Podgotovka_k_sdache_modulya_3
.pdfРешение. Подставим предельное значение х=1 в функцию:
|
x2 |
3x 2 |
|
12 |
|
3 1 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Для раскрытия неопределённости |
||||||||||||||
x 1 x |
2 |
2x 3 |
|
1 |
2 |
|
2 1 3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
разложим числитель и знаменатель на множители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 3x 2 0 , |
x |
|
1, |
x |
2 |
|
2 , |
|
x2 3x 2 (x 1)(x 2) ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 2x 3 0 , |
x |
|
1, |
x |
2 |
3, x2 2x 3 (x 3)(x 1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
|
x2 |
3x 2 |
lim |
(x 1)(x 2) |
|
x 2 |
|
1 2 |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x 1 x2 |
2x 3 |
|
x 1 (x 3)(x 1) |
x 1 x 3 |
|
|
1 3 |
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример 1.13. Найти предел функции |
f (x) |
|
|
2x 9 |
1 |
при х=5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Решение. Подставим вначале значение х=5 в функцию: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2x 9 |
1 |
|
|
|
25 9 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Для раскрытия полученной неоп- |
||||||||||||||||
x 5 |
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределённости числитель и знаменатель функции умножим на выраже-
ние |
|
2x 9 1, |
сопряжённое числителю, и выполним необходимые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2x 9 |
|
2x 9 |
|
|
|
2x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 5 |
|
|
x 5 2x 9 1 |
|
|
|
|
|
x 5 |
|
x 5 |
2x 9 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
=lim |
|
|
|
2x 9 1 |
|
lim |
|
|
|
|
2(x 5) |
|
|
|
|
lim |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 5 x 5 2x 9 1 |
|
|
x 5 x 5 |
2x 9 1 |
|
|
x 5 |
|
|
2x 9 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
2 |
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 5 |
|
|
|
2 5 9 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 1.14. Найти предел lim |
|
|
2 x |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение. При подстановке в функцию предельного значения х=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
2 x |
|
|
|
2 0 |
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
получим: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Умножим числи- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
тель и знаменатель функции на выражение |
|
|
|
|
|
|
|
и выпол- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 x |
2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ним необходимые преобразования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
2 x |
|
2 x |
2 x |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 x 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
|
2 x 2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
2 x (2 x) |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x 0 x |
|
2 x 2 x |
|
|
|
x 0 x |
2 x 2 x |
|
|
|
x 0 |
|
|
2 x 2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 0 |
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пример 1.15. |
|
|
Найти предел функции |
|
f |
(x) |
|
|
6x2 x 1 |
|
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 3x 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Подставим в функцию вместо переменной х её пре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дельное |
|
значение: lim |
|
6x2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
. Получена неопределён- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2x2 |
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность вида |
|
|
|
. Для её раскрытия каждый член числителя и знаменате- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ля разделим на x2 и вычислим предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
3, |
так как функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
, |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
3 |
|
|
|
являются бесконечно малыми при x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Предел lim |
sin x |
1 |
|
называется первым замечательным преде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
лом. Пусть (x) - |
есть бесконечно малая функция при |
x x0 . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Предел |
|
lim 1 |
|
|
e |
|
или |
|
lim 1 x x e |
называ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ется вторым замечательным пределом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пример 1.16. Найти предел функции |
|
f (x) |
sin 4x |
|
при x 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
Решение. lim |
sin 4x |
sin(4 0) |
0 |
|
|
|
. Для раскрытия неопреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 3x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
лённости |
0 |
|
воспользуемся первым замечательным пределом: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
sin 4x |
|
lim |
4 sin 4x |
|
lim |
4 sin 4x |
|
4 |
lim |
sin 4x |
|
|
4 |
1 |
4 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4x |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 3x |
x 0 |
4 3x |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x 0 4x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 1.17. Найти предел lim 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Воспользуемся формулой второго замечательного пре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x |
e : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
дела lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 1.18. Найти предел функции |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формулы lim 1 x |
1 |
|
e : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2 x x lim x 0 2
1
x x
lim 1
x 0 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
||
2 |
|
|||||
|
x |
x |
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 0 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
1 |
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
2. Непрерывность функции одной переменной
2.1. Непрерывность функции в точке
Пусть функция y f (x) определена на некотором множестве
D {x}. Если независимая переменная х переходит от одного своего значения к другому, то разность между конечным х и начальным x0 значениями называется приращением независимой переменной в точ-
ке x0 и обозначается |
x x x0 . |
Отсюда |
можно |
записать, что |
|
x x0 x . Приращением функции |
y f (x) |
в точке |
x0 |
называется |
|
разность y f (x0 x) f (x0 ). |
|
|
|
|
|
Функция y f (x) |
называется непрерывной в точке |
x0 , если её |
приращение в этой точке есть бесконечно малая функция, т.е. если
lim y 0 . Это означает, что функция y f (x) непрерывна в точке
x x0
x0 , если предел функции при x x0 равен значению функции в этой
точке, т.е. lim f (x) f (x0 ) .
x x0
Если существуют односторонние пределы функции y f (x) в
точке x0 и они равны между собой и равны значению функции в этой точке, то функция y f (x) будет непрерывной в точке x0 .
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала,
то она называется непрерывной в интервале.
График непрерывной функции в замкнутом интервале представляет собой сплошную линию без разрывов.
Над непрерывными функциями можно производить арифметические действия и в результате получается непрерывная функция.
Пример 1.19. Исследовать на непрерывность функцию
|
2 |
4, |
если |
x 3, |
|
|
|
|
x |
|
в точке х=3. |
|
|||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
если |
x 3 |
|
|
|
|
8 x, |
|
|
|
|
||||
Решение. Вычислим односторонние пределы функции в точке |
||||||||
х=3. Если x 3 , то |
f(x) x2 4 и |
lim f (x) |
lim (x2 4)=5. Если |
|||||
|
|
|
|
|
|
x 3 0 |
x 3 0 |
|
же x>3, то f (x) 8 x и |
lim |
f (x) |
lim (8 x) =5. Значение функ- |
|||||
|
|
|
|
x 3 0 |
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
ции f(3) 32 4 5. Так как односторонние пределы равны между
собой в точке х=3 и равны значению функции в этой точке, то функция в точке х=3 будет непрерывной.
Если |
функция u (x) непрерывна в |
точке x0 , а |
функция |
y f (u) |
непрерывна в точке u0 (x0 ), |
то сложная |
функция |
y f ( (x)) также будет непрерывной в точке x0 .
При исследовании элементарных функций можно сделать вывод, что любая элементарная функция непрерывна в своей области опреде-
ления, т.е. область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.
2.2. Точки разрыва функции
Если в некоторой точке x0 не выполняется условие непрерывности функции, то в этой точке функция имеет разрыв.
Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции y f (x), если в этой точке функция имеет конечные односторонние
пределы, не равные друг другу, т.е. f (x0 0) f (x0 0). При этом
величина |
|
f(x0 0) f (x0 0) |
называется скачком функции f (x) в |
точке x0 . |
x0 называется точкой устранимого разрыва функции |
||
Точка |
y f (x), если односторонние пределы функции в этой точке равны
друг другу и |
не |
равны значению функции в этой точке, т.е. |
|
f (x0 0) |
f (x0 |
0) |
f (x0 ). В этом случае для устранения разрыва в |
точке x0 |
нужно положить f (x0 ) f (x0 0) f (x0 0) . |
||
Точка x0 |
называется точкой разрыва второго рода функции |
y f (x), если хотя бы один из односторонних пределов f (x0 0) или f (x0 0) функции в этой точке либо не существует, либо равен бесконечности.
Пример 1.20. Исследовать функцию f (x) |
|
x 2 |
на непрерыв- |
|
|
||
|
|
||
ность. |
x 2 |
||
|
|
||
15 |
|
|
|
Решение. Точкой разрыва функции является х=2. Во всех других точках числовой прямой функция непрерывна. Вычислим односторон-
ние пределы |
|
|
функции в |
точке |
разрыва. |
Если |
x<2, |
то |
||||||||||
f (2 0) |
|
lim |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
lim |
(x 2) |
1. Если |
же |
x 2, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|||||||||||
|
|
x 2 0 x 2 |
|
|
|
|
x 2 0 |
|
|
|
|
|||||||
f (2 0) |
|
lim |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
lim |
x 2 |
1. Так как односторонние преде- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x 2 0 x 2 |
|
|
|
|
x 2 0 x 2 |
|
|
|
|
лы в точке х=2 конечны и не равны между собой, то эта точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции в данной точке равен:
f(2 0) f(2 0) 1 ( 1) 2 .
Пример 1.21. Исследовать функцию |
f (x) |
x2 |
9 |
на непрерыв- |
|
|
x 3
ность.
Решение. Функция непрерывна на всём множестве действитель-
ных чисел, за исключением точки |
х=3. В этой точке функция имеет |
||||||||
разрыв. |
|
|
Найдём |
|
односторонние |
пределы: |
|||
f (3 0) |
|
x |
2 9 |
lim |
(x 3) 6 , |
|
|||
lim |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
x 3 0 |
x 3 |
x 3 0 |
|
|
|
|||
f (3 0) |
|
x |
2 9 |
lim (x 3) 6. Односторонние |
пределы |
||||
lim |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
x 3 0 |
x 3 |
x 3 0 |
|
|
|
функции в точке х=3 равны друг с другом, но функция в этой точке не определена. Следовательно, точка х=3 является точкой устранимого
разрыва. |
|
Если |
положить |
f (3) 6 , |
|
то |
функция |
||||
x2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
, если x 3, будет |
непрерывной |
на |
всей |
числовой |
|||
f (x) x 3 |
|
||||||||||
|
6, |
|
если |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Пример 1.22. |
Исследовать функцию f (x) 2 |
x 1 |
|
на непрерыв- |
ность.
Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки х= 1. Найдём односторонние пределы функции в этой точке:
16
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
левый предел f ( 1 0) |
lim 2x 1 |
|
|
2 0 |
2 |
|
0 и правый |
|||
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f ( 1 0) |
lim 2x 1 |
|
|
2 0 |
2 |
|
. Так как один из односто- |
|||
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ронних пределов равен бесконечности, то точка х= 1 является точкой разрыва второго рода.
Пример 1.23. Исследовать на непрерывность функцию
3x 2, если |
x 6, |
|||||||
|
|
|
|
8x 15, |
если 6 x 3, |
|||
x2 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
3 x 1, |
|||
|
|
|
|
, если |
||||
|
|
|
||||||
|
|
x 3 |
|
|
||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
1 x 0, |
|||||
|
|
, |
если |
|||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
если |
x 0, |
|||
1.5, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0. |
||
sin x, если |
Решение. Исследуем функцию в точках х= |
6, х= |
3, |
х= 1 и |
||||||
х=0. |
|
В |
точке |
х= |
6 |
левый |
|
предел |
|
f ( 6 |
0) |
lim |
( 3x 2) 3 ( 6) 2 16 |
и |
|
правый |
|||
|
|
|
x 6 0 |
|
|
|
|
|
|
f ( 6 |
0) |
|
lim |
( x2 8x 15) |
( 6)2 |
8 ( 6) 15 3. |
Одно- |
||
|
|
|
x 6 0 |
|
|
|
|
|
|
сторонние пределы конечны и не равны между собой, поэтому в точке
х= |
6 |
|
функция имеет |
разрыв |
первого |
рода. |
Скачок |
функции |
||||||
|
3 16 |
|
19 . |
3 левый предел |
|
|
|
( x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
В точке х= |
f ( 3 0) lim |
8x 15) 0 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
||
и |
правый |
f ( 3 0) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 3 0 |
x 3 |
3 0 3 |
|
0 |
Один из односторонних пределов равен , а это означает, что в точке х= 3 функция имеет разрыв второго рода.
17
Если |
х= 1, |
то f ( 1 0) |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
и |
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0 |
|
x 3 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|||||||
f ( 1 0) |
lim |
x3 |
|
( 1)3 |
|
1 |
, |
f ( 1) |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 1 0 2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1 3 |
1 3 |
2 |
|
Так как односторонние пределы функции равны между собой и равны значению функции, то в этой точке функция непрерывна.
Если х=0, то f (0 0) lim |
x3 |
0 |
|
f (0 0) limsin x 0, |
|
|
|
|
0, |
||
|
|
||||
x 0 0 2 |
2 |
|
x 0 |
f (0) 1.5. Односторонние пределы конечны и равны между собой, но
не равны значению функции в данной точке. Поэтому точка х=0 является точкой устранимого разрыва.
3.Задания для самостоятельной работы
1)Найти частные значения функции:
а) |
f (x) |
3x2 2 |
, найти |
f ( 1), f (0), f (1) ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
f (x) 3x 1, найти f ( 1), f (0), f (2) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
f (x) cos2x sin x, найти f |
|
|
, f (0), f ( ) ; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
4, |
если |
x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) |
|
|
2, |
если 1 x 1, |
|
найти |
f ( 2), f ( 1), f (3) ; |
||||||||||||||
f (x) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x 1, |
если |
x 1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin 2x, |
если |
x 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
д) |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
x 0, |
найти |
f |
|
, f (0), |
f ( ); |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
cos x 1, |
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
е) |
f (x) |
|
|
|
|
|
, |
|
если |
|
|
|
f ( 2), f (0), f (2). |
||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найти |
|||||||||||
|
|
|
|
2x |
3 |
, если x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) Найти области определения функций: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) f (x) |
|
|
x2 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
f (x) |
2x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log2 (x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
в) |
f (x) |
|
|
|
|
x2 16 |
|
|
|
|
|
|
sin2 |
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 8x 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
f (x) |
|
|
|
|
4 25 x |
2 |
|
|
|
log3 (x 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) |
Исследовать функции на чётность и нечётность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) f (x) 5 x4 |
; б) f (x) 3x |
4 |
|
; в) |
f (x) |
2x 1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
г) |
f (x) 3cos2x x sin x; |
|
д) |
|
f (x) ex |
e x ; е) |
|
|
f (x) |
5x3 |
x |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x 4x5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
|
x2 |
|
x 2 |
|
; |
|
б) |
|
lim |
|
x2 3x 4 |
|
; в) |
lim |
x2 |
2x 15 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 x |
2 6x 8 |
|
|
x 3 |
x2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
lim |
|
|
x2 2x 8 |
|
; |
|
д) |
|
|
lim |
|
3 2x x2 |
; |
е) |
lim |
|
|
|
|
5x3 4x |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 2x2 5x 2 |
|
|
|
x x |
2 4x 2 |
|
|
x 2 4x2 3x3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 2x 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ж) |
lim |
|
|
; |
|
з) |
|
lim |
|
|
|
|
|
; |
и) |
lim |
|
|
|
|
2x 3 |
3 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 4x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 4x 3 |
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 4x |
|
|
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
lim |
|
sin |
2 3x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
к) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
л) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
м) |
lim |
|
|
|
|
|
|
; н) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
x2 |
|
|
|
|
2 2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
4x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 tg |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 2x |
|
|
|
4x 1 2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
о) |
|
lim |
|
|
|
|
|
; |
п) |
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
р) |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 sin5x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
x 4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
Исследовать функции на непрерывность в заданных точках: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) f (x) |
|
4x |
, x 1, |
x |
|
|
|
|
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) f (x) |
2x 1 |
, x 4, x |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Исследовать функции на непрерывность и указать тип точек разрыва:
19
а) f (x) |
|
|
3x 4 |
|
; б) |
f (x) |
x2 |
6x 8 |
; |
||||||||||||
|
|
x2 |
|
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2x, |
если |
x 1, |
|
|
||||||||||||
в) |
|
|
|
2 1, |
если |
|
1 x 2, |
|
|
||||||||||||
f (x) x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 1, |
если |
x 2; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 x, |
|
если x 2, |
|
|
||||||||||||
г) |
f (x) |
|
|
2 5, |
если |
|
2 x 3, |
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 2x, если x 3; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
если |
x 0, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
f (x) cos x, |
если |
0 x |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
, |
если |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
если |
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
3 x 1, |
|
|||||||
|
|
x2 6x 8, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
1 x 2, |
|
||||||
|
|
log1 (x 2), |
|
||||||||||||||||||
е) |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
если 2 x 3, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2, |
|
|
|
|
|
если |
x 3, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x 3), если x 3. |
|
|
У ч е б н о – м е т о д и ч е с к о е и з д а н и е
Владимир Валерианович Куприянчик
Методические указания для подготовки к сдаче модуля №3 по теме «Предел и непрерывность функции» и задания для самостоятельной работы
студентов факультета бухгалтерского учёта
20