Podgotovka_k_sdache_modulya_4

Наклонная асимптота графика функции y f (x) определяется

бы один из этих пределов равен бесконечности или не существует, то график данной функции наклонной асимптоты не имеет. Если же k=0,

то b lim f (x) и прямая y=b является горизонтальной асимптотой.

x

Так как асимптоты графика функции y f (x) при x и x могут быть разными, то при нахождении k и b иногда следует отдельно рассматривать случаи, когда x и x .

Пример 2.7. Найти асимптоты графика функции y x 1 . x

Решение. Функция определена в области D(y) ( ,0) (0, ) .

Точка х=0 является точкой разрыва функции. Найдём односторонние

Следовательно, прямая х=0 является вертикальной асимптотой. Прове-

асимптота. Таким образом, данная функция имеет две асимптоты: вертикальную х=0 и наклонную y x.

При исследовании функции y f (x) на экстремум целесообраз-

но придерживаться определённой схемы:

1)найти область определения функции;

2)найти точки разрыва функции, если они есть, и интервалы непрерывности;

3)определить вертикальные асимптоты, если они есть;

21

4) найти производную f '(x) и определить точки, в которых

производная равна нулю и не существует, т.е. найти критические точки функции;

5)критические точки расположить по возрастанию и этими точками разбить область определения функции на интервалы монотонности;

6)найти точки экстремума и экстремальные значения функции;

7)найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;

8)найти наклонные и горизонтальные асимптоты, если они есть;

9)построить график функции.

Если функция y f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом

отрезке она достигает своего наименьшего и наибольшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренних точках отрезка, либо на его концах.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции следует:

1)найти критические точки функции на отрезке [a,b];

2)вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;

3)среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример.2.8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

y 3x4 8x3 18x2 на отрезке [0,4].

x 1 не принадлежит отрезку [0,4]. Вычислим значения функции в

22

3. Функции двух переменных

3.1.Понятие функции двух переменных. Частные производные

Будем рассматривать две независимые переменные х и у. Каждой паре значений х и у на плоскости соответствует точка, для которой х и у являются координатами. Возьмём на плоскости множество точек и обозначим его D {x, y}.

23

Величина z называется функцией переменных величин х и у на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определённое значение величины z. Обозначается функция z f (x, y). Множество D называется областью определения функ-

ции.

Графиком функции двух независимых переменных является некоторая поверхность в пространстве.

Функция z f (x, y) называется непрерывной в точке P0 (x0 , y0 ),

если предел функции f (x, y) при x x0 и y y0 равен её значению

в этой точке, т.е. lim f (x, y) f (x0, y0 ). Функция называется непре-

x x0 y y0

рывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Предположим, что функция z f (x, y)определена в окрестности точки P0 (x0 , y0 ). Дадим независимой переменной х приращение x .

При этом переменная у будет сохранять своё значение. Тогда функция z f (x, y) получит приращение xz f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) по

переменной х в точке (x0, y0 ). Это приращение называется частным приращением функции по переменной х в точке (x0, y0 ). Аналогич-

но определяется частное приращение функции по переменной у в

точке (x0, y0 ): y z f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) .

Частной производной функции z f (x, y) называется предел

отношения частного приращения функции к частному приращению соответствующего аргумента, если последнее стремится к нулю:

По определению частная производная функции двух переменных находится как производная функции одной переменной, когда вторая переменная остаётся постоянной. Поэтому вычисление частных производных ничем не отличается от вычисления производных функции одной переменной и выполняется по тем же правилам.

24

Пример 3.1. Найти частные производные функции двух перемен-

ных z 2x3 y 7xy2 3x 5.

Решение. Найдём частную производную по переменной х, считая переменную у постоянной: z'x 6x2 y 7y2 3. Теперь будем считать,

что переменная х остаётся постоянной: z'y 2x3 14xy .

Предположим, что частные производные z'x и z'y функции

z f (x, y) в свою очередь являются функциями независимых пере-

менных х и у. Тогда частные производные от этих частных производных называются частными производными второго порядка или вторы-

ваются смешанными и они равны между собой.

Пример 3.2. Найти частные производные второго порядка функ-

ции z x3 y2 3xy3 xy 1.

Решение. z'x 3x2 y2 3y3 y , z'y 2x3 y 9xy2 x ,

3.2. Экстремум функции двух переменных

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой области

D {x, y} и пусть точка P0 (x0 , y0 ) D . Точка P0 (x0 , y0 ) называется точкой максимума функции z f (x, y), если f (x0 , y0 ) есть наи-

25

f (x0 , y0 ) есть наименьшее значение функции в окрестности этой точ-

ки. Точки максимума и минимума называются точкамиэкстремума. Значение функции в точке максимума называется максимумом функции, а значение функции в точке минимума – минимумом функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами

функции.

Если в точке P0 (x0 , y0 ) функция z f (x, y) имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю, т.е.

z'x (x0, y0 ) 0 и z'y (x0 , y0 ) 0 . Это необходимые условия экстрему-

ма.

Точка, в которой обе частные производные равны нулю, называется критической точкой функции z f (x, y). Для отыскания кри-

тических точек функции нужно найти её частные производные, приравнять их нулю и решить систему двух уравнений с двумя неизвест-

критических точек функции.

Пусть P0 (x0 , y0 ) является критической точкой функции

z f (x, y). Вычислим частные производные второго порядка в этой

Рассмотренные условия называются достаточными условиями

3.3.Задания для самостоятельной работы

1)Найти частные производные первого и второго порядков

функций: а) z 3x2 4xy2 5y3 2x y 1; б) z 2x2 y3 3x3 y xy;

в) z xy ; г) z (x y) sin(x y). x y

2) Исследовать функции на экстремум:

а) z xy x2 3y2 x 10y 8; б) z 3x2 3xy y2 6x 2y 1; в) z 3xy x2 4y2 4x 6y 1.

У ч е б н о – м е т о д и ч е с к о е и з д а н и е

Владимир Валерианович Куприянчик

Методические указания для подготовки к сдаче модуля №4 по теме «Производная функции и её применение» и задания для самостоятельной работы

студентов факультета бухгалтерского учёта

28