3. Арифметичні дії над неперервними функціями.

Теорема 3.2. Нехай інеперервні в точці. Тоді їх сума, різниця, добуток і частка (за умови, що знаменник не дорівнює нулю) теж неперервні в точці, тобто,,,(3.1.) неперервні в точціх_0.

Доведення. Оскільки за означенням неперервні в точці х₀ функції f(x) і g(x) мають границі, що дорівнюють f(x₀) і g(x₀), то за властивістю границі суми, різниці, добутку та частки, границі функцій (3.1.) існують і відповідно дорівнюють,,,. Але ці величини дорівнюють значенням відповідних функцій. Отже функції (3.1.) за першим означенням неперервності є непреревними в точціх₀. Що й треба було довести.

Теорема 3.3. (про неперервність складеної функції). Якщо функція u=φ(x) неперервна в точці х₀, а функція y=f(u) неперервна в точці u₀=f(x₀), то складена функція y=f(φ(x)) неперервна в точці х₀.

Доведення. Для доведення теореми досить встановити, що . Оскільки функціяu=φ(x) за умовою неперервна в точці х₀, то , тобто прих→х₀ значення функції и→и₀. Тому внаслідок неперервності функції y=f(u) маємо: . Що й треба було довести.

Як відомо, елементарною називається така функція, яку можна задати однією формулою, яка містить скінчене число арифметичних дій і суперпозицій основних елементарних функцій. Оскільки елементарні функції неперервні в усіх точках, в яких вони визначені, то з теорем 3.1. і 3.2. випливає така теорема.

Теорема 3.4. Всяка елементарна функція неперервна в кожній точці, в якій вона визначена.

Зауваження. Якщо функціянеперервна в точці, то за означенням. Тому, щоб обчислити границю функції в точці, в якій вона неперервна, достатньо обчислити значення функції в цій точці.

4. Одностороння неперервність. Точки розриву та їх класифікація.

Якщо функціямає в точціграницю справа і вона дорівнює значенню функції в цій точці, то кажуть, що функціянеперервна в т.справа.

Якщо має границю в точцізліва, яка дорівнює значення функції в цій точці, то кажуть, щонеперервна в точцізліва.

Теорема 3.5. (необхідна і достатня умова неперервності функції в точці). Для того, щоб функція була неперервною в т.необхідно і достатньо, що вона була неперервною справа і зліва, тобто, виконувалася рівність

Означення 3.6. Точка, в якій функція не є неперервною, називається точкою розриву функції, а сама функція в цій точці називається розривною.

Класифікація точок розриву

1) Якщо односторонні границі функції в точці існують і рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в точці, або функція в цій точці невизначена, тобто,або не існуєf(x₀), то в цьому випадку називаютьточкою розриву усувного характеру.

Зауваження. Ця назва пов’язана з тим, що функцію можна зробити неперервною, якщо в точці розриву надати функції значення, яке дорівнює границі цієї функції в цій точці.

Приклад 2.

Знайти точки розриву та з’ясувати їх характер для функції

Розв’язання.

Оскільки область визначення даної функції точкою х=0 поділяється на два проміжки, то ця точка може бути точкою розриву. Для з’ясування цього обчислимо односторонні границі даної функції в цій точці.

,- перша важлива границя,у(0)=2 – за умовою.

Односторонні границі рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в точці х=0, тому ця точка – точка розриву усувного характеру.

2) Якщо односторонні границі функції в точці існують, але між собою не рівні. В цьому випадку точку х₀ називають точкою розриву із скінченним стрибком, а величину називаютьстрибком функції.