6. Арифметичні властивості збіжних числових послідовностей.

Теорема 1.6. Якщо числова послідовність (х_п) має границю, то вона єдина.

Доводиться методом від супротивного і пропонується на самостійний розгляд читачем.

Теорема 1.7. Границя суми (різниці) скінченного числа збіжних числових послідовностей дорівнює сумі (різниці) границь цих послідовностей.

Доведення. Нехай задано к збіжних числових послідовностей: (х_п), (у_п), ..., (z_п), та їх суму (w_n)= (х_п)+ (у_п)+...+(z_п).

Доведемо, що , деА, В,..., W– сталі числа. За теоремою 1.3. різниця між збіжною послідовністю та її границею є величина нескінченно мала, тому збіжну послідовність можна подати у вигляді суми границі та нескінченно малої величини: (х_п)=A+(α_п) (у_п)=B+(β_п)..., (z_п)=W+(γ_п), де (α_п), (β_п)..., (γ_п)- нескінченно малі. Отже сума заданих збіжних числових послідовностей можна подати у вигляді:(w_n)=(A+B+…+W)+(α_п+β_п+...+γ_п), де вираз у других дужках є нескінченно малою величиною за властивістю нескінченно малих. Тоді за теоремою 1.3. вираз у перших дужках і є границею для (w_n), що й треба було довести. Оскільки різницю двох виразів можна подати у вигляді суми (за означенням різниці), то теорема доведена повністю.

Приклад 5.

Знайти границю суми та різниці двох послідовностей: ,

Розв´язання

Розглянемо дві послідовності ,очевидно, що,, оскільки- нескінченно мала числова послідовність, то. Затеоремою 1.7. послідовність збіжна, її границя. Послідовністьзбіжна, її границя.

Теорема 1.8. Границя добутку скінченого числа збіжних числових послідовностей дорівнює добутку границь цих послідовностей.

Доведення. Нехай задано к збіжних числових послідовностей: (х_п), (у_п), ..., (z_п), та їх добуток (w_n)= (х_п) (у_п)...(z_п). Доведемо, що

, де A, B,..., W– сталі числа. Доведемо теорему спочатку для двох послідовностей. За теоремою 1.3. (х_п)=A+(α_п), (у_п)=B+(β_п), тоді маємо: (w_n)=(х_п)(у_п)=AB+(Bα_п+Aβ_п+α_пβ_п), де вираз у других дужках є нескінченно малою величиною за властивістю нескінченно малих. Тоді за теоремою 1.3. вираз у перших дужках і є границею для (w_n), що й треба було довести.

Розглянемо тепер три збіжні числові послідовності (w_n)=(х_п)(у_п)(t_п). Тоді: , оскільки для двох послідовнoстей дана теорема є справедливою. Продовжуючи аналогічно можна довести справедливість твердження для скінченого числа числових послідовностей.

Наслідки із теореми 1.8.

1) Сталий множник можна виносити за знак границі

, с – сonst

2) , k – натуральне число

Теорема 1.9. Якщо послідовності (х_п) і (у_п) - збіжні (у_п)≠0, n є N то числова послідовність теж збіжна і виконується рівність(≠0)

Доведення. Нехай ,. Тоді затеоремою 1.3. (х_п)=A+(α_п) (у_п)=B+(β_п), де (α_п), (β_п ) - нескінченно малі. Покажемо, що

. Дійсно, , де другий дріб є нескінченно малою величиною, тому. Теорема доведена.

Приклад 6.

Обчислити границі:

а) б)в)

Розв´язання.

а) , оскільки- нескінченно мала;

б) (за наслідком 1 зтеореми 1.8. сталу величину виносимо за знак границі, та враховуємо приклад а));

в) .

Наступні теореми подаємо без доведень.

Теорема 1.10. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Зауваження. Згідно з теоремою 1.10., будь-яка збіжна послідовність обмежена. Обернене твердження не справджується. Таким чином, властивість обмеженості є тільки необхідною умовою збіжності числової послідовності.

З теореми 1.10. випливає умова розбіжності послідовності: якщо послідовність (у_п) не є обмеженою, то вона розбіжна.

Теорема 1.11. Будь-яка обмежена та монотонна послідовність збіжна або, будь-яка обмежена зверху (знизу) неспадна (незростаюча) послідовність збіжна.

Теорема 1.12. Нехай числові послідовності ,,мають границі іта виконується нерівність. Тодімає границю і ця границя дорівнює числу A.

Теореми про граничні переходи.

1. Якщо число а>0, а змінна х_п має скінченну границю, то має місце формула

2. Якщо число а>0, а змінна х_п приймає лише додатні значення і має границю, що не дорівнює нулю, то має місце формула: , тобто можна переходити до границі під знак логарифма.

3. Якщо змінна х_п має скінчену границю, то має місце формула: , тобто можна переходити до границі під знак кореня ( у випадку парного числа т припускають, що х_п>0 і корінь шукається арифметичний).

Для обчислення границі числової послідовності, яка задається як відношення двох многочленів існуєправило.

Для того, щоб обчислити границю числової послідовності при , яка задається як відношення двох многочленіводнієї змінної п степенів т і к відповідно, і кожен з яких має границю, що дорівнює нескінченності, необхідно кожен член заданих многочленів розділити на найбільший степінь числа п, і з´ясувати до чого прагне кожен з отриманих членів заданого відношення. Це правило спирається на властивості дробу і зв´язок нескінченно малої послідовності з нескінченно великою послідовністю.