Приклад 2.

Знайти локальні екстремуми функції у=х⁴-х³.

Розв’язання.

1) Область визначення – всі дійсні числа, D(y)=R.

2) Знайдемо стаціонарні точки функції: у' =х³-3х². х³-3х²=0 х²(х-3)=0 х=0 або х=3.

3) точок, в яких похідна не існує, нема. Тому розглянемо 3 інтервали: (-∞; 0), (0; 3), (3; +∞) і визначимо знак похідної на кожному з них. у'(-1)= -1-3= - 4; у'(1)= 1-3= - 2; у'(4)=64-48=16. Як бачимо, при переході через точку х=0 похідна не змінила знак, тому ця точка не є точкою локального екстремуму. При переході через точку х=3 похідна змінила знак з – на +, тому точка х=3 є точкою локального мінімуму.

4) Знайдемо локальний мінімуму функції: у_min=y(3)= ·81-27= - 6, 75

Теорема 4.5 (друга достатня умова існування екстремуму). Нехай точка є стаціонарною для функціїу=і нехай в околі цієї точки існує неперервна похідна другого порядку, яка не дорівнює нулю. Тоді, якщо, тоє точкоюлокального мінімуму, якщо , тоє точкоюлокального максимуму функції у=.

З теорем 4.3 і 4.5 випливає друге правило дослідження функції на локальний екстремум.

Щоб дослідити функцію у=на локальний екстремум,треба:

1) знайти область визначення функції;

2) знайти стаціонарні точки заданої функції (для цього треба розв’язати рівняння , з коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками існування функції);

3) знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці. Якщо в стаціонарній точці , тоє екстремальною точкою для функціїу=, а саме, точкоюмінімуму, якщо , і точкоюмаксимуму, якщо .

Приклад 3.

Дослідити на локальний екстремум: функцію .

Розв’язання.

1) оскільки задана функція є многочленом, то область визначення R.

2) Знаходимо похідну:. Прирівнюємо похіднудо нуля і розв’язуємо рівняння:Отримали стаціонарні точки:

3) Знаходимо похідну другого порядку: Підставляємо у вираз длязначенняі:Отже,є точкою локального максимуму,— точкою локального мінімуму функції, причому локальний максимум і мінімум відповідно дорівнюють.

Теорема 4.6 (третя достатня умова існування екстремуму). Нехай в околі стаціонарної точки х₀ існує неперервна похідна f⁽ⁿ⁾(x), причому f⁽ⁿ⁾(x)≠0, f'(x)=f''(x)=…= f^(n-1)(x)=0. Тоді:

1) якщо n – парне і f⁽ⁿ⁾(x)<0, то функція має в точці х₀ локальний максимум;

2) якщо n – парне і f⁽ⁿ⁾(x)>0, то функція має в точці х₀ локальний мінімум;

3) якщо n – непарне, то функція в точці х₀ локального екстремуму не має.

Приклад 4.

Дослідити на екстремум в точці х=0 функцію у=е^х+е^-х+2cosx.

Розв’язання.

Маємо: у' = е^х-е^-х-2sinx, у'(0)=0; у''= е^х+е^-х-2cosx, у''(0)=0; у'''= е^х-е^-х+2sinx, у'''(0)=0; y⁽⁴⁾= е^х+е^-х+2cosx, y⁽⁴⁾ (0)=4>0. Отже, задана функція в точці х=0 має локальний мінімум. y_min= y(0)=4.

3. Найбільше і найменше значення функції.

Нехай на відрізку задано неперервну функціюy=, тоді за теоремою Вейєрштрасса функція на даному відрізку досягає свого найбільшого і свого найменшого значень. Це може статися як всередині відрізка, так і на його кінцях.

Якщо функція набуває найбільшого значення всередині відрізка, то це найбільше значення є одночасно і один з максимумів (локальний максимум) заданої функції. Теж саме можна сказати про найменше значення функції. Але може бути й так, що одне із значень функція набуває всередині відрізка, а друге на одному з кінців.

Звідси випливає правило знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку :

1) знайти критичні точки функції;

2) обчислити значення функції в критичних точках, які належать відрізку, і на кінцях відрізка;

3) найбільше (найменше) значення серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .