2. Властивості функцій, які мають границю в точці

Теорема 2.1. Якщо функція має границю в точціх₀, то ця границя єдина.

Теорема 2.2. (про граничний перехід у нерівностях). Якщо в деякому околі точки х₀, крім, можливо, самої точки х₀, виконується нерівність f(x)≥0 і існує границя, тоВ≥0.

Доведення. Припустимо, що В<0, тоді при маємо, тому, тобто, що суперечить умові. Теорема доведена.

Наслідок. Якщо в деякому околі точки х₀, крім, можливо, самої точки х₀, виконується нерівністьі функції,мають скінченні границі в точціх₀, тоді .

Теорема 2.3. (про границю проміжної функції). Нехай функції ,,визначені в околі Х точких₀, крім, можливо, самої точки х₀, і (2.1) та виконується нерівність . Тодімає границю в точціх₀ і ця границя дорівнює числу А.

Доведення. З рівності (2.1) випливає, що для довільного ε>0 існують два околи точки х₀, в одному з яких виконуються нерівності , а в другому:. З (2.2) знаходимо, що, тому в меншому з околів виконуються нерівності. Звідси, тобто. Що й треба було довести.

Теорема 2.4. (про границю монотонної функції). Якщо функціямонотонна і обмежена приx<x₀ або при x>x₀, то існує відповідно її ліва границя або її права границя.

3. Арифметичні властивості границь функції

Теорема 2.5. Границя сталої функції в будь-якій точці дорівнює сталій:

Теорема 2.6. Нехай функції імають скінчену границю в точціх₀, тоді ,,,теж мають скінчену границю в точціх₀ і виконуються рівності:

при

Доведення. Нехай , тоді затеоремою 1.3. маємо f(x)=А+α₁(x), g(x)=В+ α₂(x), де α₁(x)→0, α₁(x)→0 при х→х₀. Звідси маємо:

За властивостями нескінченно малих величин вирази у квадратних дужках є нескінченно малими при х→х₀:

, ,

,

тому застосувавши до останніх трьох рівностей теорему 1.3., отримаємо те, що треба було довести.

Наслідки: 1)- сталий множник можна виносити за знак границі.

2. ,

Теореми про граничні переходи.

1. Якщо число а>0, а функція f(х) має скінчену границю при х→х₀, то має місце формула

2. Якщо число а>0, а функція f(х) приймає лише додатні значення і має границю при х→х₀, що не дорівнює нулю, то має місце формула: , тобто можна переходити до границі під знак логарифма.

3. Якщо функція f(х) має скінчену границю при х→х₀, то має місце формула: , тобто можна переходити до границі під знак кореня (у випадку парного числа т припускають, що f(х)>0 і корінь шукається арифметичний).

4. Якщо існують границі ,причому, то існує границя, яка обчислюється за формулою:

Правило. Границя цілої раціональної функції в заданій точці х₀ дорівнює значенню цієї функції в цій точці, тобто, якщо F(х) = а_nхⁿ + а_n-1x^n-1 + … + а₁x+a₀, то

Наприклад:

1)

2)

В результаті підстановки граничного значення аргумента, може виникнути невизначенності таких видів:

1) відношення двох нескінченно великих величин – ();

2) різниця двох нескінченно великих величин – ();

3) добуток нескінченно малої функції на нескінченно велику – ();

4) відношення двох нескінченно малих величин - ;

5) невизначеність виду 0⁰, ∞⁰, 1^∞.

Правило. При обчисленні границі дробово-раціональної функції необхідно в аналітичний вираз функції замість аргумента підставити його граничне значення, якщо при цьому знаменник не перетвориться на нуль.

Правило (розкриття ). Для того щоб обчислити границю дробово-раціональної функції у випадку, коли при х→х₀ чисельник та знаменник дробу мають границі, що дорівнюють нулю, необхідно чисельник та знаменник дробу розділити на (х - х₀) та перейти до границі.

Якщо і після цього чисельник та знаменник нового дробу мають границі рівні нулю при х→ х₀, то необхідно виконати повторне ділення на (х – х₀) (це правило спирається на наслідок з теореми Безу).