Інтегральне числення функції однієї змінної

Тема 1. Невизначений інтеграл

1. Поняття первісної та невизначеного інтегралу (надалі НІ).

2. Властивості НІ.

3. Табличні інтеграли.

4. Основні методи інтегрування

   1. Метод безпосереднього інтегрування (МБІ)

   2. Метод заміни змінної (МЗЗ)

   3. Метод інтегрування частинами (МІЧ)

   4. Метод інтегрування раціональних дробів (МІРД)

   5. Метод інтегрування ірраціональних виразів (МІІВ)

   6. Біноміальний диференціал

   7. Інтегрування тригонометричних функцій (ІТФ)

1. Поняття первісної та невизначеного інтегралу

Нехай функція f(x) буде визначена на деякому проміжку (це може бути інтервал, півінтервал чи відрізок числової осі). Надалі, для зручності, будемо вважати, що всі функції визначені на одному й тому ж відрізку.

Означення 1.1. Функція F(x) визначена на , називаєтьсяпервісною функції на, якщо для всіхвиконується рівність.

Іншими словами функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(x) на проміжку E, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку E і позначається

, ,

де — знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування, що вказує по якій змінній ведеться інтегрування.

Геометричний зміст невизначе­ного інтеграла полягає у тому, що функція є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які одержуються одна з другої шляхом паралельного переносу вздовж осі ординат в залежності від значеньС (рис.15).

Приклад 1.

Знайти первісну для функції

Розв’язання.

Очевидно, що первісною буде бо

Виникає питання, скільки первісних має функція? Очевидно, що якщо функція має первісну для всіх то первісною буде також оскільки деС - довільне число. Тобто, справедлива лема

Лема 1.1. Якщо функція має первіснутодля неї первісною буде також функція де - стала.

Таким чином, якщо функція має хоча б одну первісну, то вона має безліч первісних, які відрізняються між собою сталими.

Означення 1.2. Сукупність всіх первісних функціїназивають невизначеним інтегралом від функції і позначають

де знак інтеграла,- підінтегральна функція,- підінтегральний вираз,- змінна інтегрування,первісна функції.

2. Властивості невизначеного інтеграла (ні).

Надалі для спрощення позначимо невизначений інтеграл абревіатурою НІ і наведемо п’ять його властивостей з доведенням.

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції

Доведення. Справедливість цієї властивості випливає з означення НІ та первісної, а саме

2. Диференціал від НІ дорівнює підінтегральному виразу

Доведення. Ця властивість випливає з означення диференціала та попередньої властивості. Таким чином

що й потрібно було довести.

Наступна властивість є наслідком властивостей 1 та 2.

3. НІ від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції та сталої

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла

Доведення. Справді, врахувавши довільність вибору сталої з означення НІ випливає

5. Адитивна властивість. Інтеграл від суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій

Доведення. Справді, врахувавши довільність вибору сталої з означення НІ випливає

3. Таблиця основних інтегралів

Операція знаходження невизначеного інтеграла називається операцією інтегру­ван­ня. Ця операція є оберненою до операції диференціювання і тому будь-яку формулу виду можна записати у виглядіТаким чином з таблиці похідних нескладно отримати таблицю інтегралів, наприклад

Таблиця основних інтегралів

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Щоб переконатись у справедливості цих інтегралів потрібно проди­ферен­ціювати­­ ліву і праву частини рівностей.