2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала.

Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко отримати із відповідних властивостей похідної. Якщо u та v диференційовні функції від х, с- стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:

; ;;d(cu)=cdu.

Розглянемо диференціал складеної функції. Нехай y=f(и(x)), функція у=f(u) диференційовна в точці u_0, функція u=и(x) диференційовна в точці х₀, причому u₀=и(x₀). Тоді dy=(f(и(x)))_х′dxdy=f ′(и)du,тобто, dy=y′dx.

Отже, диференціал складеної функції має той самий вигляд, що і диференціал простої. Цю властивість називають інваріантністюдиференціала.

Приклад 2.

Знайти диференціал функції y=ln cos 4x : а) для довільних значень х і dx; б) для х=і dx=0,1.

Розв’язання.

а) Користуючись формулою для обчислення диференціала, знаходимо: dy=( ln cos 4x )'dx=4·(-sin 4x)·dx= -4tg 4xdx;

б) якщо х=і dx=0,1, то dy=-4 tg·0,1= -4·1· 0,1= -0,4.

3. Застосування диференціала.

Диференціал функції використовують для обчислення наближеного значення функції.

Відомо, що для диференційованої функції має місце рівність: причому0, якщо∆х0. Тодіі, або.

Приклад 3.

Обчислити наближено .

Розв’язання.

Нехай . Оскільких₀+∆х=4,01, то х₀=4, ∆х=0,01. Обчислимо ==2. Обчислимо значення похідної функції в точціх₀=4: f'(x)=f'(4)=0,25. Тоді =0,25·0,01=0,0025. Маємо:=2+0,0025=2,0025.

4. Похідні та диференціали вищих порядків. Механічний зміст похідної другого порядку.

Нехай функція y=f(x )є диференційовною, x є [а;b], її похідна f ′(x₀) – функція, яка є також диференційовною. Тоді можна знайти похідну (f ′(x))′=f ′′(x) – це похідна другого порядку, або друга похідна функції y=f(x ).

Наприклад. Знайти похідну 2-го порядку функціїозначає знайти похідну цієї функції:і отриману функцію продиференціювати:.

Аналогічно можна означити похідну 3-го, 4-го і вищих порядків. В загальному випадку маємо таке означення:

Означення 2.4. Похідну першого порядку (якщо вона існує) від похідної (n-1)-го порядку функції y=f(x )називають похідною n-ого порядку або n-ою похідною цієї функції.

Позначення: ,у^IV…або ,у⁽⁴⁾, або .

Механічний зміст другої похідної полягає у наступному: прискорення – це є друга похідна по часу від переміщення.

Справедливі формули:

1) якщо у= сf (х), де с = соnst, а функція у=f (х) має в деякому околi точки х похідні до п-го порядку, то y⁽ⁿ⁾=c f ⁽ⁿ⁾(x);

2) якщо у=(f₁(х)±f₂(х)±...±f_m(x)), де функції у=f_к(х), к = 1,2, ..., т, в точці х і деякому її околі мають похідні до n-го по­рядку, то

у⁽ⁿ⁾ = (f₁⁽ⁿ⁾ (х) ± f₂⁽ⁿ⁾ (х) ± ...± f_m⁽ⁿ⁾ (x);

3) якщо функції у=f₁ (х) i у= f₂ (х) в точці х і в деякому її околі мають похідні до n-го порядку включно, то для похідної n-го порядку від добутку у = f₁ (х)f₂ (х) має місце формула Лейбніца

,

де — кількість комбінацій з п елементів по к,,при цьому вважають, що f₁⁽⁰⁾(x)=f₁(x), f₂⁽⁰⁾(x)=f₂(x).

Розглянемо похідні вищих порядків неявно заданої функції. Нехай функція y=f(x) задана неявно рівністю F(x,y)=0. Диференціюючи цю рівність по х і розв’язуючи отримане рівняння відносно похідної у', знайдемо першу похідну. Щоб знайти другу похідну, потрібно продиференціювати першу похідну і в отримане співвідношення підставити її значення. Продовжуючи диференціювання, можна знайти похідні будь-якого порядку (якщо вони існують). Всі вони будуть виражатися через незалежну змінну х і саму функцію у.