Приклад 1.

Обчислити:

а) б)

Розв´язання.

а) ;

б) .

Правило (розкриття ).Для того щоб обчислити границю дробу, що містить ірраціональні вирази у випадку, коли границя і чисельника і знаменника дробу дорівнює нулю, необхідно перенести ірраціональність із чисельника в знаменник або із знаменника в чисельник і після цього виконати необхідні спрощення (зведення подібних членів, скорочення тощо) та перейти до границі.

Приклад 2.

Обчислити границю:

Розв´язання.

4. Границя функції на нескінченності

Досліджуючи функції, визначені на нескінченних проміжках, часто доводиться вивчати поведінку цих функцій при як завгодно великих за модулем значеннях аргументу х, тобто при .

Нехай функція визначена на інтервалі

Означення 2.5. Число А називається границею функції на нескінченності при , якщо для будь-якогоε>0 існує М(ε)>0, що для всіх х>М(ε) виконується нерівність , і позначають:.

Означення 2.6. Число В називається границею функції при х→-∞, якщо для будь-якого ε>0 існує число N(ε)>0, що для всіх х<N(ε) виконується нерівність , і позначають:

Означення 2.7. Нехай функція визначена на проміжку (-∞;+∞). ЧислоА називається границею функції на нескінченності (при ), якщо для будь-якого ε>0 існує М(ε)>0, що для всіх |х|>М(ε) виконується нерівність , і позначають:.

Геометрично (рис.4) це означає, що для будь-якого ε>0 існує

М(ε)>0, що для всіх або привідповідні значення функції попадають вε-окіл точки А, тобто відповідні

точки графіка цієї функції лежать у смузі, обмеженій прямими у=А+ε, у=А-ε.

Для границі функції на нескінченності виконуються ті ж самі властивості, що й для границі функції в точці,

а також ті правила, що використовуються при

обчисленні границі числової послідовності.

Правило (розкриття ). Для того щоб обчислити границю дробово-раціональної функції у випадку, коли при х→∞ чисельник та знаменник дробу мають границі, що дорівнюють нескінченності, необхідно кожен член многочленів чисельника та знаменника дробу розділити на х в найвищому степені та перейти до границі.

Правило (розкриття ()). Для того щоб обчислити границю функції, що містить ірраціональні вирази у випадку, коли кожен з них має нескінченну границю, необхідно помножити та розділити заданий вираз на вираз, спряжений до нього і після цього виконати необхідні спрощення (зведення подібних членів, скорочення тощо) та перейти до границі.

Приклад 3.

Знайти границі:

а) в)д)

б) г)е)

Розв´язання.

а) ;

б) ;

в) ;

г) (оскільки показникова функція з основою більше за 1 є зростаючою);

д) ;

е)

5. Перша важлива границя

При знаходженні границі тригонометричної функції можна незалежну змінну замінити її граничним значенням, якщо воно належить області визначення функції.

Наприклад.

Задача. Довести, що при 0<x<π/2 справедлива нерівність .

Розв´язання.

Візьмемо коло з центром у довільній точці О з радіусом, що дорівнює одиниці, і розглянемо гострий кут АОВ, хорду АВ і дотичну АС до кола у точці А (рис.5). Тоді площа трикутника АОВ менше за площу трикутника АОС і менше за площу сектора АОВ:

Нехайх-радіанна міра кута АОВ, тоді довжина дуги АВ дорівнюватиме добутку радіуса на радіанну міру кута, тобто , тоді площа сектора;

;

, оскільки трикутник АОС

прямокутний (АС – дотична за умовою), то ,

тоді:

.

Отже, маємо:

, ,.

Твердження доведено. Задача розв’язана.

Теорема 2.7.

Доведення. Нехай х>0. Оскільки х розглядається в малому околі нуля, то можна припустити, що 0<x<π/2.

Скористаємось доведеним вище твердженням: що при 0<x<π/2 справедлива нерівність . Оскільки на цьому проміжку, то поділивши всі члени останньої нерівності наотримаємо:

, або . Оскількиі, то затеоремою 2.3. маємо .

Нехай тепер -π/2<x<0. Введемо нову змінну х´>0 за формулою х= -х´. Тоді:

Отже, теорема доведена повністю.

Зауваження. - це є перша важлива границя.