Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Podgotovka_k_sdache_modulya_4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.02.2016

Размер:

379.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

б)

lim

x sin x

;

в)

lim

ln x

x 0

Решение. а)

lim

x3 5x2 2x 8

x 1 x4 2x

3 16x2 2x 15

( 1)3 5 ( 1)2 2 ( 1) 8

={найдём

предел отно-

2 ( 1)

16 ( 1) 2 ( 1) 15

( 1)

шения производных}= lim

x3 5x2 2x 8 '

x 1 x4 2x3 16x2 2x 15 '

= lim

3x2 10x 2

3 ( 1)2 10 ( 1) 2

x 1 4x3 6x2 32x 2

4 ( 1)3 6 ( 1)2 32 ( 1) 2 8

x sin x

0 sin0

б)

lim

={применим правило Лопиталя}=

x 0

x sin x '

1 cos x

1 cos0

1 1

lim

{ещё раз при-

x 0

x3 '

x 0

3x2

3 02

меним правило Лопиталя}= lim

1 cos x '

sin x

sin0

lim

3x2 '

x 0

x 0 6x

6 0

={применим правило Лопиталя в третий раз}= lim

(sin x)

lim

cos x

x 0 (6x)'

x 0

cos0

в)

ln x

ln( )

{применим правило Лопиталя}=

lim

(ln x)'

lim

x 1

x x

Пусть

lim

f (x) и

lim (x) . Тогда нахождение пре-

x x0

дела

lim ( f (x) (x)) приводит к неопределённости вида

. В

x x0

этом случае разность f (x) (x) можно представить в виде

f (x) (x)

(x)

f (x)

и lim f (x) (x)

lim

(x)

f (x)

. В

x x0

(x) f (x)

результате получаем неопределённость вида

которую можно рас-

крыть с помощью правила Лопиталя.

Пример 1.12. Найти предел lim

x 1 x2 1

x 1

Решение. При x 1

функции f (x)

и (x)

явля-

x2 1

x 1

ются бесконечно большими одного и того же знака. Поэтому их раз-

ность приводит к неопределённости вида

. Преобразуем выра-

2 x 1

жение под знаком предела:

lim

=lim

2 1

x 1 x

x 1

x 1 x

=lim

1 x

1 1

=lim

(1 x)'

lim

x 1 x2

x 1 x2 1 '

x 1 2x

Пусть

lim f (x) 0

lim (x) . Тогда при вычислении пре-

x x0

дела lim f (x) (x)

приходим к неопределённости вида

0 . Выра-

x x0

жение

f (x) (x)

преобразуется к виду

f (x)

или

(x)

что приво-

(x)

f (x)

дит к неопределённостям

или

которые можно раскрывать с

помощью правила Лопиталя.

1.4. Задания для самостоятельной работы

Найти производные функций:

а)

y 3x

4x 5 ; б)

y 5x

; в)

y 2x

;

г)

; д) y

3x 4x2 23 x x ln x

;

cos2

е)

y x2

ctgx;

ж)

y x2 2x 5 sin x; з) y

;

x 1

и)

3x 1

; к) y

cos x

; л)

y 3

; м) y

;

3 4x

2 3x

1 sin x

(4x 5)3

(4x 1)2

(2 3x)

;

н)

y e5x2 4 ;

о)

y sin2 (2x 1);

п)

x 1

3 2x 1

р) y x2 4 2x 1 ;

с) y 3

(3 x)2

; т) 5x2 4xy y2 0 ;

(4x 3)5

у) 5x2 10x y2 4xy 0 .

Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в

заданной точке:

а) y 3x2 4x 5, x0 1;

б) y 2x3 5x2 3x 1, x0 1;

в) y x4 2x2 1, x0 2.

Вычислить пределы по правилу Лопиталя:

1 cos x

ln x

3 3x 2

а)

lim

;

б)

lim

;

в)

lim

;

x 0

ex 1

x e2x 2

x 1 x3

x2 x 1

г)

lim

ln(sinx)

; д)

lim

ln(2x )

; е)

lim x ln(sinx).

x 0 ln(1 cos x)

tgx

x 0

2. Исследование функций и построение графиков

2.1. Экстремум функции

При исследовании функции приходится определять характер её поведения. Для этого можно использовать средства дифференциального исчисления.

Пусть функция y f (x) дифференцируема в интервале (a,b). То-

гда справедливы следующие утверждения:

1)если производная f '(x) в интервале (a,b) положительна, то функция y f (x)в этом интервале возрастает;

2)если производная f '(x) в интервале (a,b) отрицательна, то функция y f (x)в этом интервале убывает.

Эти утверждения являются достаточными условиями возрастания и убывания (монотонности) функции.

Пример 2.1. Исследовать функцию y x3 3x 4 на монотон-

ность.

Решение. Функция определена на всём множестве действитель-

ных чисел, т.е. D(y) ( , ) . Найдём производную: y'		3x2	3 .
Функция возрастает, если 3x2 3 0, т.е.	x2 1 0	или	же

(x 1)(x 1) 0. Решив это неравенство, получим, что функция возрас-

тает при	x ( , 1) (1, ) . Функция убывает, если 3x2 3	0 , т.е.
x2 1 0	или (x 1)(x 1) 0. Решив последнее неравенство,	полу-

чим, что при x ( 1,1) функция убывает. Таким образом, интервалами монотонности функции являются ( , 1),( 1,1),(1, ).

Пример 2.2. Исследовать функцию y 1 на монотонность. x 3

Решение. Функция определена в интервалах ( ,3) и (3, ).

Точка х=3 является точкой разрыва второго рода. Производная функ-

ции y'	1	отрицательна во всех точках области определения.
	(x 3)2

Поэтому функция убывает в интервалах ( ,3) и (3, ), которые и являются интервалами монотонности функции.

Особую роль в исследовании функции играют такие значения х, которые отделяют интервалы возрастания и убывания функции. В этих точках функция меняет характер своего поведения.

Функция y f (x) имеет в точке x0 максимум, если f (x0 ) есть наибольшее значение этой функции в некоторой окрестности данной

точки. Функция y f (x) имеет в точке x0 минимум, если f (x0 ) есть наименьшее значение этой функции в некоторой окрестности данной точки.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а максимум и минимум называются экстремумами функции.

Если в точке x0 функция y f (x) достигает экстремума, то её производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует. Это утверждение является необходимым признаком (условием) экстремума.

Следует иметь в виду, что необходимый признак экстремума не является достаточным. Это означает, что если в какой-то точке производная функции равна нулю, то эта точка не обязательно будет точкой экстремума.

Точки, в которых производная функции равна нулю либо не су-

ществует, называются критическими (стационарными).

Пусть функция y f (x) непрерывна в некоторой окрестности точки x0 и всюду в этой окрестности имеет производную, а в точке x0 производная либо равна нулю, либо не существует. Тогда имеет место первый достаточный признак (первое достаточное условие) экстремума:

1) если при переходе через точку x0 слева направо производная функции меняет знак с «+» на «-», то в точке x0 функция имеет мак-

симум;

2) если при переходе через точку x0 слева направо производная функции меняет знак с «-» на «+», то в точке x0 функция имеет мини-

мум;

3) если при переходе через точку x0 производная функции не меняет знак, то в точке x0 функция экстремума не имеет.

При исследовании функции на экстремум имеет смысл придерживаться следующей схемы:

1) найти область определения функции;

2)найти производную функции и приравнять её нулю;

3)решить полученное уравнение f ' (x) 0 и найти критические

точки;

4)в области определения функции найти те точки, в которых производная f '(x) либо равна нулю, либо не существует;

5)все полученные точки расположить в порядке возрастания и разбить область определения этими точками на частичные интервалы,

вкаждом из которых производная сохраняет знак. Таким образом, частичные интервалы являются интервалами монотонности функции;

6)найти знак производной в каждом из частичных интервалов и по знаку производной определить характер изменения функции в каждом из этих интервалов: возрастает или убывает;

7)по изменению знака производной при переходе через границы интервалов монотонности определить точки экстремума;

8)вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 2.3. Найти экстремум функции	1		3		2
	y	x		2x		1.
	y	x		2x		1.
	3

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, т.е. D(y) ( , ) . Найдём производную, приравняем её нулю и решим

полученное уравнение:	y'	x2	4x ,	x2 4x 0, x(x 4) 0,	x 0,
					1
x2 4 . Точки x1 0 и	x2	4	являются критическими. Разобьём об-

ласть определения функции критическими точками на частичные интервалы, которые являются интервалами монотонности функции, и по знаку производной определим характер изменения функции в каждом из этих интервалов:

x	( ,0)	0	(0,4)	4	(4, )

				2
y	возрастает	1	убывает	-9	возрастает
y	возрастает	1	убывает	-9	возрастает
				3
		max		min
y'	+	0	_	0	+

			16

y'( 1) ( 1)2 4 ( 1) 5 0;

y' (2) 22 4 2 4 0;

y' (5) 52 4 5 4 0 . По первому достаточному признаку экстре-

мума в точке х=0 функция имеет максимум, а в точке х=4 – минимум.

	1		3			2		1		3		2	2
При этом:	ymax	0		2	0		1 1, ymin		4		2 4		1 9	.
При этом:	ymax	0		2	0		1 1, ymin		4		2 4		1 9	.
	3							3					3
Таким образом, у=1 и y 9					2	являются экстремумами функции.
Таким образом, у=1 и y 9					3	являются экстремумами функции.
					3
Пример 2.4. Исследовать функцию y								x2	на экстремум.
Пример 2.4. Исследовать функцию y									на экстремум.

x 1

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки х=1, т.е. D(y) ( ,1) (1, ). Найдём производную функции:

' (x 1) x2 (x 1)'

2x(x 1) x2

. Приравняем её

(x 1)2

нулю и решим уравнение

2 2x

. В точке х=1 производная не

(x 1)2

существует, а в точках х=0 и х=2 обращается в нуль. Таким образом, критическими точками функции являются x1 0, x2 1, x3 2. Со-

ставим таблицу:

	x	( ,0)	0		(0,1)			1					(1,2)		2	(2, )

	y	возрастает	0		убывает							убывает			4	возрастает
			max												min

	y'	+	0					не							0	+
								сущ.
									1		2		1
		( 1)2 2 ( 1)		3		' 1							2
													2
'									2				2
y	( 1)				0 ,	y								3 0		,
		( 1 1)2		4			2			1			2
												1
											2	1
											2

			3		2		3
							2				32	2 3	3
		3		2			2
y'		3		2			2	3 0	,	y' 3				0.

											3 1 2		4
	2				3		2				3 1 2		4
						1
					2	1
					2

По первому достаточному признаку экстремума в точке х=0 функция имеет максимум, а в точке х=2 – минимум. При этом макси-

мум функции равен	ymax	0		2	0, минимум равен ymin	2	2	4 .


			0 1			2 1

При исследовании функции на экстремум иногда более удобно использовать производную второго порядка. Пусть x0 - критическая

точка функции y f (x), т.е. f ' (x) 0 , и в этой точке существует

производная второго порядка f ''(x0 ). Тогда имеет место второй дос-

таточный признак (второе достаточное условие) экстремума:

1)если f ''(x0 ) 0, то в точке x0 функция имеет минимум;

2)если f ''(x0 ) 0, то в точке x0 функция имеет максимум;

3)если f ''(x0 ) 0, то для исследования функции на экстремум нужно применять первый достаточный признак.

Пример 2.5. Исследовать функцию y x3 3x2 9x 2 на экс-

тремум.

Решение. Функция определена на всей числовой прямой, т.е.

D(y) ( , ) . Найдём производную		y' 3x2 6x 9 и критические
точки	функции: 3x2 6x 9 0, x2	2x 3 0 ,	x 1 ,	x	2	3.
			1
Найдём производную второго порядка		y'' 6x 6 и вычислим её зна-
чение	в критических точках:	y''( 1) 6 ( 1) 6 12 0				и
y''(3) 6 3 6 12 0 . Таким образом, в точке х=			1 функция имеет
максимум, а в точке х=3 – минимум.

При этом ymax ( 1)3 3 ( 1)2 9 ( 1) 2 1 3 9 2 7 , а ymin 33 3 32 9 3 2 25.

2.2. Выпуклость, вогнутость и асимптоты графика функции

Дуга кривой называется выпуклой, если она целиком лежит ниже касательной, проведённой в любой точке дуги. Дуга кривой называется вогнутой, если она целиком лежит выше касательной, проведённой в любой точке дуги. Точка, которая отделяет выпуклую часть дуги от вогнутой, называется точкой перегиба.

Пусть функция y f (x) и её производные f '(x) и f ''(x) непре-

рывны в интервале (a,b). Тогда, если f ''(x) 0 в интервале (a,b), то

график функции в этом интервале будет выпуклым. Если же f ''(x) 0

в интервале (a,b), то график функции в этом интервале будет вогнутым.

Точки, в которых производная второго порядка f ''(x) функции

y f (x) равна нулю, называются критическими точками второго

рода. Если производная второго порядка f ''(x) при переходе через

критическую точку второго рода меняет знак, то эта точка является

точкой перегиба графика функции. Если же при переходе через эту точку производная второго порядка знак не меняет, то эта точка не является точкой перегиба.

Пример 2.6. Исследовать на выпуклость и вогнутость график функции y x3 3x2 2x 1.

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Найдём производную второго порядка: y' 3x2 6x 2, y'' 6x 6 . Решим

уравнение 6x 6 0 и найдём критическую точку второго рода х=1.

Разобьём область определения функции этой точкой на два интервала:

( ,1)	и (1, ). Так как	f ''(0) 6 0 6 6 0, то	в интервале
( ,1)	график функции выпуклый. В интервале (1, )		график функ-

ции вогнутый, так как f ''(2) 6 2 6 6 0. При переходе через точ-

ку х=1 производная второго порядка меняет знак. Следовательно, х=1

является абсциссой точки перегиба. Тогда y 13 3 12 2 1 1 1

есть ордината точки перегиба.

Прямая L называется асимптотой графика функции y f (x),

если расстояние между точками графика и прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные.

	y					y		y
		y=f (x)
							y = f (x)
						b	y = f (x)		y = f (x)
									y = f (x)
					x


				x0		0	x	0	x
	0			x0		0	x	0	x
			x x0			называется вертикальной асимптотой графика
	Прямая		x x0			называется вертикальной асимптотой графика
функции y f (x),						если предел функции или хотя бы один из одно-

сторонних её пределов в этой точке равен бесконечности, т.е. если

lim f (x) , или	lim f (x) , или	lim f (x) . В этом слу-
x x0	x x0 0	x x0 0

чае точка x0 является точкой разрыва второго рода данной функции.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.02.20165.56 Mб321petuhov_vet_genetika.doc
#
29.02.201661.07 Кб14PIShIM.docx
#
29.02.2016190.98 Кб40Planirovanie_na_predpriatii_gotovye.doc
#
29.02.2016206.34 Кб41Planirovanie_shpory.doc
#
29.02.2016351.7 Кб8Podgotovka_k_sdache_modulya_3.pdf
#
29.02.2016379.37 Кб8Podgotovka_k_sdache_modulya_4.pdf
#
29.02.2016355.18 Кб7Podgotovka_k_sdache_modulya_5.pdf
#
29.02.20163.65 Mб13PODROBNYE_PRAVILA_OFORMLENIYa_v_0_3_3_A5.pdf
#
29.02.20162.58 Mб20Politologia1.pdf
#
29.02.2016108.54 Кб25Polnyy_otchet11.doc
#
29.02.2016116.5 Кб13Ponyatie_i_suschnost_nalogov_ya_1.docx