Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Podgotovka_k_sdache_modulya_3

.pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
351.7 Кб
Скачать

Решение. Подставим предельное значение х=1 в функцию:

 

x2

3x 2

 

12

 

3 1 2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Для раскрытия неопределённости

x 1 x

2

2x 3

 

1

2

 

2 1 3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разложим числитель и знаменатель на множители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 2 0 ,

x

 

1,

x

2

 

2 ,

 

x2 3x 2 (x 1)(x 2) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 2x 3 0 ,

x

 

1,

x

2

3, x2 2x 3 (x 3)(x 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

x2

3x 2

lim

(x 1)(x 2)

 

x 2

 

1 2

 

 

1

.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x2

2x 3

 

x 1 (x 3)(x 1)

x 1 x 3

 

 

1 3

 

 

4

 

 

 

Пример 1.13. Найти предел функции

f (x)

 

 

2x 9

1

при х=5.

 

 

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Подставим вначале значение х=5 в функцию:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 9

1

 

 

 

25 9

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Для раскрытия полученной неоп-

x 5

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

5 5

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ределённости числитель и знаменатель функции умножим на выраже-

ние

 

2x 9 1,

сопряжённое числителю, и выполним необходимые

преобразования:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 9

 

2x 9

 

 

 

2x 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

x 5 2x 9 1

 

 

 

 

 

x 5

 

x 5

2x 9 1

 

 

 

 

 

 

 

=lim

 

 

 

2x 9 1

 

lim

 

 

 

 

2(x 5)

 

 

 

 

lim

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5 x 5 2x 9 1

 

 

x 5 x 5

2x 9 1

 

 

x 5

 

 

2x 9 1

lim

2

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

 

 

2 5 9 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.14. Найти предел lim

 

 

2 x

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. При подстановке в функцию предельного значения х=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

2 x

 

 

 

2 0

 

2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получим: lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Умножим числи-

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тель и знаменатель функции на выражение

 

 

 

 

 

 

 

и выпол-

 

 

 

2 x

2 x

ним необходимые преобразования:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

2 x

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

2 x

 

 

 

2 x

 

2 x

2 x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2 x 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

x

 

2 x 2 x

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

2 x (2 x)

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 x

 

2 x 2 x

 

 

 

x 0 x

2 x 2 x

 

 

 

x 0

 

 

2 x 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 0

 

 

2 0

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.15.

 

 

Найти предел функции

 

f

(x)

 

 

6x2 x 1

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 3x 1

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Подставим в функцию вместо переменной х её пре-

дельное

 

значение: lim

 

6x2

x 1

 

 

 

 

 

. Получена неопределён-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2x2

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ность вида

 

 

 

. Для её раскрытия каждый член числителя и знаменате-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ля разделим на x2 и вычислим предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

lim

 

 

 

 

x

x

2

 

 

 

 

 

3,

так как функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

,

 

 

1

 

 

 

,

 

3

 

 

 

являются бесконечно малыми при x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел lim

sin x

1

 

называется первым замечательным преде-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лом. Пусть (x) -

есть бесконечно малая функция при

x x0 . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

sin (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Предел

 

lim 1

 

 

e

 

или

 

lim 1 x x e

называ-

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ется вторым замечательным пределом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.16. Найти предел функции

 

f (x)

sin 4x

 

при x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

Решение. lim

sin 4x

sin(4 0)

0

 

 

 

. Для раскрытия неопреде-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 3x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

лённости

0

 

воспользуемся первым замечательным пределом:

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

sin 4x

 

lim

4 sin 4x

 

lim

4 sin 4x

 

4

lim

sin 4x

 

 

4

1

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

3 4x

 

 

 

 

 

 

3

3

x 0 3x

x 0

4 3x

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x 0 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.17. Найти предел lim 1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Воспользуемся формулой второго замечательного пре-

 

 

1 x

e :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дела lim 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

3

.

 

 

 

lim 1

 

 

 

 

 

lim 1

 

 

 

 

 

lim 1

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

x

 

x

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.18. Найти предел функции

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

при x 0.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом в виде

формулы lim 1 x

1

 

e :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 x x lim x 0 2

1

x x

lim 1

x 0

2

 

2

 

1

 

2

 

 

x

x

 

 

 

lim 1

 

 

 

 

 

 

x 0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

 

 

 

 

e

2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

x 0

2

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

2. Непрерывность функции одной переменной

2.1. Непрерывность функции в точке

Пусть функция y f (x) определена на некотором множестве

D {x}. Если независимая переменная х переходит от одного своего значения к другому, то разность между конечным х и начальным x0 значениями называется приращением независимой переменной в точ-

ке x0 и обозначается

x x x0 .

Отсюда

можно

записать, что

x x0 x . Приращением функции

y f (x)

в точке

x0

называется

разность y f (x0 x) f (x0 ).

 

 

 

 

Функция y f (x)

называется непрерывной в точке

x0 , если её

приращение в этой точке есть бесконечно малая функция, т.е. если

lim y 0 . Это означает, что функция y f (x) непрерывна в точке

x x0

x0 , если предел функции при x x0 равен значению функции в этой

точке, т.е. lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Если существуют односторонние пределы функции y f (x) в

точке x0 и они равны между собой и равны значению функции в этой точке, то функция y f (x) будет непрерывной в точке x0 .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала,

то она называется непрерывной в интервале.

График непрерывной функции в замкнутом интервале представляет собой сплошную линию без разрывов.

Над непрерывными функциями можно производить арифметические действия и в результате получается непрерывная функция.

Пример 1.19. Исследовать на непрерывность функцию

 

2

4,

если

x 3,

 

 

 

 

x

 

в точке х=3.

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

если

x 3

 

 

 

 

8 x,

 

 

 

 

Решение. Вычислим односторонние пределы функции в точке

х=3. Если x 3 , то

f(x) x2 4 и

lim f (x)

lim (x2 4)=5. Если

 

 

 

 

 

 

x 3 0

x 3 0

же x>3, то f (x) 8 x и

lim

f (x)

lim (8 x) =5. Значение функ-

 

 

 

 

x 3 0

 

 

x 3 0

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

ции f(3) 32 4 5. Так как односторонние пределы равны между

собой в точке х=3 и равны значению функции в этой точке, то функция в точке х=3 будет непрерывной.

Если

функция u (x) непрерывна в

точке x0 , а

функция

y f (u)

непрерывна в точке u0 (x0 ),

то сложная

функция

y f ( (x)) также будет непрерывной в точке x0 .

При исследовании элементарных функций можно сделать вывод, что любая элементарная функция непрерывна в своей области опреде-

ления, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.

2.2. Точки разрыва функции

Если в некоторой точке x0 не выполняется условие непрерывности функции, то в этой точке функция имеет разрыв.

Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции y f (x), если в этой точке функция имеет конечные односторонние

пределы, не равные друг другу, т.е. f (x0 0) f (x0 0). При этом

величина

 

f(x0 0) f (x0 0)

называется скачком функции f (x) в

точке x0 .

x0 называется точкой устранимого разрыва функции

Точка

y f (x), если односторонние пределы функции в этой точке равны

друг другу и

не

равны значению функции в этой точке, т.е.

f (x0 0)

f (x0

0)

f (x0 ). В этом случае для устранения разрыва в

точке x0

нужно положить f (x0 ) f (x0 0) f (x0 0) .

Точка x0

называется точкой разрыва второго рода функции

y f (x), если хотя бы один из односторонних пределов f (x0 0) или f (x0 0) функции в этой точке либо не существует, либо равен бесконечности.

Пример 1.20. Исследовать функцию f (x)

 

x 2

на непрерыв-

 

 

 

 

ность.

x 2

 

 

15

 

 

 

Решение. Точкой разрыва функции является х=2. Во всех других точках числовой прямой функция непрерывна. Вычислим односторон-

ние пределы

 

 

функции в

точке

разрыва.

Если

x<2,

то

f (2 0)

 

lim

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

lim

(x 2)

1. Если

же

x 2,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

x 2 0 x 2

 

 

 

 

x 2 0

 

 

 

 

f (2 0)

 

lim

 

 

 

x 2

 

 

 

 

lim

x 2

1. Так как односторонние преде-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 0 x 2

 

 

 

 

x 2 0 x 2

 

 

 

 

лы в точке х=2 конечны и не равны между собой, то эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен:

f(2 0) f(2 0) 1 ( 1) 2 .

Пример 1.21. Исследовать функцию

f (x)

x2

9

на непрерыв-

 

 

x 3

ность.

Решение. Функция непрерывна на всём множестве действитель-

ных чисел, за исключением точки

х=3. В этой точке функция имеет

разрыв.

 

 

Найдём

 

односторонние

пределы:

f (3 0)

 

x

2 9

lim

(x 3) 6 ,

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 0

x 3

x 3 0

 

 

 

f (3 0)

 

x

2 9

lim (x 3) 6. Односторонние

пределы

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 0

x 3

x 3 0

 

 

 

функции в точке х=3 равны друг с другом, но функция в этой точке не определена. Следовательно, точка х=3 является точкой устранимого

разрыва.

 

Если

положить

f (3) 6 ,

 

то

функция

x2

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, если x 3, будет

непрерывной

на

всей

числовой

f (x) x 3

 

 

6,

 

если

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

Пример 1.22.

Исследовать функцию f (x) 2

x 1

 

на непрерыв-

ность.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки х= 1. Найдём односторонние пределы функции в этой точке:

16

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

левый предел f ( 1 0)

lim 2x 1

 

 

2 0

2

 

0 и правый

 

x 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

f ( 1 0)

lim 2x 1

 

 

2 0

2

 

. Так как один из односто-

 

x 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ронних пределов равен бесконечности, то точка х= 1 является точкой разрыва второго рода.

Пример 1.23. Исследовать на непрерывность функцию

3x 2, если

x 6,

 

 

 

 

8x 15,

если 6 x 3,

x2

 

1

 

 

 

3 x 1,

 

 

 

 

, если

 

 

 

 

 

x 3

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

1 x 0,

 

 

,

если

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

x 0,

1.5,

 

 

 

 

 

 

x 0.

sin x, если

Решение. Исследуем функцию в точках х=

6, х=

3,

х= 1 и

х=0.

 

В

точке

х=

6

левый

 

предел

f ( 6

0)

lim

( 3x 2) 3 ( 6) 2 16

и

 

правый

 

 

 

x 6 0

 

 

 

 

 

 

f ( 6

0)

 

lim

( x2 8x 15)

( 6)2

8 ( 6) 15 3.

Одно-

 

 

 

x 6 0

 

 

 

 

 

 

сторонние пределы конечны и не равны между собой, поэтому в точке

х=

6

 

функция имеет

разрыв

первого

рода.

Скачок

функции

 

3 16

 

19 .

3 левый предел

 

 

 

( x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В точке х=

f ( 3 0) lim

8x 15) 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

и

правый

f ( 3 0)

lim

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 0

x 3

3 0 3

 

0

Один из односторонних пределов равен , а это означает, что в точке х= 3 функция имеет разрыв второго рода.

17

Если

х= 1,

то f ( 1 0)

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

и

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 0

 

x 3

 

 

1 3

 

 

 

f ( 1 0)

lim

x3

 

( 1)3

 

1

,

f ( 1)

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 0 2

2

 

2

 

 

 

 

1 3

1 3

2

 

Так как односторонние пределы функции равны между собой и равны значению функции, то в этой точке функция непрерывна.

Если х=0, то f (0 0) lim

x3

0

 

f (0 0) limsin x 0,

 

 

 

0,

 

 

x 0 0 2

2

 

x 0

f (0) 1.5. Односторонние пределы конечны и равны между собой, но

не равны значению функции в данной точке. Поэтому точка х=0 является точкой устранимого разрыва.

3.Задания для самостоятельной работы

1)Найти частные значения функции:

а)

f (x)

3x2 2

, найти

f ( 1), f (0), f (1) ;

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

f (x) 3x 1, найти f ( 1), f (0), f (2) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

f (x) cos2x sin x, найти f

 

 

, f (0), f ( ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2x2

4,

если

x 1,

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

2,

если 1 x 1,

 

найти

f ( 2), f ( 1), f (3) ;

f (x)

 

 

 

 

 

3x 1,

если

x 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3sin 2x,

если

x 0,

 

 

 

 

 

 

д)

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

если

x 0,

найти

f

 

, f (0),

f ( );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x 1,

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

x 0,

 

 

 

 

 

 

 

е)

f (x)

 

 

 

 

 

,

 

если

 

 

 

f ( 2), f (0), f (2).

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найти

 

 

 

 

2x

3

, если x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Найти области определения функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

;

 

 

 

 

 

 

 

а) f (x)

 

 

x2 2x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

б)

f (x)

2x2

x

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log2 (x 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

f (x)

 

 

 

 

x2 16

 

 

 

 

 

 

sin2

x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 8x 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

f (x)

 

 

 

 

4 25 x

2

 

 

 

log3 (x 4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Исследовать функции на чётность и нечётность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) f (x) 5 x4

; б) f (x) 3x

4

 

; в)

f (x)

2x 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

f (x) 3cos2x x sin x;

 

д)

 

f (x) ex

e x ; е)

 

 

f (x)

5x3

x

;

 

 

 

3x 4x5

4)

Найти пределы функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

 

x2

 

x 2

 

;

 

б)

 

lim

 

x2 3x 4

 

; в)

lim

x2

2x 15

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4 x

2 6x 8

 

 

x 3

x2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

lim

 

 

x2 2x 8

 

;

 

д)

 

 

lim

 

3 2x x2

;

е)

lim

 

 

 

 

5x3 4x

 

 

;

 

 

 

 

x 2 2x2 5x 2

 

 

 

x x

2 4x 2

 

 

x 2 4x2 3x3

 

 

 

 

 

 

 

 

5 2x 3x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж)

lim

 

 

;

 

з)

 

lim

 

 

 

 

 

;

и)

lim

 

 

 

 

2x 3

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

1 4x 3

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 4x

 

 

 

 

1 cos x

 

 

 

 

lim

 

sin

2 3x

 

 

к)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

л)

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

;

м)

lim

 

 

 

 

 

 

; н)

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

x2

 

 

 

 

2 2x

 

 

x 2

 

 

4x 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

x 0 tg

 

 

 

 

 

 

 

tg3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

1 2x

 

 

 

4x 1 2 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

о)

 

lim

 

 

 

 

 

;

п)

 

lim 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

р)

lim

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 sin5x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

x 4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

Исследовать функции на непрерывность в заданных точках:

 

 

а) f (x)

 

4x

, x 1,

x

 

 

 

 

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) f (x)

2x 1

, x 4, x

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) Исследовать функции на непрерывность и указать тип точек разрыва:

19

а) f (x)

 

 

3x 4

 

; б)

f (x)

x2

6x 8

;

 

 

x2

 

3x 4

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

 

 

2x,

если

x 1,

 

 

в)

 

 

 

2 1,

если

 

1 x 2,

 

 

f (x) x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1,

если

x 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x,

 

если x 2,

 

 

г)

f (x)

 

 

2 5,

если

 

2 x 3,

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

7 2x, если x 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

f (x) cos x,

если

0 x

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

,

если

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3,

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

если

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

3 x 1,

 

 

 

x2 6x 8,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

1 x 2,

 

 

 

log1 (x 2),

 

е)

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

,

 

 

 

если 2 x 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,

 

 

 

 

 

если

x 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(x 3), если x 3.

 

 

У ч е б н о – м е т о д и ч е с к о е и з д а н и е

Владимир Валерианович Куприянчик

Методические указания для подготовки к сдаче модуля №3 по теме «Предел и непрерывность функции» и задания для самостоятельной работы

студентов факультета бухгалтерского учёта

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]