Приклад 5.

Обчислити довжину кола

Розв’язання.

1 спосіб.

З ШКМ відомо, що довжина кола обчислюється за формулою звідки

2 спосіб.

Виразимо змінну у із рівняння кола, отримаємо

Маємо явно задану функцію у= f(х), тому скористаємось формулою

Спочатку знайдемо похідну

Для знаходження меж інтегрування, виконаємо рисунок (рис.32).

Взявши межі від -1 до 1 ми обчислимо довжину півкола

тому довжина кола буде

L= 2.

(Під час розв’язання даної задачі радіус кола дорівнював одиниці, якщо ж покласти його рівним R, то отримаємо відому формулу довжини кола).

3 спосіб.

Запишемо рівняння кола

в полярній системі координат. Для цього використаємо формули переходу

Отримаємо

Таким чином отримали, що коло радіусом 1 буде мати в полярних координатах рівняння

звідки

Тепер враховуючи, що використаємо формулу для обчислення довжини дуги, яка задана в полярних координатах

Відповідь:

4. Обчислення об’єму довільного тіла

Нехай маємо деяке тіло, яке визначене на відрізку [a,b] з об’ємом V. Припустимо, що відомо площі поперечних перерізів даного тіла (в противному разі безпосереднє застосування визначеного інтеграла для обчислення об’єму довільного тіла не можливе). Позначимо через Q = Q(x) – неперервну функцію, яка визначає площу будь-якого поперечного перерізу тіла (рис.33).

Виконаємо розбиття відрізку [a,b] точками х_i, і=0,1,2,…п

Проведемо через точки розбиття х_i площини і=0,1,2,…п, які перпендикулярні відрізку [a,b] і розбивають тіло на п частин, які відповідно мають площі Q₀(x), Q₁(x), … Q_п(x). Якщо , то набір цих частин прямуватиме до об’єму тіла, тобто

.

Недоліком цієї формули є неможливість її застосування для знаходження об’ємів складних тіл, оскільки складно записати аналітично функцію Q(x).

Приклад 6.

Обчислити об’єм кулі радіусом R.

Розв’язання.

Поперечними перерізами кулі є набір кіл, радіуси яких (позначимо їх через у) змінюються від 0 до R в залежності від точок розбиття х_і. Тоді функція площ поперечних перерізів має вид:

.

Отримаємо

.

ПРИКЛАД 7.

Обчислити об’єм довільної піраміди з висотою Н і площею основи S.

Розв’язання.

Поперечними перерізами піраміди (площинами перпендикулярними висоті) є набір многокутників подібних основі. Коефіцієнт подібності цих фігур обчислюється за формулою

де х – відстань від площини перерізу до вершини піраміди (рис.34).

З шкільного курсу математики відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності в квадраті, тобто

де - площі поперечних перерізів.

Тоді

5. Обчислення об’єму довільного тіла

Нехай маємо криволінійну трапецію, яка утворена за допомогою неперервної на відрізку [a, b] кривої y = f(x). Якщо обертати дану криволінійну трапецію навколо осі Ох, то отримаємо тіло обертання (рис.35).

Поперечними перерізами тіла обертання є набір кругів, радіуси яких обчислюються за формулою

Тоді функція

є неперервною функцією, яка визначає площу будь-якого поперечного перерізу тіла і об’єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

6. Обчислення площі поверхні тіла обертання

Теорема 3.1. Площа бічної поверхні тіла обертання обчислюється за формулою

ПРИКЛАД 8.

Обчислити площу сфери радіусом R.

Розв’язання.

Сфера утворюється обертанням кола, рівняння якого

.

Отримаємо

7. Обчислення роботи

Нехай маємо деяку матеріальну точкуМ, яка рухається з пункту А в пункт В по траєкторії, довжина якої дорівнює L і задається неперервно диференційованою кривою . Сила яка спричиняє рух точки напрямлена по дотичній до траєкторії (рис.36)

Виконаємо розбиття відрізку [0,L] точками х_і, і=1,2,3,…п і позначимо найбільший з відрізків розбиття через . Якщо збільшувати кількість точок розбиття, тоі переміщення точкиМ на кожному з відрізків розбиття [x_i-1,x_i] можна вважати прямолінійним, тому робота по переміщенню точки вздовж відрізка

[x_i-1,x_i] буде обчислюватись за формулою

(де -елементарна робота, - сила,- довільна точка з відрізка [x_i-1,x_i], - довжина цього відрізка). Таким чином загальна сума всіх елементарних робіт буде інтегральною і дорівнюватиме

Тому робота по переміщенню точки M вздовж відрізка [0,L] по кривій y=f(x) обчислюватиметься за формулою

ПРИКЛАД 9.

Обчислити роботу, яку потрібно затратити, щоб підняти з поверхні землі людину масою 70 кг. на висоту 1км.

Розв’язання.

Земля має форму кулі радіусом R. Тоді згідно закону Ньютона сила, з якою земля притягає тіло, обчислюється за формулою

де - гравітаційна стала, -маса тіла, -маса землі, -відстань між центрами тіла і землі.

Якщо людина стоїть на поверхні землі (зростом людини знехтуємо), то початкова точка відправлення а кінцева .

Таким чином справедливо