоверна. В ве­теринарии, зоотехнии и т. д. приходится сравнивать между собой средние величины не генеральных совокупностей, а выборочных (породы, линии, семейства, опытная и контрольная группы и т. д.). Поэтому необходимо установить достоверность разности между средними двух групп. Недостаточно, например, знать, что 20 дочерей какого-то производителя превосходят по удою своих матерей. Следует, кроме того, вычислить критерий достоверности разности, чтобы с определенной вероятностью судить о том, что следующие 100, 200 и т. д. дочерей этого производителя также будут превосходить по молочности своих матерей в аналогичных условиях. Для оценки достоверности разности между средними арифметическими двух выборочных совокупностей применяется критерий достоверности (td), который вычисляют по формуле

гдеmi, тг — ошибки сравниваемых выборочных средних арифметических х\, xj; d —разность между средними арифметическими х\, хг; пи —средняя ошибка выборочной разности; /« — стандартное значение критерия, определяемое по таб­лице Стьюдента (табл. 13) с учетом числа степеней свободы (v) для трех уровней вероятности; щ, т — численность сравниваемых групп.

13. Стандартные значения критерия Стьюдента вероятности (р)												(Ut) при			трех		уровнях
Число		Уровень			вероятности				Число			Уровень			вероятности
степеней свободы (v)		0,95			0,99		0,999		степеней свободы (v)		0,95				0,99			0,999
1	12,71		63,66			637,0		16		2,12			2,92			4,02
2	4,30		9,93			31,60		17		2,11			2,90			3,97
3	3,18		5,84			12,94		18		2,10			2,88			3,92
4	2,78		4,60			8,61		19		2,09			2,86			3,88
5	2,57		4,03			6,86		20		2,09			2,85			3,85
6	2,45		3,71			5,96		21		2,08			2,83			3,82
7	2,37		3,50			5,41		22		2,07			2,82			3,79
8	2,31		3,36			5,04		23		2,07			2,81			3,77
9	2,26		3,25			4,78		24		2,06			2,80			3,75
10	2,23		3,17			4,59		25		2,06			2,79			3,73
11	2,20		3,11			4,44		26		2,06			2,78			3,71
12	2,18		3,06			4,32		27		2,05			2,77			3,69
13	2,16		3,01			4,22		28		2,05			2,76			3,67
14	2,15		2,98			4,14		29		2,05			2,76			3,66
15	2,13		2,95			4,07		30		2,04			2,75			3,65
								00		1,96			2,58			3,29

135

Пример. Нужно установить, различаются ли дочери двух быков по титру лизоцима в крови, если получены следующие показатели:

_т =

= 0,005, или 0,5 %.

п₂

30; xi±»»i = l,612±0,021g5 28; х_г±т₂= l,538±0,031gx

Для этого определяем

_t _ 1,612—1,538 _ 0,074 _ 0,074 _ 2 06 V^{2 2} ~^Щ~°^О36~ '

По таблице 13 с учетом числа степеней свободы v = Л1 + яг — 2 = 30 + 28 — 2 = 56 находим значения fa (нижняя строка), которые равны: при р = 0,95 У = 1,96; при р = 0,99 fe = 2,58 и при р = 0,999 U = 3,29. Сравниваем величину U с t_st. Здесь возможны два вывода: 1) если и равен или больше значения t_s, для первого уровня вероятности {td £ fe), то раз­ность между средними арифметическими двух групп статистически достоверна; 2) если td меньше значения tst для первого уровня вероятности, то разность между средними арифметическими двух групп статистически недостоверна. В нашем примере td = 2,06 больше значения /_я = 1,96 для первого уровня вероятности (0,95), н». меньше fe = 2,58 для второго уровня вероятности (0,99). Поэтому нужно сделать следующий вывод: разность между потомством двух производите­лей по титру лизоцима в крови достоверна с вероятностью р > 0,95. У дочерей первого быка более высокий титр лизоцима в крови.

Статистический анализ изменчивости по качественным призна­кам. Средняя арифметическая для качественных признаков отра­жает долю или процент особей, имеющих данный признак. На­пример, в одном хозяйстве из 1030 коров заболело лейкозом 28 голов и 1002 остались здоровыми. В этом случае совокупность состоит из двух групп: первая — больные животные, вторая — здоровые. Численность первой группы обозначим р\, числен­ность второй — ро, общую численность — п. Тогда долю больных (т. е. имеющих изучаемый признак) животных (р) определяют по формуле

^ ^ = 0,027, или 2,7%.

Здесь р соответствует средней арифметической (х) при коли­чественной изменчивости. Доля здоровых животных (q) состав­ляет

Среднее квадратическое отклонение вычисляют по формулеc = <p~q~ = V0,027 0,973 = 0,163, или 16,3 %.

Средняя ошибка. Частота качественного признака, вы­раженная в долях единицы или в процентах, также имеет свою ошибку:

136

Ошибка является одинаковой для доли больных и здоровых животных: р±т = 0,027 + 0,005; q + m = 0,973 + 0,005, или 2,7 ±0,5 и 97,3 ±0,5%.

Определение достоверности разности между выборочными до­лями или процентами. 6 одном стаде из 82 дочерей быка № 25588 заболели бруцеллезом 39, а из 80 дочерей быка № 1406— 11. Необходимо установить, различаются ли производители по вос­приимчивости дочерей к бруцеллезу. Для этого воспользуемся формулой

_t -

Определим долю больных дочерей: р_х = 39 = 11 : 80=0,138. Вычислим т_х и ту.

^/0,476(1-0,476! ₌

82 = 0,476 и

_т -

oU

_f _ 0,476-0,138 _ 0,338 ₌ 0,338 ^d V0055^039^ VpO45

0,067

У

По таблице 13 с учетом числа степеней свободы v = п_х + + п_у — 2 = 82 + 80 — 2 = 160 находим значения у (последняя строка), которые равны 1,96; 2,58; 3,29. Так как величина td = 14,9 больше у ⁼ 3,29 для третьего уровня вероятности, можно сделать вывод: разность между быками-производителя­ми по частоте заболевания дочерей бруцеллезом достоверна с вероятностью р > 0,999. Это значит, что дочери быка № 25588 отличаются большей восприимчивостью к бруцеллезу, чем по­томство производителя № 1406.