Podgotovka_k_sdache_modulya_3

Учреждение образования «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

для подготовки к сдаче модуля №3 по теме «Предел и непрерывность функции» и задания для самостоятельной работы студентов факультета бухгалтерского учёта

Горки, 2012

1

1. Предел функции одной переменной

1.1. Понятие функции

Пусть задано множество D {x} изменения переменной величи-

ны x. Если каждому значению величины x D соответствует одно определённое значение величины y, то говорят, что на множестве D задана функция y f (x), т.е. величина y есть функция величины x.

Величина x называется аргументом функции у, множество D –

областью определения функции. Так как значение величины x D

можно брать произвольно, а значение величины у зависит от выбранного значения х, то х называется независимой переменной, а у – зависимой переменной. Множество значений, принимаемых функцией

у, называется областью значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции.

x 1.

Решение. Частное значение данной функции в точке x 1 равно y ( 1)4 3 ( 1) 1 5.

Пример 1.2. Вычислить значение функции

Решение. а) Так как x 3 0 , то y 2x 1. Поэтому частное значение функции равно y 2 ( 3) 1 7 .

б) x 2 [0,3). Поэтому y 5x2 3 и частное значение функции равно y 5 22 3 23.

в) В данном случае x 4 3. Следовательно, у=1.

2

Пример 1.3. Найти область определения функции y 5 . 1 x

Решение. Так как 1 x 0, т.е. x 1, то D(y) ( ,1) (1, ).

Пример 1.4. Найти область определения функции y 4 x2 . Решение. Выражение под знаком корня квадратного должно быть

неотрицательным, т.е. 4 x2 0. Решим это неравенство методом интервалов: (2 x)(2 x) 0 ,

функция u (x) – на множестве X {x}, причём все значения функ-

ции u U . Тогда переменная у является функцией от х: y f ( (x)). В этом случае у называется сложной функцией, а переменная u –

промежуточным аргументом. Например, y sinu и u 3x 4. То-

пусть G {y}– область значений функции. Это означает, что каждому значению x D ставится в соответствие единственное значение y G.

Если же каждому значению y G соответствует только одно значение

обратной для данной, т.е. эти функции являются взаимообратными. При исследовании функций и построении графиков независимую

переменную обратной функции удобно обозначать через х, а зависимую переменную – через у. Тогда взаимообратными являются функ-

ратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. относительно прямой у=х.

Если независимая переменная х и функция у связаны соотношением F(x,y)=0, которое не разрешено относительно у, то у называется неявной функцией от х. Примерами неявных функций являются x2 y2 9 0 , 3x 4y 5y3 0 , 2x 4y 5 0 .

1.2. Основные характеристики функции

Функция y f (x) называется возрастающей в интервале (a,b),

если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, т.е. если x1,x2 (a,b) , то из x1 x2 f (x1) f (x2 ) . Функция называется убывающей в интервале (a,b), если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции, т.е. если x1,x2 (a,b) , то из x1 x2 f (x1) f (x2 ) .

Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает, называется интервалом возрастания функции, а интервал, в котором функция убывает – интервалом убывания. Эти интервалы называются интервалами монотонности функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Например, функция

y x3 определена в интервале ( , ) и возрастает в нём. Функция

y x2 определена в интервале ( , ) , убывает в интервале

( ,0) и возрастает в интервале (0, ) .

4

Функция y f (x) называется чётной, если она удовлетворяет

условию f ( x) f (x). Функция y f (x) называется нечётной, если

f ( x) f (x). Функция, которая не является ни чётной, ни нечётной,

называется функцией общего вида.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу, а не-

такое число Т, что f (x T) f (x) . Наименьшее из таких положитель-

1.3. Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y f (x) при x x0 , ес-

ли для всех значений х, достаточно близких к x0 , соответствующие

5

значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Записывается это следующим образом:

lim f (x) A или f (x) A при x x0 .

x x0

В определении предела x0 может быть любым конечным числом или же обозначать и .

При вычислении пределов пользуются следующими правилами: 1) предел постоянной величины равен самой величине, т.е.

lim C C ;

x x0

2) предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций при условии, что пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

lim (f (x) g(x)) lim f (x) lim g(x) ;

x x0 x x0 x x0

3) предел произведения конечного числа функций равен произведению их пределов при условии, что эти пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

лов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

6

При вычислении пределов функции иногда приходится пользоваться понятием односторонних пределов. Пусть функция y f (x)

определена на множестве D {x} и пусть x x0 .

Будем рассматривать такие значения х, что x x0 . Это означает,

что x x0 , оставаясь всё время слева от x0 . Если при этом существу-

y f (x), то он называется правым пределом этой функции в точке x0

или при x x0 и обозначается f (x) f (x0 0) .

Левый и правый пределы называются односторонними предела-

ми функции в точке. Если односторонние пределы функции y f (x)в

точке x0 существуют и равны между собой, то функция имеет тот же

Если односторонние пределы функции в точке x0 существуют,

но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует.

точке х=2.

Решение. Найдём односторонние пределы функции в точке х=2.

односторонние пределы не равны между собой, т.е. 0 3 , то предел данной функции в точке x=2 не существует.

7

в точке x=6.

Решение. Найдём односторонние пределы функции в данной точ-

Так как односторонние пределы в точке x=6 равны между собой, то предел функции в этой точке существует и равен 9.

1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция (x) называется бесконечно малой при x x0 , если

lim (x) 0 . Бесконечно малые функции обладают следующими

x x0

свойствами:

1)алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

2)произведение конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

3)произведение ограниченной величины на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

могут стремиться к нулю при x x0 с разными скоростями, то для их сравнения находится предел отношения этих функций lim (x) . При

(x) называются бесконечно малыми функциями одного порядка;

8

2) если lim (x) 1, то (x) и (x) называются эквивалентны-

x x0 (x)

ми бесконечно малыми функциями при x x0 ; в этом случае предел

отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них или какую-либо одну заменить им эквивалентными;

3) если предел lim не существует, то бесконечно малые

x x0

функции (x) и (x) называются несравнимыми.

Функция y f (x) называется бесконечно большой функцией в

точке x0 , если для всех значений х, достаточно близких к x0 , соответ-

ствующие значения функции по абсолютной величине превосходят любое наперёд заданное сколь угодно большое положительное число,

Предел lim (x) отношения бесконечно малых функций может

x x0 (x)

быть конечным, бесконечным или же вообще не существует. В этом

9

ляются бесконечно большими функциями в точке x0 . Предел отношения этих функций может быть конечным, бесконечным или вообще не

лённостью вида 0 . Аналогично вводятся неопределённости вида

1 , 0 , 00 . Чтобы раскрыть неопределённость, нужно найти соответствующий предел.

0 . Для её раскрытия найдём корни квадратного трёхчлена, записанно- 0