Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Podgotovka_k_sdache_modulya_3

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
351.7 Кб
Скачать

Учреждение образования «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

для подготовки к сдаче модуля №3 по теме «Предел и непрерывность функции» и задания для самостоятельной работы студентов факультета бухгалтерского учёта

Горки, 2012

1

1. Предел функции одной переменной

1.1. Понятие функции

Пусть задано множество D {x} изменения переменной величи-

ны x. Если каждому значению величины x D соответствует одно определённое значение величины y, то говорят, что на множестве D задана функция y f (x), т.е. величина y есть функция величины x.

Величина x называется аргументом функции у, множество D –

областью определения функции. Так как значение величины x D

можно брать произвольно, а значение величины у зависит от выбранного значения х, то х называется независимой переменной, а у зависимой переменной. Множество значений, принимаемых функцией

у, называется областью значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции.

Значение функции при

x x0

называется частным значением

функции в точке x0 и обозначается

f (x0 ).

Пример 1.1. Вычислить

значение функции y x4 3x 1 при

x 1.

Решение. Частное значение данной функции в точке x 1 равно y ( 1)4 3 ( 1) 1 5.

Пример 1.2. Вычислить значение функции

 

2x 1,

если

x 0,

 

 

2

3,

если

0 x 3, при а) х= –3; б) х=2; в) х=4.

y 5x

 

 

 

1,

если

x 3

 

 

Решение. а) Так как x 3 0 , то y 2x 1. Поэтому частное значение функции равно y 2 ( 3) 1 7 .

б) x 2 [0,3). Поэтому y 5x2 3 и частное значение функции равно y 5 22 3 23.

в) В данном случае x 4 3. Следовательно, у=1.

2

Пример 1.3. Найти область определения функции y 5 . 1 x

Решение. Так как 1 x 0, т.е. x 1, то D(y) ( ,1) (1, ).

Пример 1.4. Найти область определения функции y 4 x2 . Решение. Выражение под знаком корня квадратного должно быть

неотрицательным, т.е. 4 x2 0. Решим это неравенство методом интервалов: (2 x)(2 x) 0 ,

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

-2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, D(y) [ 2,2].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Пример 1.5. Найти область определения функции y

 

 

6 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

Решение. Для данной функции

6 x 0,

 

x 2 . По-

 

т.е. x 6 и

 

 

 

 

 

 

x 2 0,

 

 

 

 

этому D(y) ( ,2) (2,6] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть функция y f (u)

определена

на множестве

U {u}, а

функция u (x) – на множестве X {x}, причём все значения функ-

ции u U . Тогда переменная у является функцией от х: y f ( (x)). В этом случае у называется сложной функцией, а переменная u

промежуточным аргументом. Например, y sinu и u 3x 4. То-

гда y sin(3x 4) является сложной функцией.

 

 

Пусть функция y f (x) определена на

множестве

D {x} и

пусть G {y}– область значений функции. Это означает, что каждому значению x D ставится в соответствие единственное значение y G.

Если же каждому значению y G соответствует только одно значение

x D , то на множестве

G можно определить функцию

x (y), ко-

торая называется обратной по отношению к функции

y f (x). В

этом случае функции y f (x) и

x (y) являются взаимообратны-

ми. Например, функции

y 3x

и x log3 y являются взаимообрат-

 

 

3

 

ными. Пусть дана функция y 3x 4 . Тогда функция

x

y 4

будет

 

 

3

 

обратной для данной, т.е. эти функции являются взаимообратными. При исследовании функций и построении графиков независимую

переменную обратной функции удобно обозначать через х, а зависимую переменную – через у. Тогда взаимообратными являются функ-

ции y 3x и

y log3 x,

y 3x 4 и

y

x 4

. Графики взаимооб-

 

 

 

 

3

 

ратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, т.е. относительно прямой у=х.

Если независимая переменная х и функция у связаны соотношением F(x,y)=0, которое не разрешено относительно у, то у называется неявной функцией от х. Примерами неявных функций являются x2 y2 9 0 , 3x 4y 5y3 0 , 2x 4y 5 0 .

1.2. Основные характеристики функции

Функция y f (x) называется возрастающей в интервале (a,b),

если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции, т.е. если x1,x2 (a,b) , то из x1 x2 f (x1) f (x2 ) . Функция называется убывающей в интервале (a,b), если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции, т.е. если x1,x2 (a,b) , то из x1 x2 f (x1) f (x2 ) .

Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает, называется интервалом возрастания функции, а интервал, в котором функция убывает – интервалом убывания. Эти интервалы называются интервалами монотонности функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Например, функция

y x3 определена в интервале ( , ) и возрастает в нём. Функция

y x2 определена в интервале ( , ) , убывает в интервале

( ,0) и возрастает в интервале (0, ) .

4

Функция y f (x) называется чётной, если она удовлетворяет

условию f ( x) f (x). Функция y f (x) называется нечётной, если

f ( x) f (x). Функция, которая не является ни чётной, ни нечётной,

называется функцией общего вида.

График чётной функции симметричен относительно оси Оу, а не-

чётной – относительно начала координат.

 

 

 

Пример 1.6. Исследовать функцию

f(x) 4x4

5x2 4 на чёт-

ность и нечётность.

 

 

 

Решение.

f( x) 4( x)4 5( x)2 4 4x4 5x2

4 f(x) .

Функция f (x) является чётной.

 

 

 

Пример 1.7. Исследовать функцию

f (x) 5x3 3x

на чётность и

нечётность.

 

 

 

 

Решение.

f( x) 5( x)3 3( x) 5x3 3x (5x3

3x) f(x)

Функция f (x) является нечётной.

 

 

 

Пример 1.8. Исследовать функцию f(x) x2 3x 4на чётность

и нечётность.

 

 

 

 

Решение.

f( x) ( x)2 3( x) 4 x2 3x 4 f (x) f (x) .

Функция f (x) является функцией общего вида.

 

 

Функция

y f (x) называется периодической,

если существует

такое число Т, что f (x T) f (x) . Наименьшее из таких положитель-

ных чисел

называется периодом функции. Например, функции

y sin x и

y cos x являются периодическими с периодом

2 , а

функции y tgx и y ctgx периодическими с периодом .

 

1.3. Предел функции в точке

Число А называется пределом функции y f (x) при x x0 , ес-

ли для всех значений х, достаточно близких к x0 , соответствующие

5

значения функции как угодно мало отличаются от числа А. Записывается это следующим образом:

lim f (x) A или f (x) A при x x0 .

x x0

В определении предела x0 может быть любым конечным числом или же обозначать и .

При вычислении пределов пользуются следующими правилами: 1) предел постоянной величины равен самой величине, т.е.

lim C C ;

x x0

2) предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций при условии, что пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

lim (f (x) g(x)) lim f (x) lim g(x) ;

x x0 x x0 x x0

3) предел произведения конечного числа функций равен произведению их пределов при условии, что эти пределы существуют, т.е. для двух функций справедливо равенство

 

lim ( f (x) g(x))

lim f (x) lim g(x) ;

 

x x0

x x0

x x0

4)

если n – натуральное число, то

 

 

 

 

 

n

 

lim ( f (x))n lim f

(x) ;

 

x x0

x x0

 

5)

постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

 

lim (k f (x)) k lim

f (x) ;

 

x x0

x x0

 

6)

предел отношения двух функций равен отношению их преде-

лов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от нуля, т.е.

 

f (x)

 

lim f (x)

 

lim

 

x x0

, если lim g(x) 0.

 

lim g(x)

x x0 g(x)

 

x x0

 

 

 

x x0

 

6

x x0 0
lim

При вычислении пределов функции иногда приходится пользоваться понятием односторонних пределов. Пусть функция y f (x)

определена на множестве D {x} и пусть x x0 .

Будем рассматривать такие значения х, что x x0 . Это означает,

что x x0 , оставаясь всё время слева от x0 . Если при этом существу-

ет предел функции

y f (x) при

x x0 , то он называется левым пре-

делом этой функции в точке

x0 или при x x0 и обозначается

lim

f (x) f (x0

0).

 

x x0 0

 

 

 

Пусть теперь

x x0 , оставаясь всё время справа от x0 , т.е. оста-

ваясь

больше x0 . Если при

этом существует предел функции

y f (x), то он называется правым пределом этой функции в точке x0

или при x x0 и обозначается f (x) f (x0 0) .

Левый и правый пределы называются односторонними предела-

ми функции в точке. Если односторонние пределы функции y f (x

точке x0 существуют и равны между собой, то функция имеет тот же

предел в этой точке: lim

f (x) lim

f (x) lim f (x).

x x0 0

x x0 0

x x0

Если односторонние пределы функции в точке x0 существуют,

но не равны между собой, то предел функции в этой точке не существует.

Пример 1.9. Найти предел функции

 

2 x,

если

x 2,

f (x)

 

если

в

 

2x 1,

x 2

точке х=2.

Решение. Найдём односторонние пределы функции в точке х=2.

Если x 2,

то f (x) 2

x и

f (2 0)

lim (2 x) 2 2 0. Если

 

 

 

 

x 2 0

же x>2, то

f (x) 2x 1

и f (2 0) lim

(2x 1) 2 2 1 3. Так как

 

 

 

x 2 0

односторонние пределы не равны между собой, т.е. 0 3 , то предел данной функции в точке x=2 не существует.

7

Пример 1.10. Найти предел функции

 

2x 3,

если x 6,

f (x)

 

27,

если x 6

 

x2

в точке x=6.

Решение. Найдём односторонние пределы функции в данной точ-

ке. Если x 6, то f (x) 2x 3

и f (6 0) lim

(2x 3) 2 6 3 9.

 

 

x 6 0

 

Если x>6, то f (x) x2 27 и

f (6 0)

lim (62 27) 36 27 9.

 

 

x 6 0

 

Так как односторонние пределы в точке x=6 равны между собой, то предел функции в этой точке существует и равен 9.

1.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция (x) называется бесконечно малой при x x0 , если

lim (x) 0 . Бесконечно малые функции обладают следующими

x x0

свойствами:

1)алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

2)произведение конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая;

3)произведение ограниченной величины на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Рассмотрим бесконечно малые функции (x) и

(x) , т.е.

lim (x) 0 и

lim (x) 0. Так как эти бесконечно малые функции

x x0

x x0

 

могут стремиться к нулю при x x0 с разными скоростями, то для их сравнения находится предел отношения этих функций lim (x) . При

 

 

x x0

(x)

этом возможны следующие случаи:

 

1) если lim

(x)

A 0(А – конечное число),

то (x) и

 

x x0 (x)

 

(x) называются бесконечно малыми функциями одного порядка;

8

(x)
(x)

2) если lim (x) 1, то (x) и (x) называются эквивалентны-

x x0 (x)

ми бесконечно малыми функциями при x x0 ; в этом случае предел

отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую из них или какую-либо одну заменить им эквивалентными;

3) если предел lim не существует, то бесконечно малые

x x0

функции (x) и (x) называются несравнимыми.

Функция y f (x) называется бесконечно большой функцией в

точке x0 , если для всех значений х, достаточно близких к x0 , соответ-

ствующие значения функции по абсолютной величине превосходят любое наперёд заданное сколь угодно большое положительное число,

т.е. f (x) при x x0 или lim

f (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

Пусть f (x) есть бесконечно большая функция при x x0 , тогда

функция

1

 

является бесконечно малой функцией при

x x0 . Ес-

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ли (x)

есть бесконечно малая функция при x x0 , то

 

1

явля-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x)

ется бесконечно большой функцией при x x0 .

 

 

 

Например,

 

функция (x) x2

 

при

x 0 является бесконечно

малой функцией. Тогда функция

1

 

при

x 0 является бесконечно

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

большой.

Функция

f(x) x4 1

при

x является

бесконечно

большой. Тогда

1

при x будет бесконечно малой функцией.

 

x4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел lim (x) отношения бесконечно малых функций может

x x0 (x)

быть конечным, бесконечным или же вообще не существует. В этом

9

случае выражение

(x)

 

при x x0 называется неопределённостью

(x)

 

 

 

 

вида

0

.

 

 

 

0

 

 

 

g(x) при x x0 , т.е. f (x) и g(x) яв-

Пусть f (x) и

ляются бесконечно большими функциями в точке x0 . Предел отношения этих функций может быть конечным, бесконечным или вообще не

существует. Выражение

f (x)

 

при x x0

называется неопределённо-

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

стью вида

 

, а выражение

f (x) g(x)

называется неопределённо-

 

 

 

 

 

 

 

стью вида .

 

 

 

 

Если (x) - бесконечно

малая

функция,

а f (x) - бесконечно

большая при x x0 , то выражение

(x) f (x)

называется неопреде-

лённостью вида 0 . Аналогично вводятся неопределённости вида

1 , 0 , 00 . Чтобы раскрыть неопределённость, нужно найти соответствующий предел.

 

Пример

1.11.

Найти

предел

функции

f (x)

x2

6x 8

при

 

 

x 4

x 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Подставим предельное значение х=4 в функцию:

 

 

x2

6x 8

 

4

2 6 4

 

0

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

=

 

 

8

 

 

. Получена неопределённость вида

 

 

 

 

 

x 4

x 4

 

 

4 4

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 . Для её раскрытия найдём корни квадратного трёхчлена, записанно- 0

го в числителе,

и разложим его на множители: x2 6x 8 0 ,

x 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x2 4

, x2 6x 8 (x 2)(x 4) . Подставим разложение в числитель:

lim

x2

6x 8

 

= lim

(x 2)(x 4)

= lim(x 2) 4 2 2.

 

x 4

x 4

x 4

x 4

x 4

 

 

 

 

Пример 1.12. Найти предел

lim

x2

3x 2

.

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]