- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 4.
Обчислити границі:
а) б)в)
Розв´язання.
а) ;
б) ;
в) .
6. Друга важлива границя
Розглянемо дві числові послідовності:
і .
Покажемо, що вони мають такі властивості:
1) xn<yn, n≥1;
2) послідовність xn строго зростаюча;
3) послідовність уп строго спадаюча.
Доведення. Оскільки , то властивість 1 доведена.
Властивості 2) і 3) доводимо за допомогою нерівності Коші:
, де .
Застосуємо цю нерівність до числової множини, яка містить число 1, а також п чисел : 1,,, ...,, де. Отримаємо:
, або піднесемо обидві частини нерівності до степеня п+1: , звідки випливає властивість 2), оскільки наступний член послідовності є більшим за попередній.
Аналогічно для доведення властивості 3) застосуємо нерівність Коші до числової множини, що містить 1 і п чисел , деп≥2, :
або піднесемо обидві частини нерівності до степеня п+1: , що доводить властивість 3).
З доведеного вище випливає нерівність:
х1<x2<…<xn<xn+1<yn+1<yn<…<y2<y1, . Отже послідовність хп зростаюча і обмежена. Тоді за теоремою про границю монотонної функції (теорема 2.4.) вона має границю, яку позначають буквою «е» (це позначення належить Л.Ейлеру):
Оскільки послідовність уп спадаюча і обмежена знизу, то за тією ж теоремою вона теж має границю, а оскільки , то.
Доведено, що е – ірраціональне число. Ш.Ерміт довів, що воно крім того ще й транцендентне, тобто не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами. Його наближене значення з точністю до 10-15 дорівнює 2,718281828459045. Число е широко використовується в математиці та її застосуваннях. Досить часто приходиться зустрічатися з логарифмами за основою е, які називаються натуральними або неперовими (на честь шотландського математика Дж. Непера – винахідника логарифмів) логарифмом числа х.
Теорема 2.8.
Доведення. Спочатку покажемо, що .
Нехай х≥1 і f(x)=n, тоді п≤х<п+1, тоді ,(2.3).
Якщо х→+∞, то п→+∞, тоді за формулою маємо:
,
, застосувавши до (2.3) теорему про границю проміжної функції (теорема 2.3), дістанемо: , що й треба було довести.
Тепер розглянемо х→-∞, х≤-1. Введемо нову змінну у= -х, тоді:
Об´єднавши обидва випадки дістанемо , що й треба було довести.
Зауваження. 1. - друга важлива границя;
2. Поклавши в ,у→0, отримаємо - теж друга важлива границя.
3. Наслідками з другої важливої границі є: ,,,,.
4. При обчисленні границь, пов´язаних з числом е, часто використовують теорему 4 п.3 про граничні переходи.
Приклад 5.
Знайти границі:
а) б)в)г)д)
Розв'язання.
а)
Якщо порівняти умову з другою важливою границею, то бачимо, що є необхідність перетворити дріб таким чином, щоб у чисельнику була 1, тобто . Тепер є необхідним, щоб степінь дорівнювала виразу, що знаходиться у знаменнику, тобто, для цього треба її поділити та помножити на 4. Маємо:
;
б)
Аналогічно до прикладу а), але тут треба ділити на (-4) для того, щоб в дужках отримати дію додавання. Маємо:
;
в)
Внесемо нову змінну у=3х, тоді х=у/3, при х→0 у→0, маємо другу важливу границю:
;
г)
Розглянемо дріб і представимо його у вигляді :
Тепер необхідно, щоб степінь, до якого буде підноситися отриманий вираз, містив дріб .Отже, маємо:
.
д)
Використаємо наслідок з другої важливої границі: . Для цього введемо нову змінну:у=х-10, тоді при х→10 у→0, маємо: