4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
В попередніх пунктах ми розглянули основні властивості ВІ, які значно спрощують його обчислення, але не давали повної відповіді, як обчислювати ВІ. Вичерпну відповідь на це питання дає теорема Ньютона-Лейбніца, яка вважається основною теоремою інтегрального числення (в якій записано формулу Н – Л).
Теорема 2.3. (основна теорема інтегрального числення). Нехай маємо неперервну на відрізку [a,b] функцію f(х) і нехай F(х) – деяка її первісна на цьому ж відрізку, тоді справедлива рівність
Ця рівність відома під назвою формула Ньютона – Лейбніца.
Доведення.
Нехай маємо
визначений інтеграл
.
Нагадаємо, щоа,
b
– нижня і
верхня межа ВІ. Припустимо, що нижня
межа є постійною (а
= const),
а верхня буде змінюватись (b=x)
і тому значення такого інтеграла також
змінюватиметься. (Можна припустити, що
змінною буде нижня межа, а верхня
постійною, тоді потрібно скористатись
властивістю 9, а саме
).
Таким
чином
=Ф(х)
– це деяка функція, яка буде неперервною
на [a,b]
внаслідок неперервності f(x)
і тому можемо знайти похідну
Згідно означення ми отримали, що функція f (х) має дві первісні F(х) і Ф(х), для яких справедливо
оскільки
Тоді
(*)
Нехай тепер x=a, тоді за властивістю 4, маємо
Тепер значення С підставимо в (*)
Нарешті позначивши x=b і замінивши змінну t на змінну х отримаємо формулу Н-Л. Теорему доведено.
Для зручності можна застосовувати скорочений запис
Приклад 1.
Обчислити
Розв’язання.
Формула Ньютона – Лейбніца не тільки використовується як загальний підхід до знаходження визначених інтегралів, а й вказує на прямий зв'язок між невизначеним і визначеним інтегралами. Тому методи знаходження визначених інтегралів практично нічим не відрізняються від вивчених раніше для невизначених інтегралів.
5. Методи знаходження ві.
5.1. Метод безпосереднього інтегрування
Суть цього методу така ж, як і для одноіменного методу, що формулювався для невизначених інтегралів. Це метод полягає на використанні табличних інтегралів для знаходження первісних, а потім застосуванні формули Н-Л. Також доречно використовувати властивості ВІ, що значно спрощує обчислення.
Приклад 2.
Обчислити:
а)
б)
в)
Розв’язання.
а)
б)
Даний приклад можна розв’язувати по
аналогії з попереднім (розкласти на три
інтеграли, обчислити первісні, а потім
скористатись формулою Н-Л). Але
скориставшись властивістю 4 (
)
можемо відразу отримати відповідь
в)
Зауваження. Типовою помилкою під час обчислення подібних прикладів є те, що вважають е3 не сталою, а функцією. Хоч змінної х цей вираз не містить, тому вона є повноцінною сталою, а інтеграл від сталої дорівнює самій сталій помноженій на змінну інтегрування (х).
5. 2. Метод заміни змінної
Коротко цей метод можна представити у вигляді формули
де f(x) – неперервна функція на відрізку [a, b]; x = j(t) – нова змінна, для якої справедливо
1) j(a) = а, j(b) = b;
2) j(t) и j¢(t) неперервні на [a, b];
3) f(j(t)) визначена на [a, b].
(Доведення аналогічне до доведення формули для невизначених інтегралів).