Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Podgotovka_k_sdache_modulya_4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

379.37 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Учреждение образования «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

для подготовки к сдаче модуля №4 по теме «Производная функции и её применение» и задания для самостоятельной работы студентов факультета бухгалтерского учёта

Горки, 2012

1. Производная функции одной переменной

1.1. Производная функции

Производной функции y f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда при-

ращение аргумента стремится к нулю:			y' lim	y	. Другими обозна-

			x 0 x
чениями производной могут быть	dy	,	f '(x), fx' .

	dx

Из определения производной следует, что производная функции в некоторой точке есть скорость её изменения в этой точке.

Нахождение производной функции y f (x) называется диффе-

ренцированием этой функции.

Касательной к графику функции y f (x) в точке М называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку.

Геометрический смысл производной функции y f (x) состоит в том, что производная f '(x) в точке х равна угловому коэффициенту

касательной к графику функции в этой точке.

Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от функции пути S(t) по времени t. В

этом состоит механический смысл производной.

Экономический смысл производной состоит в том, что произ-

водная от функции u(t), выражающей количество произведённой продукции в момент времени t, равна производительности труда в этот момент времени.

На практике производные функций находят с помощью формул и правил. Основными формулами дифференцирования являются:

1	C' 0				2	xn '	nxn 1
3	ex ' ex				4	ax '	ax lna
5	ln x '		1		6	loga	x '	1
	ln x '		x			loga	x '	xlna
			x					xlna
7	sin x '	cos x			8	cos x ' sin x
				2

tgx '

ctgx '

cos2 x

sin2 x

arcsin x '

arctgx '

1 x2

Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы в некотором интервале (a,b). Справедливы следующие правила:

1) производная суммы (разности) двух функций равна сумме

(разности) производных этих функций: u v ' u' v';

2) производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой

функции на производную второй: u v ' u' v u v' ;

3)постоянный множитель можно выносить за знак производной:

k u ' k u' ;

4)производная частного двух функций, если знаменатель не равен нулю, равен дроби, знаменатель которой есть квадрат прежнего знаменателя, а числитель равен произведению производной числителя на знаменатель минус произведение числителя на производную знаме-

нателя:

u '

v u v'

Пример 1.1. Найти производные функций:

а)

; б) y 5

;

3x2

3 x

в)

y 2x2

3 sin x ;

г) y

3x2

2x 1

Решение. а)

2 x

3x2

4x 1

3x2

x 2

3 x2

x' 4 x 1

2 3 2x 1 4 ( 1)x 2

( 2)x 3 6x 1

;

3x3

																												4				'					1						3								1		'									1			1
																																'					1						3								1		'												1
			б) y'										5 x 34									x3														5x2				3x4 4x											3				5								x 2
			б) y'										5 x 34									x3														5x2				3x4 4x											3				5								x 2
																										3			x																																2
																													x																																2
		3					1								1					4						5								9						4
		3													1											5								9						4			;
3					x		4 4											x		3
3					x		4 4											x		3
		4														3									2 x 44 x 33 x4
			в)			y' 2x2									3 '					sin x 2x2														3(sin x)'								4x sin x 2x2																			3 cos x;
					y	'				3x2 4 '(2x 1) 3x2 4 (2x 1)																																'			6x(2x 1) 3x2 4 2
		г)																																																																		=
		г)																					(2x 1)2																														(2x 1)2															=
																							(2x 1)2																														(2x 1)2
						12x2						6x 6x2										8						6x2						6x 8							2(3x2 3x 4)															.
												(2x 1)2																		(2x 1)2													(2x 1)2													.
												(2x 1)2																		(2x 1)2													(2x 1)2
			Пример 1.2. Вычислить производную функции
											2				1						3
				y 2x							2				1			5			3		x	2			при x 1.
				y 2x										3x5				5					x				при x 1.
														3x5
																																																	1							3								'
			Решение. Найдём производную:																																				'					2					1							3						2		'
																																					y			2x														5				x
																																					y			2x														5				x
																																															3x5
								1										2	'														1											2		x			1										5							10
		2x2						1	x			5 5x					3					2 2x											1		( 5)x 6 5									2					3	4x									5							10			.
		2x2							x			5 5x					3					2 2x													( 5)x 6 5														3	4x																			.
							3																								3													3															3x6							33 x

Тогда y'							( 1) 4 ( 1)																			5										10			4						5			10				5					2			.
Тогда y'							( 1) 4 ( 1)																																4													5					3			.
																							3 ( 1)6												33 1									3 3													3
			Пример 1.3.															Вычислить производную функции																																					y							x2		3			при
			Пример 1.3.															Вычислить производную функции																																					y							4x 1					при
x 2 .																																																														4x 1
x 2 .
			Решение. Найдём производную функции:
y	'			x2 3 '(4x 1) x2																				3 (4x 1)'														2x(4x 1) x2 3 4

															4x 1 2																												(4x 1)2
															4x 1 2																												(4x 1)2

8x2 2x 4x2 12

4x2 2x 12

. Вычислим значение производ-

(4x 1)2

ной при x 2 : y

4 ( 2)2 2 ( 2) 12

16 4 12 32

(4 ( 2) 1)2

Пример 1.4. Среди функций а)

y 3x2

4 ; б) y 6x 5 ;

в)

y 6x2 x найти такие, производная которых равна 6х.

Решение. Найдём производные: а) y' 3x2 4 ' 6x ;

б)

y' 6x 5 ' 6 ;

в)

y' 6x2 x ' 12x 1. Следовательно,

иско-

мой функцией будет y 3x2 4 .

Пусть функция u (x) имеет в некоторой точке х производную

' (x) , а функция

y f (u)

имеет в

соответствующей

точке

u (x) производную yu'

f '(u). Тогда функция

y f ( (x)) являет-

ся сложной и её производная находится по правилу: производная сложной функции по основному аргументу равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную

промежуточного аргумента по основному аргументу, т.е. y'x yu' ux' .

Это правило распространяется на сложные функции, которые имеют любое конечное число промежуточных аргументов.

Пример 1.5. Найти производные функций: а) y e 3x2 ;

б) y sin3 x; в) y 1 cos 2x .

Решение. а)	Введём промежуточный аргумент u 3x2 . Тогда
y eu , ux' 6x ,	yu' eu , yx' yu' ux' eu ( 6x) 6xe 3x2 .
б) Функцию можно записать в виде y sin x 3 . Введём проме-

жуточный аргумент u sin x , тогда		y u3 . По формулам для произ-
водной сложной функции имеем:
yx' yu' ux' u3 u' (sin x)'x	3u2 cos x 3sin2 xcos x.

в) Запишем функцию в виде y 1 cos2x 12 . Введём промежу-

точные аргументы v 2x

и u 1 cosv . Тогда

y u

. Так как имеем

два промежуточных аргумента, то y' y

' u'

1 cosv '

sin 2x

(2x)x

2 sinv 2 sin 2x (1 cos 2x)

Таким об-

1 cos 2x

разом,

sin2x

1 cos2x

Пусть функция у задана в неявном виде, т.е. в виде уравнения F(x, y) 0 . Для нахождения производной от у по х нужно продиффе-

ренцировать данное уравнение по х, считая при этом у функцией от х. В итоге производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример 1.5. Найти производную функции у, заданной в неявном виде, т.е. уравнением x3 y3 3xy 0.

Решение. Дифференцируем данное уравнение, считая при этом у

функцией от х: x3 y3	3xy ' 0 ,		x3 '	y3 ' (3xy)'			0,
3x2 3y2 y' 3(y xy' ) 0,		3x2 3y2 y' 3y 3xy' 0 ,
x2 y y'(y2 x) 0,	y' y2 x y x2 ,			y'	y x2	.

					y2 x

Если требуется найти производную произведения нескольких функций или дроби, числитель и знаменатель которой содержат произведения, то обе части выражения лучше всего вначале прологарифмировать. Такая операция называется логарифмическим дифференцированием, а производная от логарифма функции называется лога-

рифмической производной.

Производные функций вида y f (x) (x) можно найти лишь способом логарифмического дифференцирования. Такие функции на-

зываются степенно-показательными.

Пример 1.6. Найти производные функций:

а) y (x 5)2 (2x 7)3(x 2) ; б) y 5 x x2 2 , в) y (sin 2x)x2 1 . x 4

Решение. а) Логарифмируем функцию: ln y 2ln(x 5)

3ln(2x 7) ln(x 2) . Найдём производную от обеих частей полу-

ченного выражения: (ln y)'

2ln(x 5) 3ln(2x 7) ln(x 2) '

x 5

x 2

2x 7

x 5

2x 7

y' (x 5)2 (2x 7)3(x 2)

2x 7

x 5

x 2

2x 7

x 5

x 2

x x2

б) Запишем функцию в виде y

и обе части проло-

x 4

гарифмируем: ln y

ln x ln x2 2 ln(x 4) . Найдём производ-

ln x ln x2 2 ln(x 4) '

ные от обеих частей выражения:

ln y '

1 1

т.е. y

5 x

x2 2

x 4

5 x

x2 2

x 4

x x2 2

x 4

x2 2

x 4

в) Функция является степенно-показательной. Поэтому перед диф-

ференцированием её обязательно нужно прологарифмировать:

ln y x2 1 ln(sin2x) . Затем продифференцируем обе части полу-

ченного выражения:

ln y '

x2 1 ln(sin2x) ', т.е.

1 '

ln(sin2x) x2

1 ln(sin2x) ',

2x ln(sin2x) x2	1	1	(sin2x)' ,
		sin 2x

2x ln(sin2x) x2	1	1	cos2x 2,
		sin2x

2x ln(sin2x) 2 x2 1 ctg2x,

y 2x ln(sin2x) 2 x2 1 ctg2x ,

(sin2x)x2 1 2x ln(sin2x) 2 x2 1 ctg2x .

1.2. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой

Если к графику функции y f (x) в точке M0 (x0 , y0 ) проведена касательная, то точка M0 называется точкой касания. Исходя из геометрического смысла производной, угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, т.е. k f '(x0 ) . Тогда уравнение

y y0 f ' (x0 )(x x0 )

является уравнением касательной к графику функции y f (x) в

точке M0 (x0 , y0 ) .

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Так как угловые коэффициенты касательной и нормали обратны по величине и противоположны по знаку, то уравнение

y y0 f '(x0 ) (x x0 )

является уравнением нормали к графику функции y f (x)в точке

M0 (x0 , y0 ) .

Пример 1.7. Найти угол наклона касательной, проведённой к параболе y x2 2x 5в точке касания с абсциссой x0 1.5.

Решение. Производная

функции

2x 2 . Тогда значение

производной в точке x0 1.5равно f ' (1.5)

2 1.5 2 1. Это означа-

ет, что k tg 1. Следовательно, 45 .

Пример 1.8. Написать уравнения касательной и нормали к пара-

боле

2x 3в точке с абсциссой

x0 4 .

Решение. Подставим

x0 4 в уравнение параболы и

найдём

2 4 3 3. Следовательно,

M0 (4,3) есть точка

касания.

y' x 2 . Вычислим значение производ-

Производная функции равна

ной при

4 : f ' (4) 4 2 2. Тогда уравнение y 3 2(x 4)или

2x y 5 0является уравнением касательной. Уравнением нормали

будет y 3 1 (x 4) или x 2y 10 0. 2

1.3. Производные высших порядков. Правило Лопиталя

Пусть функция y f (x) в области D имеет конечную производ-

ную y' f '(x), которая в свою очередь также является функцией от переменной х в этой же области. Производная y' называется произ-

водной первого порядка. Если существует производная от производной первого порядка, то она называется производной второго порядка

или второй производной от функции y f (x)и обозначается y'' или f ''(x) . Производная от производной второго порядка называется про-

изводной третьего порядка или третьей производной и обозначает-

ся y''' или f '''(x)и т.д. Производные, начиная со второго порядка и

выше, называются производными высших порядков.

Пример 1.9. Найти производную четвёртого порядка функции y x3 5x2 4x 1.

Решение. y' 3x2 10x 4; y'' 6x 10; y''' 6; y(4) 0.

Пример 1.10. Вычислить значение производной третьего порядка

функции y sin3xпри x . 3

Решение. Найдём производную третьего порядка:

y'	cos3x 3 3cos3x; y'' 3 ( sin3x) 3 9sin3x;
y'''
	9cos3x 3 27cos3x. Тогда	y'''		27 cos	3

			3			3
27cos 27 ( 1) 27.
	При вычислении предела отношения двух функций						f (x)	в точке

							(x)

x0 может оказаться, что при x x0 числитель и знаменатель одно-

временно стремятся к нулю или к бесконечности, т.е. одновременно являются или бесконечно малыми, или бесконечно большими функциями. Вычисление предела в этом случае называется раскрытием неопределённости и может выполняться по правилу Лопиталя, суть которого в следующем.

Пусть функции f (x) и (x)одновременно стремятся к нулю или

к бесконечности при x x0 и '				(x) 0 в окрестности точки x0 . Если
существует предел отношения производных lim						f '	(x)
								, то справедли-
						'
					x x0		(x)
	f (x)	lim	f '	(x)
во равенство lim					. Это означает,		что в случае неоп-
x x0 (x)		x x0 '		(x)

ределённостей вида 0 или вычисление предела отношения функ-

ций можно заменить вычислением предела отношения их произ-

водных, что может оказаться более простым.

Если же и отношение производных приводит к одной из неопре-

делённостей 0 или , то и к этому отношению можно применить

правило Лопиталя, т.е. исследовать предел отношения производных второго порядка и т.д.

Пример 1.11. Найти пределы: а) lim	x3 5x2 2x 8		;
	2x3 16x2	2x 15
x 1 x4
10

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.02.20165.56 Mб322petuhov_vet_genetika.doc
#
29.02.201661.07 Кб14PIShIM.docx
#
29.02.2016190.98 Кб40Planirovanie_na_predpriatii_gotovye.doc
#
29.02.2016206.34 Кб41Planirovanie_shpory.doc
#
29.02.2016351.7 Кб8Podgotovka_k_sdache_modulya_3.pdf
#
29.02.2016379.37 Кб8Podgotovka_k_sdache_modulya_4.pdf
#
29.02.2016355.18 Кб7Podgotovka_k_sdache_modulya_5.pdf
#
29.02.20163.65 Mб13PODROBNYE_PRAVILA_OFORMLENIYa_v_0_3_3_A5.pdf
#
29.02.20162.58 Mб20Politologia1.pdf
#
29.02.2016108.54 Кб25Polnyy_otchet11.doc
#
29.02.2016116.5 Кб13Ponyatie_i_suschnost_nalogov_ya_1.docx