8. Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину

З ШКФ відомо, що тиск рідини на горизонтальну площадку занурену в рідину визначається за формулою

де - густина рідини,- прискорення вільного падіння (9,8 м/с),- глибина занурення,- площа площадки (тіла занурення).

Якщо ж тіло занурювати вертикально, то потрібно використовувати наступну формулу

9. Невласні інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченого , так щоіснує.

Означення 3.2. Границя приназиваєтьсяневласним інтегралом від функції на нескінченному проміжку і позначається так:.

Якщо ця границя скінчена, то невласний інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), то —розбіжним.

Вважаючи, що f(x) — інтегровна для скінчених a та b, тобто , формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд

, де

Приклад 10.

Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле

Для розв’язування задачі розглянемо такі три випадки:

1. р = 1. інтеграл розбіжний.

2. p < 1. , інтеграл розбіжний.

3. p > 1. , інтеграл збіжний.

Отже, інтеграл Діріхле збіжний при p>1, та розбіжний при .

Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх на збіжність існують і інші методи. Одним з таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона

,

особливість якого полягає у тому, що первісна для підінтегральної функції не виражається через елементарні функції.

В деяких випадках достатньо встановити лише збіжність чи розбіжність розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом порівняння, що базується на такій теоремі:

Теорема 3.2. Якщо при має місце нерівність, то із збіжності інтегралавиходить збіжність інтегралаабо із розбіжностівипливає розбіжність.

Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома, наприклад, інтеграл Діріхле.

Приклад 11.

Дослідити збіжність інтеграла .

Розв'язання.

.

—збіжний, як інтеграл Діріхле із р = 2 > 1, тому буде збіж­ним і .

Обчислення невласних інтегралів від розривних (необмежених) функцій

Нехай неперервна на проміжкута прих = а має розрив 2-го роду.

Означення 3.3. називаєтьсяневласним інтегралом від розривної (необмеженої) функції . Якщо ця границя існує, то інтеграл називаєтьсязбіжним, а якщо не існує, то — розбіжним.

Для обчислення таких невласних інтегралів використовують такі формули:

0. 1) — точка розриву,

0. 2) — точка розриву,

3) — точка розриву,

.

Зауваження. До невласних інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для , не можна застосувати формулу Ньютона-Лейбніца.

Приклад 12.

Обчислити .

Розв’язування.

Неправильне розв’язування. .

Правильне розв’язування. ,— точка розриву 2-го роду функції— невласний.

інтеграл розбіжний.

110