Приклад 4.

Обчислити границі:

а) б)в)

Розв´язання.

а) ;

б) ;

в) .

6. Друга важлива границя

Розглянемо дві числові послідовності:

і .

Покажемо, що вони мають такі властивості:

1) x_n<y_n, n≥1;

2) послідовність x_n строго зростаюча;

3) послідовність у_п строго спадаюча.

Доведення. Оскільки , то властивість 1 доведена.

Властивості 2) і 3) доводимо за допомогою нерівності Коші:

, де .

Застосуємо цю нерівність до числової множини, яка містить число 1, а також п чисел : 1,,, ...,, де. Отримаємо:

, або піднесемо обидві частини нерівності до степеня п+1: , звідки випливає властивість 2), оскільки наступний член послідовності є більшим за попередній.

Аналогічно для доведення властивості 3) застосуємо нерівність Коші до числової множини, що містить 1 і п чисел , деп≥2, :

або піднесемо обидві частини нерівності до степеня п+1: , що доводить властивість 3).

З доведеного вище випливає нерівність:

х₁<x₂<…<x_n<x_n+1<y_n+1<y_n<…<y₂<y₁, . Отже послідовність х_п зростаюча і обмежена. Тоді за теоремою про границю монотонної функції (теорема 2.4.) вона має границю, яку позначають буквою «е» (це позначення належить Л.Ейлеру):

Оскільки послідовність у_п спадаюча і обмежена знизу, то за тією ж теоремою вона теж має границю, а оскільки , то.

Доведено, що е – ірраціональне число. Ш.Ерміт довів, що воно крім того ще й транцендентне, тобто не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами. Його наближене значення з точністю до 10^-15 дорівнює 2,718281828459045. Число е широко використовується в математиці та її застосуваннях. Досить часто приходиться зустрічатися з логарифмами за основою е, які називаються натуральними або неперовими (на честь шотландського математика Дж. Непера – винахідника логарифмів) логарифмом числа х.

Теорема 2.8.

Доведення. Спочатку покажемо, що .

Нехай х≥1 і f(x)=n, тоді п≤х<п+1, тоді ,(2.3).

Якщо х→+∞, то п→+∞, тоді за формулою маємо:

,

, застосувавши до (2.3) теорему про границю проміжної функції (теорема 2.3), дістанемо: , що й треба було довести.

Тепер розглянемо х→-∞, х≤-1. Введемо нову змінну у= -х, тоді:

Об´єднавши обидва випадки дістанемо , що й треба було довести.

Зауваження. 1. - друга важлива границя;

2. Поклавши в ,у→0, отримаємо - теж друга важлива границя.

3. Наслідками з другої важливої границі є: ,,,,.

4. При обчисленні границь, пов´язаних з числом е, часто використовують теорему 4 п.3 про граничні переходи.

Приклад 5.

Знайти границі:

а) б)в)г)д)

Розв'язання.

а)

Якщо порівняти умову з другою важливою границею, то бачимо, що є необхідність перетворити дріб таким чином, щоб у чисельнику була 1, тобто . Тепер є необхідним, щоб степінь дорівнювала виразу, що знаходиться у знаменнику, тобто, для цього треба її поділити та помножити на 4. Маємо:

;

б)

Аналогічно до прикладу а), але тут треба ділити на (-4) для того, щоб в дужках отримати дію додавання. Маємо:

;

в)

Внесемо нову змінну у=3х, тоді х=у/3, при х→0 у→0, маємо другу важливу границю:

;

г)

Розглянемо дріб і представимо його у вигляді :

Тепер необхідно, щоб степінь, до якого буде підноситися отриманий вираз, містив дріб .Отже, маємо:

.

д)

Використаємо наслідок з другої важливої границі: . Для цього введемо нову змінну:у=х-10, тоді при х→10 у→0, маємо: