Приклад 3.

Знайти точки розриву та з’ясувати їх характер для функції

Розв’язання.

Оскільки область визначення даної функції точкою х=0 поділяється на два проміжки, то ця точка може бути точкою розриву. Для з’ясування цього обчислимо односторонні границі даної функції в цій точці.

, ,у(0)=0 – отже односторонні границі функції існують, але вони не рівні між собою, тому х₀— точка розриву функції із скінченним стрибком.

—стрибок.

Зауваження. Точки розриву усувного характеру та зі скінченним стрибком називаються точками розриву першого роду.

3) До точок розриву другого роду відносяться всі точки, в яких функція не має хоча б однієї одностороньої границі або хоча б одна з них дорівнює нескінченності.

Приклад 4.

Знайти точки розриву та з’ясувати їх характер для функціїу=1\х.

Розв’язання.

Оскільки на нуль ділити не можна, то точкою розриву даної функції є х=0. Для з’ясування її характеру обчислимо односторонні границі даної функції в цій точці.

, . Отже односторонні границі функції дорівнюють нескінченності, томух— точка розриву функції другого роду.

5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Означення 3.7. Точка х₀ називається нулем функції , якщо.

Теорема 3.6. (Больцано-Коші). Якщо функція неперервна наі на кінцях цього відрізку приймає значення різних знаків, то на інтервалі(а;b) обов’язково існує точка с, така, що .

Геометричний зміст (рис.7) цієї теореми полягає

в тому, що неперервна крива при переході з однієї півплощини в другу, межею між якими є вісь Ох, перетинає цю вісь. Ця теорема застосовується при розв’язуванні рівнянь і лежить в основі так званого методу половинного поділу (або методу «вилки»).

Теорема 3.7. (Больцано-Коші про проміжне значення функції). Якщо функція неперервна на відрізкуі приймає на його кінцях різні значення, то для будь-якого числаА, що міститься між числами іна інтерваліобов’язково існує точкас, така що .

Доведення:

Нехай А належить. Розглянемо допоміжну функцію,неперервна наяк різниця двох неперервних функцій. Припустимоf(a)>f(b) (при f(a)<f(b) міркування будуть аналогічними). Знайдемо ,, оскільки(за припущенням та умовою теореми). Це означає, що функціянабуває різних знаків на кінцях відрізка, а отже в силу попередньої теореми, існує така точкас, в якій функція дорівнює нулю, тобто:,. Що й треба було довести.

Теорема 3.8. (Вейєрштрасса про обмеженність неперервної функції). Якщо функція неперервна на відрізкуто вона на цьому відрізку обмежена.

Теорема 3.9. (Вейєрштрасса про найбільше і найменше значення функції на відрізку). Якщо функціянеперервна на відрізку, то вона на цьому відрізку набуває найбільшого значення хоча б в одній точці та найменшого значення хоча б в одній точці.

Зауваження. Розривні функції, взагалі кажучи, цих властивостей не мають.

Диференціальне числення функції однієї змінної.

Тема 1: Похідна.

1. Задачі, які приводять до поняття похідної.

2. Означення похідної. Спосіб знаходження похідної. Геометричний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної та нормалі до плоскої кривої.

3. Диференційовні функції. Зв’язок неперервності з диференційовністю.

4. Таблиця похідних основних елементарних функцій.

5. Правила диференціювання.

6. Логарифмічна похідна.

7. Похідна функції, заданої параметрично. Диференціювання неявно заданої функції.