- •Границя числової послідовності та функції однієї змінної.
- •Тема 1. Числова послідовність та її границя.
- •1. Числова послідовність та способи її задання.
- •Основні способи задання числової послідовності:
- •2. Обмежені та монотонні числові послідовності.
- •3. Границя числової послідовності.
- •Приклад 1
- •Приклад 2
- •4. Нескінченно малі числові послідовності
- •Властивості нескінченно малих послідовностей
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Нескінченно великі числові послідовності
- •6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
- •1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
- •2. Властивості функцій, які мають границю в точці
- •3. Арифметичні властивості границь функції
- •Теореми про граничні переходи.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •4. Границя функції на нескінченності
- •Приклад 3.
- •5. Перша важлива границя
- •Приклад 4.
- •6. Друга важлива границя
- •Приклад 5.
- •7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Приклад 6.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
- •Приклад 7.
- •Тема 3. Неперервність функції.
- •1. Односторонні границі функції.
- •Приклад 1.
- •2. Означення неперервності функції в точці і на проміжку.
- •3. Арифметичні дії над неперервними функціями.
- •4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.
- •Класифікація точок розриву
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Диференціальне числення функції однієї змінної.
- •Тема 1: Похідна.
- •1. Задачі, які приводять до поняття похідної.
- •Приклад 1.
- •Приклад 2.
- •2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.
- •Правило знаходження похідної за означенням.
- •Приклад 4.
- •3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю
- •Приклад 5.
- •4. Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •5. Правила диференціювання.
- •Приклад 6.
- •Приклад 7.
- •Приклад 8.
- •Приклад 9.
- •Приклад 1.
- •2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.
- •Приклад 2.
- •3. Застосування диференціала.
- •Приклад 3.
- •4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.
- •Приклад 4.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Тема 3. Теореми про середнє. Правила Лопіталя.
- •1. Теорема Ферма.
- •2. Теорема Ролля.
- •Приклад 1.
- •3. Теорема Лагранжа.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 1.
- •2. Локальний екстремум функції.
- •З’ясуємо умови існування локального екстремуму.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •3. Найбільше і найменше значення функції.
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину.
- •Приклад 7.
- •5. Асимптоти кривої.
- •Приклад 8.
- •6. Схема дослідження функції та побудова її графіка.
- •Приклад 9.
- •Інтегральне числення функції однієї змінної
- •Тема 1. Невизначений інтеграл
- •Поняття первісної та невизначеного інтегралу
- •Приклад 1.
- •Властивості невизначеного інтеграла (ні).
- •4. Основні методи інтегрування
- •4.1. Метод безпосереднього інтегрування (мбі)
- •Приклад 2.
- •4.2. Метод заміни змінної (мзз)
- •Приклад 3.
- •4.3. Метод інтегрування частинами (міч)
- •Приклад 4.
- •Цей метод використовують під час обчислення інтегралів виду
- •Приклад 5.
- •Загальне правило інтегрування раціональних дробів.
- •Приклад 6.
- •Він зводиться до інтеграла від раціональної функції підстановкою . Приклад 7.
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •Обчислити
- •4.6. Біноміальний диференціал
- •Приклад 8.
- •4.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •Приклад 10.
- •Поняття визначеного інтеграла.
- •2. Властивості визначеного інтеграла.
- •4. Теорема Ньютона-Лейбніца (н-л)
- •Приклад 1.
- •5. Методи знаходження ві.
- •5.1. Метод безпосереднього інтегрування
- •Приклад 2.
- •5. 2. Метод заміни змінної
- •Приклад 3.
- •Приклад 4.
- •5.3. Метод інтегрування частинами
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Формули зведення. Формула інтегрування частинами
- •Приклад 7.
- •Приклад 2.
- •Приклад 3.
- •Площа криволінійного сектора
- •Приклад 4.
- •3. Обчислення довжини дуги
- •Приклад 5.
- •Приклад 6.
- •Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
- •9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
- •Приклад 10.
- •Приклад 11.
- •Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій
- •Приклад 12.
Приклад 7.
Обчислити
Розв´язання.
Тут P(n)=3n2-4n+5, Q(n)=n3-8n, які при мають границею нескінченність,m=2, k=3, тому ділимо кожен член многочленів на n3 і з´ясовуємо до чого прагне кожен з отриманих членів.
Зауваження. Проміжні дії позначають в квадратних дужках.
Приклад 8.
Обчислити:
1) 2)3)
Розв´язання.
1) ;
2) ;
3) .
Зауважимо, що тут не відбувається ділення на нуль, оскільки знаменник лише прагне до нуля, але йому не дорівнює, а при діленні на дуже маленьке число отримується дуже велике, тому отримали нескінченність.
Проаналізуємо отримані відповіді приклада 8. В прикладі 8.1. степені чисельника і знаменника однакові і в результаті отримали відношення коефіцієнтів при старших степенях ( в чисельнику – число 5, в знаменнику – (-1)). В прикладі 8.2. степінь чисельника менше за степінь знаменника, це означає, що знаменник прямує до нескінченності швидше ніж чисельник, а отже їх відношення буде дорівнювати нулю. В прикладі 8.3., навпаки, степінь чисельника більше за степінь знаменника, це означає, що чисельник прямує до нескінченності швидше ніж знаменник, а отже їх відношення дорівнює нескінченності. Маємо ще таке правило.
Правило. Для того, щоб обчислити границю числової послідовності при , яка задається як відношення двох многочленіводнієї змінної п степенів т і к відповідно, і кожен з яких має границю, що дорівнює нескінченності, необхідно порівняти ці степені, якщо:
1. т=к, то границя дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших степенях заданих многочленів;
2. m<k, то границя дорівнює нулю;
3. m>k, то границя дорівнює нескінченності.
Правило. Для того, щоб обчислити границю числової послідовності при , яка задається як многочлен, який містить ірраціональні вирази, необхідно помножити його та поділити на вираз, спряжений до заданого.
Приклад 9.
Обчислити
Розв´язання.
Тема 2. Границя функції неперервного аргументу.
Означення границі функції за Гейне і за Коші.
Властивості функцій, які мають границю в точці.
Арифметичні властивості границь функції.
Границя функції на нескінченності.
Перша важлива границя.
Друга важлива границя.
7. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
1. Означення границі функції за Гейне і за Коші.
Розглянемо функціюy=f(x), де аргумент змінюється неперервно (набуває всіх значень з певного проміжку (a;b), крім, можливо, однієї внутрішньої точки даного проміжку)
Наприклад. Розглянемо функцію f(х) =х2+1 , коли х наближається
до числа 2.
Як видно з рисунка 2, коли х наближається до числа 2 зліва або справа, то значення функції наближається до числа 5, тобто ці значення мало відрізняються від числа 5. Отже, значення функції f(х)=х2+1 при х→2 має границею число 5.
Записують це так:
З геометричної точки зору попередній приклад
можна пояснити так. Якщо на осі Оу побудувати відрізок завдожки 2ε з центром в точці 5 (його називають ε-околом точки), то всі значення функції, які містяться в ньому будуть
задовольняти нерівність 5-ε<f(x)<5+ε, або -ε<f(x)-5<ε,
або за властивостями модуля: |f(x)-5|<ε. Проте поведінка функції залежить від значень, яких набуває аргумент х. З´ясуємо геометрично, для яких х виконується отримана нерівність. Для цього опустимо з кінців відрізка [5-ε; 5+ε] перпендикуляри на вісь Ох. Позначимо отриманий відрізок на осі Ох через [2-δ; 2+δ], отже в нього потраплять всі значення аргумента, при яких значення функції потраплять в ε-окіл точки 5. Алгебраїчно це означає, що при |x-2|<δ | f(x)-5|<ε.
Можна зробити такі висновки. Якщо число А є границею функції y=f(x) при х→х0, то значення функції як завгодно близько наближаються до числа А, коли значення аргументу х як завгодно близько наближаються до числа х0.
Наприклад. Розглянемо функцію , колих
наближається до числа 3. На відміну від попереднього прикладу, функція в точці 3 є невизначеною, тому скористаємось її графіком (рис.3). Як видно з нього, при х→3 функція має границею число 6.
Отже, .
Значення δ>0 для будь-якого наперед заданого числа ε>0 можна знайти алгебраїчним способом, розв´язавши відповідну нерівність |f(x)-А|<ε відносно |x-x0|. Так для попереднього прикладу задамо ε>0 і знайдемо відповідне значення δ>0, таке щоб для всіх х≠3 і таких, що |x-3|<δ виконувалось |f(x)-6|<ε. Матимемо: . Розв´яжемо цю нерівність відносно |x-3|. Враховуючи, що х≠3, маємо:
. Отже в даному випадку за δ можна взяти δ=ε.
Існують такі два означення функції в точці: за Гейне (через послідовності) та за Коші (через ε-δ-окіл).
Означення 2.1. (означення границі функції в точці за Гейне). Нехай функція визначена в околі Х точких0 крім можливо самої точки х0. Число А називається границею функції в точці х0, якщо для будь-якої послідовності числові послідовностімають своєю границею числоА. Позначення:.
Означення 2.2. (означення границі функції в точці за Коші). Нехай функція визначена в околі Х точких0, крім, можливо, самої точки х0. Число А називається границею функції в точці х0, якщо для будь-якого ε>0 існує δ(ε) >0, що для всіх х із околу Х, таких, що , виконується нерівність .
Означення за Гейне і за Коші – еквівалентні.
У наведених вище означеннях границі вважалося, що х прямує до х0 довільним способом: залишаючись меншим від х0 (зліва від х0), більшим х0 (справа від х0) чи коливаючись навколо х0 , тобто, набуваючи значень то менших, то більших відх0 (то зліва то справа від х0), як амплітуда затухаючих коливань маятника. У зв’язку з цим вводяться поняття односторонніх границь.
Означення 2.3. Нехай функція визначена в деякому околі точких0. Число А називається границею функції зліва (або лівосторонньою) в точці х0, якщо для будь-якого ε>0 існує δ(ε) >0 таке, що при виконується нерівність .
Позначають
Означення 2.4. Нехай функція визначена в деякому околі точких0. Число В називається границею функції справа (або правосторонньою) в точці х0, якщо для будь-якого ε>0 існує δ(ε)>0 таке, що при виконується нерівність .Позначають .