1. Теорема Ферма.

Теорема 3.1. (Ферма). Нехай функція y=f(x) неперервна на інтервалі (a; b) і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Якщо в цій точці с існує похідна f'(c), то f'(c)=0.

Доведення.Нехай функція y=f(x) набуває в точці с свого найбільшого значення, тобто . Оскільки точкас є внутрішньої точкою інтервалу, то приріст ∆х може бути як додатним, так і від’ємним. Нехай ∆х>0. Розглянемо . Різниця≤0,тому ≤0 і ≤0, тобто f'(c)≤0 (*). Якщо ∆х<0, то ≥0 і≥0, тобтоf'(c) ≥0 (**). З умов (*) і (**) випливає, що f'(c)=0, що й треба було довести.

Геометричний зміст: якщо в точці с функція у=f(x) досягає найбільшого або найменшого значення, то дотична до графіка цієї функції в точці (с; f(с)) паралельна осі Ох (рис.11).

2. Теорема Ролля.

Теорема 3.2. (Ролля). Нехай виконуються умови:

1. функція у=f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b]

2. функція у=f(x) диференційовна на інтервалі (a;b)

3. на кінцях відрізка функція приймає рівні значення: f(a)=f(b).

Тоді на інтервалі (a;b) існує точка с така, що (значення похідної функції в цій точці дорівнює нулю).

Доведення. Випадок 1. Функція у=f(x) на відрізку [а; b] є ста­лою: f (х)=соnst. Тоді f′(х)=0, тобто в кожній точці х (а; b) похідна дорівнює нулю, а тому за точку с можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справджуватися.

Випадок 2. Функція у=f(x) не є тотожно сталою на відрізку [а; b]. Оскільки задана функція є неперервною, то вона на відрізку [а; b] набуває найбільшого і найменшого значень (за теоремою Вейєрштрасса). Позначимо їх відповідно через М і т. Зрозуміло, що т < М.

Оскільки f (а)= f(b), то хоча б одне із значень М або т досяга­ється функцією у внутрішній точці інтервалу. За теоремою Ферма похідна в такій точці дорівнює 0.

З'ясуємо геометричний зміст теореми Ролля. Якщо функція у=f(x) задоволь­няє умови теореми Ролля, то: 1) графік функції є суцільна лінія (у=f(x) неперервна на відрізку); 2) до кривої, що є графіком функції, в кож­ній точці можна провести дотичну; 3) крайні точки графіка розташо­вані на однаковій відстані від осі Ох. Тоді на графіку функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі Ох.

Зазначимо також, що на кривій може бути і більше ніж одна точка, в якій дотична до кривої паралельна осі. У теоремі Ролля йдеться про існування хоча б однієї точки, тобто таких точок може бути і більше.

Слід звернути увагу також на те, що всі три умови теореми Ролля є суттєвими. Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то теорема Ролля не справджуватиметься.

Приклад 1.

Чи виконується теорема Ролля для функції у=х²-4х+3 на відрізку [1;3]? Для якого значення с?

Розв’язання.

Задана функція є многочленом, а тому вона визначена, неперервна і диференційовна на R, зокрема і на відрізку [1;3]. у(1)=1-4+3=0; у(3)=9-12+3=0. Отже, у(1)=у(3). Теорема Ролля виконується. Знайдемо с. у'=2х-4; 2х-4=0, отже, с=2.

3. Теорема Лагранжа.

Теорема 3.3. (Лагранжа) Нехай виконуються умови:

1. функція у=f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b];

2. функція у=f(x) диференційовна на інтервалі (a;b),

Тоді на (a;b) існує точка с така, що виконується рівність .

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

x є [a;b]

1. функція у=F(x) визначена, неперервна на [a;b] (як різниця неперервних функцій)

2. функція у=F(x) диференційована на (a;b) (як різниця двох диференційованих)

3. F(а)=F(b);

Дійсно,

Отже, за теоремою Ролля існує точка с є (a;b) така, що: .Знайдемо похідну допоміжної функції: .А тому. Теорема доведена.

Формулу можна переписати як. Останню називаютьформулою Лагранжа, або формулою скінчених приростів.

Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа (рис.12). Якщо функція задовольняє умови теореми Лагранжа, то ; з іншої сторони,. Томуtgα=f'(c). Тобто на графіку функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді АВ.