Приклад 2.

Обчислити площу фігури обмеженої лініями

Розв’язання.

Виконаємо рисунок (рис.27). Розіб’ємо дану фігуру на дві частини і окремо обчислимо їх площі. Знайшовши їх суму отримаємо відповідь.

Знайдемо межі інтегрування. Для цього розв’яжемо систему

Отже, враховуючи, що функція набуває недодатних значень на відрізку[-1,1] та її парність, площа обчислюється за формулою

Аналогічно, враховуючи, що функція у=1-х² набуває невід’ємних значень на відрізку [-1,1] та її парність:

Отже, (кв. од.)

Якщо фігура, площу якої шукають, обмежена зверху функцією f(х), а знизу – g(х) (рис.28), то площу такої фігури обчислюють за формулою

Тобто від верхньої функції віднімається нижня

Приклад 3.

Обчислити на відрізку площу фігури обмеженої лініями

Розв’язання.

Виконаємо рисунок (рис.29)

Для знаходження меж інтегрування розв’язуємо систему

Тепер враховуючи, що верхньою функцією є функція синуса, а нижньою – пряма, будемо мати

(кв. од.)

Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично х=х(t), y=y(t) , де х=х(t), y=y(t) – неперервні функції, які мають на відрізку [α,β] неперервні похідні, тоді, якщо х(t) на відрізку [α,β] є монотонною, причому х(α)=а, х(β)=b, то для обчислення площі криволінійної трапеції користуються формулою:

2. Площа криволінійного сектора

В шкільному курсі математики (ШКМ) вивчалась трапеція, а у вищій школі ми вивчили більш загальне поняття – криволінійна трапеція. Так само узагальнимо поняття сектора і введемо поняття криволінійного сектора.

Означення 3.1. Криволінійним сектором (КС) називають фігуру, яка обмежена двома променями, що виходять з однієї точки і деякою неперервною функцією (рис.30).

Для обчислення площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Суть якої полягає в наступному. Координати будь-якої точки в цій системі визначається за допомогою:

1. полюса О,

2. полярної осі О,

3. довжини радіус-вектора , що сполучає полюс і дану точку (координати якої визначають),

4. кута нахилу  радіус-вектора до полярної осі.

(Наприклад, якщо в ПДСК точка мала координати х=0, у=1, то в полярній системі вона матиме координати =1, = ).

Рівняння функції, що обмежує КС цієї системи координат буде мати вигляд

 =  (),

(де  - довжина радіус-вектора, який з’єднує полюс з довільною точкою функції, а  - кут нахилу цього радіус- вектора до полярної осі).

Для обчислення площі криволінійного сектора використовують формулу

Де промені, що обмежують криволінійний сектор, причому справедливо

Приклад 4.

Обчислити площу кардіоїди

Розв’язання.

Використовуючи формулу маємо

(кв. од.)

3. Обчислення довжини дуги

Нехай маємо неперервну на відрізку [a,b] функцію f(х). Обчислимо довжину дуги на цьому відрізку (рис.31).

Виконаємо розбиття відрізка [a, b] точками x_i, і=0,1,2,…,п. Причому

Позначимо довжину відрізка через,черезі так далі (аналогічно дляу_і), а гіпотенузи утворених прямокутних трикутників позначимо через l_1, l_2,…. Довжина утвореної ламаної обчислюється як сума довжин відповідних відрізків, тобто

Тепер для того, щоб застосувати визначений інтеграл виберемо найбільший з відрізків розбиття і позначимо його через , тобто

З рисунка 31 видно, що в деяких місцях ламана співпадає з кривою, тому логічно, якщо збільшити дрібність розбиття і перейти до границі, то отримаємо формулу для обчислення довжини дуги

.

Оскільки - гіпотенуза прямокутного трикутника, то використовуючи теорему Піфагора отримаємо

Звідки, за означенням визначеного інтеграла, враховуючи, що випливає

Формула для обчислення довжини кривої, яка задана явно має вигляд

Враховуючи правила диференціювання функцій, які задані параметрично отримаємо формулу для обчислення довжини кривої, яка задана параметрично , має вигляд

Формула для обчислення довжини просторової кривої, яка задана параметрично ,має вигляд

Формула для обчислення довжини кривої, яка задана у полярних координатах , має вигляд